小船渡河问题赏析

刘小兰

一、合运动与分运动的区分

1.合运动：实际表现出来的运动为合运动，即直接看到的运动.

2.分运动：不能直接看到，它是合运动的两个不同的效果.

小船在流水中渡河时，同时参与两个运动：自身的划行运动和随水的漂流运动，其对应速度分别为：（1）小船划行速度，也称船在静水中速度，或称小船相对水的速度，其方向为船头指向；（2）小船漂流速度，其大小和方向都与水流速度相同，小船的实际运动是以上两运动的合运动.

二、处理方法

求解小船渡河类问题，常用方法是把小船的运动进行分解，再利用运动合成与分解规律解题.小船运动的分解方法有两种：（1）把船的运动分解为船划行方向的运动和水流方向的运动，若图1所示.（2）把船的运动进行正交分解，也就是把船的运动分解为垂直河岸的运动和沿河岸方向的运动.

例1 一小船从码头A航行到码头B，设小船在静水中从A到达B的时间为t.，如果水是流动的，水流方向如图2所示，且小船相对水的速度不变，小船仍沿原路线从码头A到达码头B的时间为t2，则下列关于两者关系中正确的是

（）

A.t1> t2

B.tl

C.t1= t2

D.无法确定

解析 小船在流水中渡河时，若要沿原路线到达码头B，则小船划行方向应发生改变，本题中，根据水流方向可以判断小船应朝上游划，如图2所示，由于小船的划行速度大小不变，划行方向与河岸的夹角变小，划行方向的分位移变大，故渡河时间应变长，答案选B.但须注意，本题中渡河时间尽管变化，并不是说明渡河时间与水速有关，原因是船的划行方向改变引起的，如果船的划行速度（即速度大小、方向）不变化，不论水速如何变，都不会改变渡河时间.

【点评】本题是划行方向的改变导致渡河时间的变化，可巧妙地把船的运动分解为船划行方向的运动和水流方向的运动，方可快速解题.

三、渡河时间最短

根据合运动和分运动的同时性可知：小船在流水中渡河时间（t合）应等于小船在静水中渡河时间（t 分），故小船在流水中渡河时间取决于河宽及船划行速度大小与方向，而与水流速度无关.

设河宽为d，小船在静水中的速度为 v船，水流速度为 v水，如图3所示.将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直于河岸方向正交分解.沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢，小船渡过河的时间与垂直于河岸方向的速度有关，当小船垂直河岸渡河时时间最短，

即最短时间为t_min=d/v船.

例2 河宽60 m，小船在静水中的速度恒为3 m/s，水流速度与船离河岸距离的变化关系如图4所示.求：

（1）小船渡河的最短时间是多少？

（2）小船在河中航行的最大速度是多少？

解析 （1）当船头垂直于河岸航行时渡河用时最短，有

【点评】渡河时间与船相对静水的速度及河宽有关，而与水流速度无关，水流速度只是对合运动或船到达对岸的位置有影响.

四、渡河位移最小

分两种情况进行讨论：

（1）当v船>v水 时，在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图5所示.当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即v1= v水，小船的合速度v2 就沿垂直河岸方向，这时渡河到达对岸的位移最小，s_min=d.而渡河时间

（2）当 v船

如图6所示，设船头v船 与河岸成θ角.合速度v合 与河岸成α角.可以看出α角越大，船漂下的距离x越短.那么，在什么条件下α角最大呢？以船的出发点A为起点沿河岸做v水 的速度矢量，以v水 的矢端O为圆心，v船 为半径画圆，当v合 与网相切（切点为C）时，α角最大.

设船头方向（与OC平行）与河岸的夹角为θ，则速度为4m/s，水流速度为2m/s.求：

（1）小船是否可以垂直到达正对岸？若可以，船头应沿什么方向？

（2）若水流速度为4 m/s，小船在静水中的速度为2 m/s，则其能过河的最短航程是多少？

解析 （1）由于v船 >v水，故小船可垂直河岸方向渡河，此时小船渡河位移最小.

五、渡河速度最小

如图7所示，航向指定地点航行，则合速度v的方向已经确定.设v与河岸下游成α角，水速v水 的大小和方向是確定的，则当 v船的方向与v的方向垂直时v 船 的值最小.这时v船 与河岸上游夹角为θ=arccos v船/v水，小船渡

河的最小速度为 v船=v水sin α.

【点评】在“出发点、目的地”均确定的情况下，可用矢量三角形法确定最小航速.

其实处理小船渡河问题的方法还有很多，若同学们能牢牢抓住渡河过程中小船参与的两种运动的特点及其关系，就可以正确、简单、迅速地进行求解.