解题思模型，磨题悟构思—— 一道几何新定义题的命制过程与感悟

☉江苏省海门市东洲国际学校 张浩杰

2018年4月，笔者在初三一轮复习中，受2017年陕西中考中一道几何题的启发，且行且思，命制了一道有关四边形的新定义试题，现将命制过程中一系列思维碰撞的历程与教学感悟整理成文，与大家交流、分享.

一、模型发现

1.试题呈现

（2017年陕西）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC，若AC=6，则四边形ABCD的面积为______.

2.解法简析

思路1：如图2，过点A分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，可证△ABM △AND，所以四边形ABCD的面积为正方形AMCN的面积.

思路2：如图3，把△ADC绕点A顺时针旋转90°，则AD与AB重合，C的对应点为M，则△CAM为等腰直角三角形，所以△CAM的面积为四边形ABCD的面积.

以上两种思路，主要通过构造全等三角形，把四边形转化为正方形或等腰直角三角形，进而解决问题.

3.模型推广

从方法探究中可以发现另一结论：AC平分∠DCB.反之，若已知AC平分∠DCB，能否推出AB=AD呢？除了以上方法，还可用四点共圆，如图4，利用圆周角定理及推论.

于是，得出新模型：

如图5，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），①AB=AD，②AC平分∠DCB.若①和②中知一，必能推出另一个.同样可以通过构造全等三角形，把四边形转化为正方形或等腰三角形，解决求面积问题.

二、命制过程

近几年，有关四边形的新定义问题，主要从边、角、边和角三大角度命制.根据发现，上述问题可以从边和角或边和对角线的方向尝试命题.从定义语言组织看，从边和角出发容易一些.

1.形成初稿

我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美”四边形.

如图6，四边形ABCD中，AB=BC，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），则四边形ABCD叫作“完美”四边形.

（1）概念理解：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，在这四种图形中，一定为“完美”四边形的是______.

（2）结论发现：如图7，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC，则AC是否平分∠BCD？写出证明过程.

（3）模仿运用：如图8，已知四边形ABCD是“完美”四边形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AD=DC，求四边形ABCD的面积.

2.研磨推敲

第（1）问主要考查学生对新定义的理解，借助我们熟悉的四边形让学生判别，基本目的达到.

对于第（2）问，∠BAD=∠BCD=90°，特殊情况，感觉需要另起炉灶，顺畅性不够.改为一般情况：四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，连接AC，则AC是否平分∠BCD？

这样一来，探究味有了，问题间的联系也更紧密了.

对于第（3）问，初稿条件给人感觉区分度不大，体现不出能力考查.若给出线段AB、BC的值，问题变化为“已知四边形ABCD是‘完美’四边形，∠ADC=60°，AB=4，BC=2，求四边形ABCD的面积”，渗透分类思想，较初稿有了一定的难度.但在做题时，发现方法考查目的性不强，利用解直角三角形也可处理此问题.考虑改为“如图9，已知四边形ABCD是‘完美’四边形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，求四边形ABCD的面积”.自我探究如下：

①AD=CD.连接DB，把△ADB绕点D顺时针旋转60°，点D对应点M，则B、C、M在同一条直线上，BM=BC+CM=BC+AB=6，△BDM是等边三角形.S四边形ABCD=S△DBM=

可以发现在②和③两种情况下，面积可以用含参数的代数式表示.若给予参数一定的取值范围，可以求出四边形的最大值.因此有第4稿“如图12，已知四边形ABCD是‘完美四边形’，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，若2≤BC≤3，求四边形ABCD面积的最大值.”

3.形成定稿

我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”.

如图10，四边形ABCD中，AB=BC，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），则四边形ABCD叫作“完美”四边形.

（1）概念理解：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，在这四种图形中，一定为“完美”四边形的是____.

（2）结论发现：如图11，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，连接AC，则AC是否平分∠BCD？写出证明过程.

（3）模仿运用：如图12，已知四边形ABCD是“完美”四边形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，若2≤BC≤3，求四边形ABCD面积的最大值.

三、命题感悟

1.关注解题后的反思

作为教师，在解题过程中不仅仅追求答案，更需要对题中的条件与问题进行比较、联想，发现其中存在的基本规律与生长点，而这些往往是我们编题的最好资源，同时是课堂教学的拓展点，可打通知识之间的联系，让学生的思维品质得到真正提高.如本题正是经历了一道中考题的解法探究到规律发现，诱发了深层次的思考与变化，形成新的题型.

2.关注磨题中的“质疑”

磨题的价值在于，让语言更顺畅，让问题的梯度设置更有区分度，让知识的融合更加密切，让技能的考查更加有效.本题的4次打磨过程中，经历了从特殊到一般的图形呈现，经历了已知条件是直接或间接的赋予，也尝试了从不同角度解决问题的路径，由表及里，逐层推进，让学生的探究更“有味”，即落实让不同的学生得到不同的发展的理念.

3.关注教学中的“建模”

我们知道，数学中的许多问题都可以抽象成数学模型进行解决.作为教师，关键在于引导学生如何从原型过渡到模型.一是开展研究性学习，让学生从多维度、多视角感知一类问题共同具有的特征或数量关系，为学生建构模型奠定扎实的基础；二是加强模型运用，让学生从训练中感悟建构过程、基本方法、基本结论，实现从“知其然”到“知其所以然”.如：自编一道应用题，要求如下：路程应用题，三个数据必须全部用到，不添加其他数据.再比如：平行四边形ABCD，通过添线，你可以产生哪些新的图形？产生的新图形之间或与原图形之间有何联系？如图13所示.

①添加角平分线

②添加平行线

③添加垂直平分线

通过这些举措，有助于学生发现数学模型，有助于学生理解数学，发展学生的思维能力，更有助于培养学生的创新意识.

四、写在最后

初中阶段的数学模型有很多，认识模型、研究模型的过程中，可以发现其蕴含的结论与常规破解思路.而分离模型、构造模型往往可以让我们的解题过程更便捷.真正从“源”入手，可以达到触类旁通的效果.磨题即试题打磨，一磨好结构，如考查方式、层次性、知识点渗透等；二磨解法，入口要宽，解法不唯一等.只有这样，才能确保试题的信度与效度及可推广性，呈现简约而不简单的好题.