让数学思考向深处漫溯——《认识底和高》教学

蔡萍芬

【教学内容】

北师大版五年级上册第51页。

【教学过程】

一、链接生活，设疑激惑中渐入数学之思

1.课前比身高。

师：生活中比过身高吗？小明和小军也在比身高，（如下图1）你认为谁高？

生：我认为小明高。

生：我认为小军高。

生：我认为很难说谁高，看不见下面，也许有人站在椅子上。

师：分析的很有道理，真相是什么？请看（去掉遮板，如图2）这样比行吗？要怎样比？

生：这样比不行。要从椅子上下来，两人站在同一地平面上。

师：现在两人站在一个斜坡上，也是一个平面上。这样比身高可以吗？（如下图3）为什么？

生：不行，因为小军比小明多了一个小坡的高度。

（课件抽象成线，如下图4）

师：要比出身高，我们就要把坡的高度降下来。你发现什么？

（几何画板演示：斜线下降的过程，身高与地面的夹角由锐角慢慢变成直角，如图5、图6）

生：发现人与地面的夹角慢慢变成直角，也就是互相垂直。

师：这时能比出身高了吗？比身高时，不仅要站在同一平面上，而且人与这个平面要互相垂直。（课件闪烁垂直的记号，如图7）

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

【思考：比身高是学生熟悉的生活情境，在同水平线上、垂直站立比高是学生已有的生活经验，也是“认识底和高”的知识基础。为激发学生的深度思考，创设了站斜坡上比身高的冲突情境，以“为什么这样比不行？”之问，启迪学生剥离生活情境的外衣，在线段与线段的比较中发现起点不同，存在着斜坡高度的差距。为解决这一冲突，借助几何直观课件的动态演示让学生直观感知在下降坡度的过程中，人与水平面之间夹角的变化。此时，比身高时与水平面互相垂直的先决条件凸显出来，为什么要垂直的感悟学生得以意会。】

2.初识底和高。

师：请同学们看老师这里的图片：日本折纸建筑高达5米，桥洞限高4.5米。

师：建筑高达5米的意思？

生：就是指建筑的最高点到地面的距离。

师：是这样吗？（教师倾斜比划）

生：不对，应该是最高点与地面的垂直线段。

师：桥洞限高4.5米是什么意思？

生：从桥的顶部到地面高度。

（结合学生的描述，课件闪烁出现一组平行线）

师：4.5米是从这到这吗？（斜着比划）

生：不行，必须与地面垂直。

师：也就是这一组平行线间的垂直线段。

【思考：由人体的身高到建筑物的高，进而抽象到几何图形的高，是本课教学的一个逻辑线索。在学生熟悉的生活情境中寻找思维的生长点，引领学生逐渐趋向对数学本质的思考。房屋或是桥洞的高度，都是学生有直观感知经验的认知。但是，这种认知是模糊与浅层的，教学的目的是使其显性化与明晰化。课例中，通过“高5米，限高4.5米是什么意思？”启发思考，并让学生动手比划比划，师生在共同讨论交流中，把隐性的认知用数学语言精准表达出来，从而进入“高是最高点到地面或是一组平行线间垂直线段”的本质思考。】

二、操作探究，对比辨析中触摸数学本原

1.试画平面图形的高。

师：如果把桥洞的形状看成是梯形（课件抽象出梯形），如何画出高呢？

师：他们画的对吗？为什么？

生：对，他们画的都是垂直的线段。

师：梯形的高本质上就是平行线间垂直的线段。

生：老师我认为第二幅图不对，看不出是这个梯形的一组平行线。高的长度是有限的。

师：有道理，我们把多余的部分擦掉。这些高可以用什么工具来验证？（三角板）现在，三条不同位置的高都符合垂直的要求。

师：我们把这组与高互相垂直的线段叫做底，习惯把上面这条叫上底，下面这条叫下底。注意：我们一般用虚线画高，写上高，并在与指定底垂直的地方标上垂直的记号。

师：这组平行线间可以画多少条高？长度呢？平时我们只要一条做代表。

生：可以画无数条高，长度都一样。

师：接下来，你们能用研究梯形高的方法来研究平行四边形、三角形的高吗？

（学生动手尝试、反馈交流）

反馈：实物投影展示学生的答案，并结合学生的回答，动态演示画不同底上高的正确方法。揭示平行四边形可以画无数条高，三角形只能画三条高。

【思考：学生对底和高有直观认识之后，推进数学思考需在学生画一画的活动中实现。给足学生自主尝试的空间，充分利用错误的资源是把思考向纵深处推进的有效手段。两个层次的尝试，学生聚焦的思考点不同。梯形的高在对与错的对比中，明确高的正确画法；平行四边形与三角形的高，在辨析中拓展学生的思维定势，明确高并不局限于常规方向，所以梯形中可以画出一种高、平行四边形有两种、三角形有三种。这一操作过程的经历，并不停于学生技能的强化，而是以概念的深化理解为基石，促进学生深层次数学思考，实现意义理解中技能内化。】

2.揭示知识本质。

师：仔细观察三种图形高的画法，它们有什么共同的地方？

生：都是与底垂直的垂线段。

师：有什么不同的地方？

生：梯形、平行四边形的高都在一组平行线间，它们有无数条。

生：三角形的高是从顶点到底边，所以它只有三条高。

师：如果以平行四边形的这条边为底，有无数条高，上边的底逐渐缩小就成了梯形，在底边上能画无数条高，如果上底继续缩短成一点，图形就是三角形，这条底上就只能画一条高。

【思考：知识本质的感悟需要学生在变式的材料中把握不变的规律。平面图形的底与高具有哪些共性与个性的地方，是建构知识必要的追问。学生将会关注不同图形的底和高本质上是互相垂直的线段，这是共性。由于个性图形的特征不同，梯形、平行四边形是平行线间的垂直线段，可以画无数条；三角形是点到底边的垂直线段，只能画三条。学生在一个整体的环境中实现知识的感悟，这样的联结是牢固与灵动的。而后续课件动态演示，更是打通各种平面图形底和高知识的关系，学生在“变与不变”视觉冲突中进一步深化本质的认知，这样的数学思考是高效的。】

三、变式练习，灵动想象中感悟数学思想

给定底的位置，请在方格纸上画出指定的图形：底是3cm、高是2cm的三角形；底是4cm、高是3cm的平行四边形。

（学生尝试练习，选取三张形状不一样的图形进行反馈）

师：这三个三角形，都符合作图要求，为什么形状会不同？

师：三角形的顶点在哪呢？顶点有什么特点？

生：顶点在一条直线上。

师：这条直线与底互相平行，之间的距离都是2厘米，三角形的顶点还能在哪儿？想象远处点形成的三角形，这样的三角形能想象出多少个？

生：在等底等高的情况下，有无数个形状多样的三角形。

师：可以怎么画？

（反馈时，结合学生的描述，课件动态出现画图的过程）

师：同学们，今天学习的底和高，本质上是互相垂直的线段。在刚才的图形变化中，什么是变化的？（形状）什么是不变的？（底和高），而“守住变化中的不变，就是规律”。