探讨如何在一次函数教学中培养学生的解题技能

杨国江

摘 要：一次函数是初中数学的重点，如何有效提高学生的解题技能是教学难点，本次对在不同前提条件下一次函数的解题方式进行分析，希望对初中数学教学提供参考。

关键词：一次函数教学；解题技能；培养

函数指的是在一个公式里含有变量的意思，经常被用来处理文本、控制输入或计算数值。而一次函数是函数的一种，也是初中数学代数教学的一个重点，更是高中时期学习解析几何的基础。初中阶段学生的思维依然主要以形象思维占主导，抽象思维正在逐渐发展，对函数知识的学习，是对初中学生抽象思维的挑战。

一、在一次函数教学中培養学生利用分类讨论解题的技能

一次函数有三种表示方法，解析式法：用含有自变量x的式子表示函数；列表法：把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系；图像法：用图像表示函数关系。

一次函数的解析式为：f（x）=mx+b，其中m是斜率，不能为0；x表示自变量，b表示y轴截距，m和b均为常数。

一次函数和一元一次方程有相似的表达形式，但一次函数代表的是一对（x，y）之间的关系，有无数对解；而一元一次方程表示的是未知数x的值，只有一个解。一次函数与x轴交点的横坐标代表了相应一元一次方程的根，与之相应的，一个一元一次方程组的解就是两个一次函数的坐标。在进行一次函数解题过程中，学生可以根据对于方程组解的判定分类，讨论如何解题。具体原则为：当方程组的两直线只有一个公共点时，方程组只有唯一一个解；当两直线平行时，无解；当两直线有无数个共同点时，方程组有无数解。通过对这个原则的了解，在遇到一次函数问题时进行辨别，可确定符合问题条件的结论是否正确。

二、在一次函数教学中培养学生利用转化与化归解题的技能

转化与化归就是将待解决的问题通过转化或再转化，归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个人们所熟知的具有既定方法或程序的问题，最终得到问题的解题思想。转化与化归的思想主要包括化繁为简、化难为易、化未知为已知、化大为小。在这个过程中，可以安排学生进行小组合作和讨论，培养学生的合作意识和多角度思考问题、解决问题的能力。

例1 某商店出售两种灯，一种节能灯功率为15瓦，单价40元，另一种白炽灯功率60瓦，单价4元。两种灯效果一致，使用时间都在3000小时以上，问如果电费为0.5元/（千瓦·时），那么选择哪种灯比较节省电费？

解析：设照明时间为x，节能灯的总费用为y1，白炽灯总费用为y2，则可以得出：

y1=0.5×0.015x+60

y2=0.5×0.06x+4

当y1=y2时 x=1600 当y1>y2时 x<1600 当y11600

所以当使用时间为1600小时时总费用相等，当使用时间少于1600是白炽灯便宜，当使用时间多于1600小时时节能灯便宜。

分析：该应用题其实是一次函数和一元一次不等式之间关系的解题，一元一次不等式列为ax+b>0或ax+b<0（a，b是常数且a≠0），从数的角度，可以转变为当x为何值时，一次函数y=ax+b的值大于零或小于零；从形的角度，则可以转变为直线y=ax+b在x轴上方或下方的图像对应的x值。

三、在一次函数教学中培养学生运用函数思想解题的技能

有时在进行一次函数的讲解时，会遇到题目中出现一次函数与正比例函数关系的应用题，此时要引导学生按照题目条件列出一次函数的表达式，然后思考与正比例函数的关系，一般来讲，两者之间的关系是：当x，y两个变量之间可以表示成y=ax+b（a，b是常数且a≠0），则称y是x的一次函数，当b=0时，y就是x的正比例函数。也就是说，正比例函数是一次函数的特殊形式。在进行该类应用题解答时，可以针对该特殊形式的正比例函数的解答，寻求一次函数的结果。

例2 移动公司某套餐规定为：套餐价为20元，包含免费市内通话100次（每次3min），超过这100次后，每次通话费用0.1元。求（1）每月电话费（元）y与通话次数x（大于100次）之间的函数关系；（2）求出月通话200次的话费；（3）假设某个月话费为54元，求该月的通话次数。

解析：（1）：可得出y=20+（x-100）x0.1=0.1x+10；

（2）：当x=200时，y=0.1x200+10=30；

（3）：因为54>20，所以通话次数肯定多于100次， 也就是说在y=54时，求解x的值。得出54=0.1x+10，得出x=340.

四、结语

在进行一次函数的解析时，有多种解题思路，教师可以引导学生在了解一次函数和其他知识点关系的前提上，利用分类讨论、转化和化归以及函数的思想，将题目变成更加简单易懂的形式，比如一元一次方程，这样可以提高解题效率。

参考文献：

[1]邵密.如何在一次函数教学中培养学生的解题技能[J].语数外学习（初中版中旬），2013，（1）：47.

[2]张美英.关于初中数学一次函数教学的研究[J].新课程（中），2016，（07）：87.