关于多元函数极限求法的探究

杜玉平

(山西朔州师范高等专科学校 数学与计算机系,山西 朔州 036000)

高等数学中多元函数的极限是一个重要概念，很多高等数学中的其它概念都与之密切相关，比如多元函数连续、微分、积分等内容[1]。因此，想学好高等数学，掌握好多元函数的极限是十分重要的。而多元函数的极限的关键内容就是其性质和求法。在本文中，结合多元函数极限的一些性质[2]，通过实例总结了几种多元函数极限的计算方法。

多元函数极限的四则运算性、无穷小量性、两边夹定理、罗比达法则以及连续性等都是计算函数极限的重要方法，所以要很好地掌握，并会灵活运用他们。

1 利用函数的重要极限

2 利用性质：无穷小量×有界变量=无穷小量

定理1 (无穷小量性)：无穷小量×有界变量=无穷小量

当使用此性质求极限时，我们必须首先分析函数是否是无穷小量和有界量的乘积，如果是才可用其计算，不能盲目使用。

3 利用两边夹定理

利用该性质计算时，需要找到满足所求极限函数f(x1,x2,…,xn)的不等式关系g(x1,x2,x3,…,xn)≤f(x1,x2,x3,…,xn)≤t(x1,x2,x3,…,xn)，有时候，我们需要把所求极限函数f(x1,x2,…,xn)给它放大或缩小，找到g(x1,x2,x3,…,xn)和t(x1,x2,x3,…,xn)，然后求出满足两边夹定理的不等式关系，并用两边夹定理求解。

4 利用罗比达法则计算

=A(或∞)

=A(或∞)

解 由定理3得：

5 通过变量代换求极限

一元函数的极限求法有好多，利用等量代换可以把一些多元函数的极限转化为一元函数，进而可用一元函数的极限求法求。

解 由定理4得：

6 利用初等函数的连续性

【注】 由连续的定义可得该结论。通常，在定义域上，多元初等函数是连续的[5]。

我们在高等数学中研究的大多数多变量函数都是初等函数，并且所有多元初等函数在它们定义域上都是连续的。所以有些多元函数的极限可直接利用多元函数连续定义计算，但计算前，一定要判断函数在所求极限的点是否连续，连续才可用其计算。

例6

解 因为

在定义域连续，(0,0,1)在定义域内，所以

=f(0,0,1)=sin1

7 利用转化成指数的方法

要求的极限函数是幂指函数形式f(x1,x2,x3,…,xn)φ(x1,x2,x3,…,xn)，通常采用先把函数转化成指数函数后再求极限，幂指函数化为指数函数：

f(x1,x2,x3,…,xn)φ(x1,x2,x3,…,xn)

=eφ(x1,x2,…,xn)lnf(x1,x2,…,xn)。

解 令f(x,y,z)=(x2+y2+z2)x2y2z2=eln(x2+y2+z2)x2y2z2=ex2y2z2ln(x2+y2+z2)，而

x2y2z2ln(x2+y2+z2)

所以

=e0=1。

以上是我们结合多元函数极限的一些性质总结了多元函数f(x1,x2,…,xn)极限的几种计算方法，并结合例题对一些性质和解题方法进行了演算和应用。其实多元函数极限的性质和极限计算方法远不止文中所提的这些，还有待我们不断地去研究和完善。