基于永磁同步直线电机的新型滑模控制策略研究

北京信息科技大学，北京100192

一、引言

在高精度快速进给的数控机床中，传统的旋转电机加滚珠丝杠已难以满足大推力、快速进给的性能要求，永磁同步直线电机（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）相对于传统的旋转电机加滚珠丝杠的传动机构，具有输出力矩大、响应速度快、结构简单等优点，已在数控机床主轴的直线进给驱动中取得了非常广泛的应用。

直线同步电动机是由相应的旋转电动机演化而成，永磁直线同步电机与永磁旋转同步电机类似，在动子通入三相电流后，在气隙中产生运动磁场，只是这个磁场是沿直线平移而不是圆形旋转磁场，称为行波磁场。行波磁场和定子永磁体相互作用产生电磁推力。由于磁极磁场由永磁体提供，磁极动子无需外加电源励磁，使电动机的结构得到简化，电机的整体效率提高，但磁极磁场不可调。

但是由于直线电机本身结构的原因，其两端磁路断开并产生较大畸变，加之机械安装、制造精度、定子下线等问题，使得动子和定子之间的间隙不均，使得永磁同步直线电机产生较大的波动力，造成直线进给速度的波动，严重影响加工精度。

文献[1]分析了直线电机参数的非线性引起的波动力，并用自适应内模控制对其进行补偿提高了控制精度，文献[2,3,8,9]将神经网络、推力观测器等控制方法和滑模控制相结合，明显削弱了抖振问题。文献[10-13]对辨识补偿波动力进行了大量研究，取得了明显的成果，但是所有研究都是基于波动力表现出来之后进行的补偿。

由于滑模控制不需要控制对象精确的数学模型，且具有快速响应和较强的鲁棒性，所以本文在分析波动力产生的数学机理的基础上，用新型的电流滑模控制器抑制PMLSM非线性电参数引起的波动力的影响，仿真结果表明了该方法的优越性和有效性。

二、永磁直线同步电机数学模型

三相永磁同步直线电机的数学模型首先经过Clark变换和Park变换得到d-q坐标系（如图1）下的PMSLM的数学模型，以实现转矩电流和永磁体磁链的解耦，其变换矩阵为[5]：

式中，θe—电角度。

d-q坐标系下的PMLSM的数学模型[1]为：

式中，ud、uq—d-q轴定子电压分量；

id、iq—d-q轴定子电流分量；

R—定子电阻；

Ld、Lq—d-q轴定子电感；

τ—定子极距；

ψf—永磁体磁链；

ωr—电角速度；

ξd、ξq—d-q轴电机参数非线性对应的电压分量。

由于PMLSM参数本身的非线性以及受系统工况等未知的影响因素，造成对d-q轴电压扰动分量ξd、ξq，其可以表示为：

式中，ΔR、ΔLd、ΔLq、Δψf—分别为电机参数的非线性的变化量。

正是由于电机这些参数的非线性变量，导致当电机的输入电压一定的情况下，会出现电流的波动，进而产生力的波动。由于PMLSM这些电参数的非线性不宜测得，所以视这些参数的非线性为未知扰动，根据文献[4,6]可知，PMLSM力的周期性波动，同时电机电参数的非线性也是位置的周期性函数，其干扰主要作用在伺服系统中的电流环中，所以PMLSM的伺服系统中的电流环控制要有很强的抗扰性、鲁棒性、快速响应的能力。

三、电流环滑模控制器

1、状态空间方程

在电流环控制系统中，定义d-q轴的电压ud、uq为控制输入，定子电流id、iq的误差为状态变量，表示为 ：

由式（2）、式（3）可得电流环控制系统的状态方程：

其中，视E1、E2为外部扰动和参数摄动的总扰动，所以这就要求电流环控制器要有较强的抗扰性、鲁棒性和快速响应的能力。

2、滑模面设计

如果设计成普通的滑模面，在跟踪指定信号时，控制系统遇到外部扰动时，可能会使系统产生静差，致使系统无法达到较高性能指标的要求。所以选择积分滑模面，既可以使状态变量不会出现二阶导数，提高控制系统的稳定性，同时还能减小系统的稳态误差，提升控制精度。但是当系统突加给定或突然加大外部扰动时，致使出现积分饱和的现象，使系统产生超调、振荡，影响系统的稳定性，所以本文使用积分分离的积分滑模面，即当系偏差大于给定阀值时，消除积分的作用，以避免积分环节出现饱和效应，其积分滑模面可表示为：

式中，ed(max)、eq(max)—分别代表d轴、q轴电流积分分离滑模面的阀值；

a1、a2—待定正参数。

3、趋近律设计

在20世纪90年代高为炳院士提出趋近律的概念，其典型的趋近律由等速趋近律、变速趋近律、指数趋近律、一般趋近律等。

其中指数趋近律可表示为：

式中，η—指数趋近律系数；

ε—等速趋近律系数。

单独的指数趋近律会使滑模带成为带状，最后不能趋近零点，使系统在趋近原点附近产生抖振，激发高频未建模特性。虽然引入了等速趋近律，但是过大的ε会增加趋近运动过程的抖振，此方法滑模面上的运动存在速度和抖振的矛盾。所以本文采用一种时变切换增益系数的新型指数趋近律，其可以表示为：

式中，σ是一个较小的正数。

所以可以保证时变切换增益系数ε′永远小于原切换系数ε，从而可以使系统在滑模面运动时有效的削减抖振现象；与此同时ρ(x)还会随着状态变量x的减小而趋近于0，这样就可以保证系统的滑模运动最终可以收敛于原点。

4、优化切换函数

正是由于存在切换函数sgn(s)才是控制系统有较强的抗扰性，但是由于其切换特性造成高频抖振。为了防止其高频抖振，在控制器中采用平滑函数con(s)代替式（14）中的符号函数，con(s)可表示为：

式中，Δ是一个较小的正数。

采用平滑函数con(s)的本质是：当s较大时，其滑模控制近似切换控制，加快趋近运动的速度；当s较小时，采用连续的反馈控制，以此来降低控制系统在滑动模态的时候快速切换产生的抖振。但是当Δ太小的话，其效果不好，当Δ太大的话，又会影响趋近运动的动态响应速度，所以使用平滑函数的时候需要权衡利弊选取Δ的值。

5、求取控制律

结合式（11）、式（12）、式（14）、式（16），将E1、E2视为扰动，可以求得新型指数趋近律的电流环的滑模控制律：

6、鲁棒性分析

根据Lyapunov稳定性判据，滑动模态和趋近模态的存在性与可达性判据为：

其中，—d轴电流环控制器中指数趋近律函数中的等速趋近律系数；

η1—指数趋近律系数。

由式（20）可知，只要满足ε′1-E1≥0，就可以满足系统滑动模态和趋近模态的可达性与存在性条件。同理亦可验证q轴的稳定性。

7、低通滤波器

虽然通过使用平滑的切换函数代替了符号函数，但是电流环滑模控制器的输出依然会存在较大的噪声，为了减小滑模控制输出噪声的干扰，通常情况下会在控制器的输出连接一个低通滤波器，对输出结果进行滤波：

式中，τ—滤波器时间常数。

滤波器时间常数的值越大，其输出波动越小，但是会增加系统的延迟时间，反之如果滤波时间常数越小，其滤波效果不好，所以在设计低通滤波器时间常数的时候要权衡以上两点。

四、仿真与结果分析

在Simulink环境下搭建伺服系统的仿真模型。PMLSM的参数如下：定子相电阻R=0.7Ω，直轴电感Ld=0.013H，交轴电感Lq=Ld，永磁体磁链ψf=0.046Wb，极对数Pn=10，动子长度L=0.2m，动子质量m=0.01kg，其速度环全部采用PI控制，本文针对不同方法的电流环控制器的抗扰性、鲁棒性进行讨论。

图2是考虑PMSLM电参数非线性因素带来的电压扰动的情况下电流环传统PI控制、传统滑模控制、新型滑模控制的速度响应，可见传统的滑模控制相比PI控制对电机参数的非线性的不良影响，有较好的抑制效果，但是依然存在小幅的高频抖振，采用新型的滑模控制明显消弱了速度的高频抖振。

图3是电流环PI控制、新型滑模控制PMLSM的三相电流响应曲线，可以看出新型的电流环滑模控制较PI控制的三相电流平稳度非常好，因此也降低了电机能量的损耗。

图4是电流环滑模控制经低通滤波器前后的输出，可见其经过低通滤波器之后，明显消弱了电流环输出的抖振，因此也减弱了驱动器计算和开关管的负担。

图5表示当PMSLM加载时的速度响应曲线，可见电流环采用新型的滑模控制和PI控制，伺服系统依然拥有较好的抗扰性，响应速度。

五、结语

为了解决数控机床主轴进给驱动中隐极PMLSM电参数的非线性引起的波动力不良影响，本文提出了新型滑模控制器加低通滤波器的电流环控制器。本文的滑模控制器的滑模面采用积分分离的滑模面消除传统滑模面的稳态误差，同时还消弱了积分带来的超调的问题；采用时变增益系数的指数趋近律和平滑切换函数解决了趋进速度和滑动模态抖振之间的矛盾；采用低通滤波器减弱了电流环滑模控制输出的抖振幅值。仿真实验结果，证明了新型的电流环滑模控制的优越性和有效性。