古印度数学的珍宝

陈巍，理学博士，现为中国科学院自然科学史研究所副研究员。主要研究科技知识在古代世界的传播并把世界连为一体的历程。喜爱“上穷碧落下黄泉”，品鉴各个文明在应对相似问题时展现出的智慧。

7世纪是数学发展较为停滞的一个时代。地中海世界仍处于中世纪早期的骚动之中，无暇回顾古典时代的巨大遗产；前几个世纪群星闪耀的中国数学则成为国家选拔考核人才的御用工具，逐渐丧失创造力；伊斯兰数学则连它的文化背景“伊斯兰”都还处于刚刚起步的阶段。这个时候的数学天空，几乎只有南亚被一颗巨星照亮着，它的光芒最终射入西亚，为伊斯兰数学的飞跃添砖加瓦。这颗巨星就是婆罗摩笈多（Brahmagupta，图1）。

婆罗流韵

从名字就可以看出，婆罗摩笈多出身于古印度的婆罗门种姓。在社会中担任祭司角色的婆罗门掌管着解释和预言天象的权力，这就需要他们掌握天文学知识，以及测量和计算天体运行的工具——数学。兴盛于4 6世纪的笈多王朝更是與婆罗门紧密合作，促进了婆罗门教在经历耆那教和佛教冲击后的复兴，同时也铸就了印度文化史上的黄金时代。

据婆罗摩笈多自述，他是在塞迦历550年（古印度实行的一种历法，比公历晚78年），当他30岁时完成了代表作《婆罗摩历算书》。这样就可以推算出他生于公元598年。《历算书》的一名9世纪注释者称婆罗摩笈多为“来自毗罗摩罗的尊师”，因此大多数学者都认同婆罗摩笈多诞生于毗罗摩罗（现印度西北部拉贾斯坦邦宾马尔）。唐朝高僧玄奘曾游历过这里，记载此地是当时的“瞿折罗国”都城。

除了知道他曾研究印度教哲学外，我们对婆罗摩笈多的早年教育一无所知。不过根据《历算书》，我们可以看出他对前辈和同时代学者，如阿耶波多（476-550）、伐罗诃密希罗（505587）和婆什迦罗一世（约600-680）等人的思想非常熟悉。

婆罗摩笈多成年后，来到印度中南部城市乌阁衍那（现印度中央邦乌贾因），主持那里的天文台。乌阁衍那也曾被玄奘光临过，当时那里是一个独立的小国。玄奘记载那里的国王“婆罗门种，博览邪书，不信正法”。我们不知道玄奘是否到访过乌阁衍那的天文台，更不知道中国和印度的这2位大师是否有过会面。不过，从6世纪起，乌阁衍那成为印度数学的研究中心之一，在婆罗摩笈多之前，伐罗诃密希罗在那里担任领导，而在他之后，则有婆什迦罗二世（1114 1185）继承衣钵，把印度数学推向顶峰。

根据婆罗摩笈多的另一部天文学著作《肯达克迪迦》（Khandakhadyaka，意为“尝鼎一脔”）的题记，我们知道它成书于公元665年，他可能在之后几年仍然活着，最后在乌阁衍那逝去。

学通天算

婆罗摩笈多的代表作《婆罗摩历算书》包括24章，有1008段以闰底律（Arvameter）写成的韵文。这种以诗载道的形式是当时印度数学著作的惯例。

《历算书》大部分内容都与天文学有关，涉及各个天体在各个时刻的距离和位置关系、天体上升与下降的时间、合相与日月食的计算方法等。在《肯达克迪迦》里，他还讨论了一些行星和月亮运行的问题。这些天文学知识对后世产生了一些影响，但婆罗摩笈多最重要的贡献，还是在于为得出天文学成果而发展的数学理念和方法。

《历算书》中有4章半内容讨论纯粹的数学问题，其中第12章被称为“算术”（Ganita，当时算术也包括一些几何问题），第18章处理的是代数（Kuttaka，意为“研磨”），在算术、几何、代数和三角等领域，婆罗摩笈多都取得了令人瞩目的成就。

在算术方面，婆罗摩笈多最著名的成就在于把0纳入计算体系。他明确提出诸如这样的法则：“正数与负数相加等于它们（绝对值）的差，如果它们（绝对值）相等，结果是0”；“0被正数或负数除，要么等于0，要么得到一个分子是0、分母是有限量的分数”；“正数或负数被0除，得到一个分母为0的分数”；“0被0除结果是0”。尽管最后2条与现在对0的认识并不一致，但这是历史上最早尝试把0作为分母的探索。

在代数学领域，婆罗摩笈多最重要的贡献是对包含两个未知量的二次不定方程的研究。他在计算方程Dx²+1=y²的整数解时，进一步涉及了解决更一般的Dx²+m=y²的方法。婆罗摩笈多提出，如果（x₁，y₁，m₁）和（x₂，y₂，m₂）是2组解的话，那么（x₁y₂±x₂y₁，Dx₁x₂±y₁y₂，m₁m₂）也是满足方程的2个解。

比如，

要计算92x²+m=y²的整数解。首先，

当x=1时，92×1²+8=10²，即（1，10，8）是92x²+m=y²的一组解，把它与其自身合算，就得到另一组解（20，192，8²），也就是92×20²+8²=192²。把方程系数都除以8²，得到92x{5/2}²+1=24²，这样我们得到最初要计算的不定方程的一组解{5/2，24，1}。但它还不是整数，这时，可以再通过“合算”，得出整数解（120，1151，1）。当然，我们还可以重复“合算”步骤，继续得到无穷多个整数解。

数百年后，婆什迦罗二世给出更加完善的不定方程解法。在西欧，这个领域直到17世纪才由英国学者威廉·布隆克尔（1620-1684）进行探索——但这个成就被欧拉错误地安到另一位学者约翰·佩尔头上，因此现代数学称其为“佩尔方程”。

在几何学领域，婆罗摩笈多发展了勾股定理，除根据指定边长构造直角三角形、圆内接四边形、等腰梯形等几何图形的面积外，还提出了计算三角形外接圆半径、圆内接四边形的面积及对角线长度等问题的公式。最后2个公式實际上是对托勒密定理（即对于圆内接凸四边形，两对对边乘积之和，等于两条对角线的乘积）的进一步应用。

最后，在三角学领域，当时人们能够算出诸如15°、30°、45°等“特殊”角度的正弦值，但如何计算像57°这种“平常”角度对应的正弦值呢？婆罗摩笈多运用了二次内插法进行计算，这种方法与近代数学中的牛顿

斯特林公式的二阶形式相同。像15°、30°、45°这样的角度，彼此间隔相等，可以称之为“等间距”，通过这些角度对应的正弦值之差，以及“正弦值之差的差”的变化趋势，就可以模拟两定值之间某个角度对应的正弦值。婆罗摩笈多通过二次内插公式，得出57°的正弦值为0.8384，比现代值0.8387只有万分之三的误差。

比婆罗摩笈多稍早一些，中国隋代数学家刘焯（544-608）也运用二次内插法计算天文数据。这种在相隔遥远的文化中，科学成就几乎同时产生的现象，在科学史上并不罕见。我们现在还无法得知，刘焯与婆罗摩笈多之间存在着什么样的联系，或者他们共享着什么样的知识基础。

深远影响

与婆罗摩笈多订正增补前人著述一样，他本人的著作在随后几百年中也有许多注释者。婆罗摩笈多在书中给出许多结论和定理，但通常缺乏推理过程。在他之后几个世纪里的《历算书》注释者，给不少定理附上了许多例题。尽管无法确定这些例题究竟出自谁之手，考虑到古代印度数学知识的流传情况，一些例题应当可以追溯到婆罗摩笈多时代。根据这些例题，数学史家可以推测出书中定理是如何推导出来的。

在印度，婆罗摩笈多最杰出的继承人当属婆什迦罗二世。后者不仅也担任了乌阁衍那天文台的学术领袖，而且与婆罗摩笈多展开了间隔500年的对话。婆什迦罗二世对许多问题的研究都继续向前推进，并把它们收录在代表作《莉拉沃蒂》中。

伊斯兰文化兴起之后，婆罗摩笈多的数学思想成为伊斯兰学者学习借鉴的宝库，其影响甚至早于后来大行其道的托勒密等古希腊学者。8世纪后期，一名数学家从乌阁衍那来到阿拉伯帝国首都巴格达，他所用的《历算书》令伊斯兰学者钦佩不已。不久《历算书》和《肯达克迪迦》就被译成阿拉伯语，这2本书中的天文学数据对9世纪初的大数学家花刺子米产生了重要影响。11世纪初的伊斯兰大学者比鲁尼曾客居印度，也是通过《历算书》等著作吸收了古印度学问。

目前，中国学界对于古印度数学了解还不算多，但婆罗摩笈多的著作早在19世纪初就已经有了英译本。婆罗摩笈多等古印度数学家的成就，以及他们对后世带来的影响，获得越来越深刻地认识。