中、新初中数学教科书中“二次表达式的拓展”的比较研究

☉浙江师范大学教师教育学院 楼中楠

☉浙江师范大学教师教育学院 朱 哲

一、研究背景

数学，作为伴随学生整个学习生涯的一门学科，不仅向学生灌输了一些诸如概念、公式等显性知识，还为学生塑造了一种理性、系统的思维方式，这在学生的人生中发挥了重要的作用.近二十年来，新加坡不断加大在教育领域的投入，秉持“少教多学”的教育理念，科学地进行教育分流，建立了完善的教师培训系统，使得该国的教育一鸣惊人，受到了世界各国关注.因此，笔者选取中国与新加坡初中数学教科书中的“二次表达式的拓展”内容进行对比与分析，希望能对我国的新课程改革与教科书的编写有所启示.

二、研究设计

1.研究问题

代数知识是在算术知识基础上发展起来的，其特点是用字母表示数，使数的概念及其运算法则抽象化和公式化［1］.而二次整式的拓展是初中阶段代数知识学习的重中之重，它包含了代数的加法、减法与乘法，熟练掌握此块内容有利于学生的直观形象思维向抽象思维过渡.本研究研究的主要问题为：一是两个版本的教科书在“二次表达式的拓展”内容的设置、呈现、应用方面有何异同，二是这些异同对我国数学教科书的编写有何启示.

2.教科书版本的选取

对于中国初中数学教科书，我们选取了浙江教育出版社出版的义务教育教科书《数学》七年级上册第四章“代数式”［2］以及七年级下册第三章“整式的乘法”［3］.对于新加坡初中数学教科书，我们选取了由Dr Yoseph Yeo等主编的New syllabus Mathematics（7th edition）［4］，其中“二次表达式的拓展”为第二册第三章“二次表达式的拓展与因式分解”的内容.

3.研究方法

笔者主要采用了文本分析的方法，分别对比与剖析了两个版本教科书中“二次表达式的拓展”的内容，并对其具有的特征进行归纳分析，最后得出研究结论，期盼这些结论在一定程度上能对我国编写教科书有一定的启示.

4.比较维度

笔者从3个维度进行比较.（1）内容的设置与分布：对两个版本教科书“二次表达式的拓展”的知识体系与知识点进行对比.（2）内容的呈现方式：对两个版本教科书的章首问题、知识引入与知识巩固进行对比.（3）内容的应用：对两个版本教科书中的例题与习题从题量、题型与难度三个方面进行比较.

三、研究结果

《数学》与New syllabus Mathematics在三个维度上都有各自的特点，具体如下.

1.内容的设置与分布

（1）知识体系比较

两种教科书中，“二次表达式的拓展”内容的设置情况见表1，其中《数学》安排在了七年级上册第四章以及七年级下册第三章；而New syllabus Mathematics则安排在了第二册第三章.

表1 《数学》与New syllabus Mathematics中的知识体系

从表1中，我们发现《数学》与New syllabus Mathematics在“二次表达式的拓展”内容的设置上是一样的，都先介绍二次表达式的概念，再介绍与二次表达式加法、减法和乘法相关的计算，最后介绍二次表达式的化简.不同之处是，《数学》将二次表达式归到整式一类中统一进行介绍，并将与之相关的加、减法及乘法运算分为单项式与多项式两部分进行举例说明；而New syllabus Mathematics则将二次表达式单独介绍，然后把单项式与多项式的运算统一进行讲解.

（2）知识点的比较

通过对上述两个版本的教科书具体内容的考察，我们发现二者在知识点的数量上存在着明显的差异.据统计，《数学》在二次表达式这块内容上共设置了14个知识点，New syllabus Mathematics共设置了6个知识点（见表2）.

表2 《数学》与New syllabus Mathematics中的知识点

由表2，我们可以发现《数学》中新增定义4个，而New syllabus Mathematics只有1个，这说明了《数学》对基本概念的定义更为重视.《数学》在此章中先介绍易懂的单项式与多项式，进而引出整式，随后讲解整式的运算.笔者认为这样的编写思路，不仅使得学生更好地理解代数式的定义，起到一定的巩固效果，还能让学生体会到中学数学的学习过程：先从特殊的例子出发认识一个新的定义，即新知识，而后通过题目进行巩固、加深理解，进而将新知识与运算、应用相结合.

另一方面，《数学》中共出现7个公式，而New syllabus Mathematics中仅出现2个公式.具体分析这些公式，我们能够发现《数学》中涉及项的次数可能是3、4，甚至更高，而New syllabus Mathematics中项最高的次也只是2，这也说明了《数学》对代数及其运算的要求更高.

2.内容的呈现方式

数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性及广泛的应用性，这就注定了数学知识的呈现方式关系到学生是否能够更好地理解知识［6］.下面就章首问题、知识的引入与知识的巩固进行具体的分析、比较.

（1）章首问题

《数学》七年级上册第四章的章首：①利用已知条件写出含t的代数式来表示山顶的温度；②本章学习目标：代数式、整式和整式的加减运算.《数学》七年级下册第三章的章首：①利用已知条件计算天宫一号的飞行速度；②用代数式表示从一张长方形纸片中裁取的正方形纸片的面积；③本章学习目标，整数指数幂的基本性质，整式的乘法和除法.

New syllabus Mathematics的章首：一个老师问他的学生：“如果一个长方形的面积为（x2+8x+12）cm2，并且它的长为（x+6）cm，那么长方形的宽是多少？”一个学生回答道：“长方形的宽是（x+2）cm.”在你们学习了如何分解二次代数式后，你们就能够弄清这位同学是怎么得到他的答案的.学习目标，在本章的结尾处，你应该能够：①识别二次表达式；②能拓展与简化二次表达式；③运用乘法公式对二次表达式进行因式分解.

由上述对比我们发现，《数学》注重从生活实例着手，逐步过渡到与本章节有关联的问题，而此问题往往是学生未能解决的；New syllabus Mathematics则以数学问题引入，且不经任何引导或分析，直接给出问题的答案，这就未给予学生一个思考的机会.从这个角度看，《数学》的章首设置更为合理，因为这样更加吸人眼球，达到激起学生学习热情的目的，且能够让学生带着问题进行接下来的学习，留给了学生独自探索、解决问题的机会.

章首问题之后，两种教科书都给出了本章的学习目标，《数学》只点明了本章的知识点，而New syllabus Mathematics则不仅点明了知识点，还在知识点前使用了一些行为动词，这更符合我国三维目标中对知识与技能这一目标领域的书写要求，比如：使用了知道、了解、模仿水平的行为动词“识别”；使用了理解、独立操作水平的行为动词“能、运用”.由此可见，New syllabus Mathematics具有的目的性更明确，有利于学生准确把握本章内容学习的要求，进而提高自身的学习效率.

（2）知识的引入

《数学》在引入整式与整式加法时是通过情境问题导入的：把“鸟巢”作为背景知识，通过买x张全价票（50元）与y张半价票（25元）来表示所需付的总金额.在引入单项式乘法与多项式乘法时也是通过情境问题导入：（1）利用天安门为背景知识，通过步数1100与步长a（m）来表示广场的面积；（2）用不同的方法计算出家家户户都有的厨房的面积.

New syllabus Mathematics在引入二次表达式时是通过复习导入的：教师带领学生回顾了代数式的定义以及代数式的组成成分，并解释这里涉及的代数式都是线性表达式，即一次表达式，接来下就将带着同学们学习二次表达式.在引入二次表达式的乘法时也是通过复习导入的：教师带领学生回顾之前学习的常数项与一次表达式的乘法“2（3x）”，而后引出今天的学习内容，即一次表达式与一次表达式的乘法，比如2x×3x.

由此可见，《数学》将情境引入作为主要的课堂引入方式，它所具有的优势十分明显：首先趣味十足，开拓了学生视野，在一定程度上激发了学生的学习兴趣；其次每个情境中都暗含着本节课所要学习的知识点，这就将学生带入到与新知识相关的情境中，激发出学生了解未知的意愿，从而使得学生在上课之初就能将自身的学习情绪调整到最佳状态.

而New syllabus Mathematics将复习引入作为主要的课堂引入方式，它同样具有一些优势：首先，由于我们的教材往往都是按照由浅入深、由易到难的规律来编排的，并且新知识的学习一般以旧有知识为基础，故复习引入能够在回顾旧有知识的基础上，为接下来新知识的学习埋下伏笔，提供思路；其次，复习引入所占用的课堂时间往往比情境引入要少，故它还能够提高课堂效率.

相比较而言，虽然上述两种课堂引入方式都具有一定的优势，但复习引入可能存在的弊端会更大：学生对于它所带来的旧知识的回顾往往是一个被动接受的过程，且它所具有的趣味性不强，不贴近生活实际，对学生来说比较枯燥，不符合我国“让学生真正成为课堂学习的主人”的教育理念［6］.在当今世界趋势下，情境引入必定会成为教科书的主流引入方式.

（3）知识的巩固

在介绍代数的加、减与乘法的运算上，两种教科书都通过具体例子的演算来让学生熟悉不同运算法则的使用.不同的是，《数学》偏向于使用面积相等法解决实际生活例子来印证运算法则，如：一个厨房的平面布局如图1，我们可以用下面几种方法表示厨房的面积：①总面积为（a+n）（b+m）；②总面积为a（b+m）+n（b+m）或者ab+am+nb+nm.

图1 厨房的平面布局

而New syllabus Mathematics则是选择单独列出代数式题目，通过独有的“圆盘法”来演示整个运算过程，如：计算4x2+（-2x2），见图2.

图2 圆盘法计算4x2+（-2x2）

对比之下，我们可发现《数学》通过例子，使学生从结果出发来研究运算法则，并要求学生在一定程度上掌握了运算法则后，将之运用到一些与生活相关的应用题中.而New syllabus Mathematics则是通过让教师演示、学生操作来简单研究代数的运算过程，不具备任何的现实背景，这就显得带有一些机械性.从此角度看，二者虽然都贯彻了数形结合的思想，但《数学》更能体现出“数学源于生活又应用于生活”的观念.

从另一个角度看，《数学》中代数式运算所涉及的项的次数更高，未知量包括了x、y、a、b、c、m、n等，且将运算与应用题相结合，这就对学生提出了更高的要求.而在New syllabus Mathematics中，不管是例题还是课后习题，都只涉及最高为2次且未知量仅为x的代数式.由此看出，我国更强调学生对于代数式这类知识的全面掌握，而新加坡更强调基础，仅要求学生在简单的学习过程中掌握二次表达式的定义及其运算规律.

3.内容应用

（1）题量

两个版本的教科书皆安排了部分例题与习题，笔者对其数量进行了统计：《数学》涉及2个章节共8个小节的内容，题量为162，平均一小节题量为20.25；New syllabus Mathematics涉及1个章节共2个小节的内容，题量为45，平均一小节题量为22.5.

我们能够发现《数学》习题的数量在比例上与New syllabus Mathematics相差无几，这说明我国经过多次课改，使得《数学》习题的数量有所减少，减少了学生的课业负担，这就为学生利用更多自由支配时间去找到个人爱好奠定了基础，更有利于素质教育的开展.

（2）题型

《数学》的例题与习题主要以计算题为主，配以少量的判断改正题、应用题及探究题.而New syllabus Mathematics的例题与习题则大部分为计算题，其余部分为探究题.可以发现，《数学》设置的题目由最基本的计算，到综合的应用，最后到具有一定难度的探究，按照由浅入深的顺序安排，说明我国在此块内容学习中要求学生全面掌握.而New syllabus Mathematics则题型较少，但是对于乘法法则这一内容的学习，则花了很大篇幅让学生自己去探究发现.这说明在此章的学习中，新加坡不要求学生接触所有代数式，而只需牢牢掌握住有关二次表达式的运算法则.

（3）题目难度

笔者利用“数学课程的综合难度模型”［7］对《数学》与New syllabus Mathematics中的例题与习题进行了统计分析，结果见表3和图3.

表3 两种教科书题目难度因素对照

图3 两种教科书题目难度因素

由表3与图3，我们能够直观地看出在背景、知识含量、推理三个因素上，《数学》难度要远高于New syllabus Mathematics，在探究与运算因素上 ，New syllabus Mathematics的难度要略高于《数学》.由图3可知，《数学》综合难度要高于New syllabus Mathematics.

四、结论与启示

1.研究结论

通过上述分析、比较可知，在内容呈现方面，《数学》与New syllabus Mathematics在章首中都选择了生活情境作为切入点，且二者都明确说明了本章的学习目标，但New syllabus Mathematics对目标的描述更加详细，具有更高的操作性.在具体课堂引入方面，《数学》同样偏向于情境引入，而New syllabus Mathematics则偏向于复习引入［8］.内容设置方面，《数学》侧重于各类代数式概念的理解及其之间运算法则的掌握，同时《数学》为了让学生更好地掌握高次代数式的乘法，补充了同底数幂的乘法.New syllabus Mathematics则侧重于代数式中二次代数式这一概念，并通过大量的习题使得学生熟练掌握其运算法则.在例题、习题方面，《数学》题量巨大，包含了各种题型且具有一定的难度，强调锻炼学生对数学知识的综合运用能力，而New syllabus Mathematics题量少、题型单一，且不存在难题、偏题、怪题与繁题［9］.

2.对我国教科书编写的启示

通过上述比较分析，在肯定我国教科书具有某些长处的基础上，我们也能发现其中存在着一些不足，而新加坡教科书在某些方面是值得借鉴的.

（1）学习目标应具有可操作性

明确、具体的学习目标能正确指引学生，使之把握本章内容学习的要求，进而提高自身的学习效率.《数学》在章节前言中的目标仅涉及了这一章节的重要知识点，显得较为笼统，相比之下，New syllabus Mathematics则在章节前言中给出了更为明确的学习目标.这就值得我们借鉴，即在制定学习目标时，少用一些抽象或模糊的动词，如：了解、熟悉、感受等，因为这类词含义较广，不同的人均可从不同角度理解，这就给以后的学习带来了困难；多用能够被检测到的行为动词或语句，如：能够认出某一概念，能够运用某一法则或方法解决某一问题等，这样既有利于学生把握本章学习的重、难点，还有利于教师对学生作出正确的学习评价.

（2）坚持数学课堂与生活情境相结合

数学知识与生活情境的良好结合，能够开拓学生视野，提高学生的学习兴趣.并且创设问题情境实际上是我国所倡导的“创设情境—建立数学模型—解决问题”这一教学模式的首要环节，是这一教学模式能否成功的关键［10］.课堂上情境的创设，能够让学生少一些甚至不再有数学是一门枯燥、乏味的学科的想法，而让学生真切感受到数学的自然与实用，如此学生才能以更积极的状态投入到数学的学习中去.

（3）适当减少题量，提高题目质量

现如今倡导给学生减负的呼声日益壮大，我国数学课本繁重的习题显然已有些不合时宜，但是习题如若大量减少，又将影响我国要求学生全面掌握知识这一目标的实现.故我国数学教科书的编写可以在保留知识量的基础上，适当减少题目的数量，提高题目的质量，比如：删除那些考查同一知识的重复题，设置成一知识点一例一问的形式；多设置“一题多解”题，培养和锻炼学生的思维；多设置变式练习，即将基础问题作为生长点，对基础题的条件与结论进行延伸和扩展，发掘其内涵和外延，得到一条完整的“链条”.