立体几何中的翻折问题

莫碧华

(重庆市第三十七中学校 400084)

立体几何的翻折问题是指将一平面图形翻折后变成空间图形，然后根据平面图形的数量关系、位置关系等来研究空间图形中各元素间的数量关系、位置关系等问题．解决翻折问题的关键是确定翻折前后的不变量与改变量．在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．

一、翻折中的线面位置关系的判定

通过平面图形的翻折后变成空间图形，进而研究翻折后的空间图形中的点、线、面的位置关系，判定相关的点、线、面的平行或垂直关系等．

例1 如图，以等腰直角△ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD翻折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①AB⊥CD；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D—ABC是正三棱锥；

④平面ABD⊥平面ABC；

其中正确的是____．(写出所有正确命题的序号)

解析由题知，CD⊥平面ABD，故CD⊥AB，①正确；AD为等腰直角△ABC的斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，则AB=AC=BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA=DB=DC，又由②知③正确；由①知④错.故填：①②③．

点评涉及翻折中的线面位置关系的判定，根据翻折前后所对应的平面图形与空间图形的位置关系，判定线线、线面、面面的平行、垂直等位置关系．

二、翻折中的数量关系的证明与计算

通过平面图形的翻折后变成空间图形，可以用来解决空间几何体的表面积与体积，空间角，空间距离等数量关系的证明与计算等．

例2 (2016·全国Ⅱ文·19)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

(1)证明：AC⊥HD′；

由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.

点评在解决翻折中的数量计算问题，一定要准确判定翻折前后哪些数量发生变化、哪些数量没有发生变换，以及翻折后给出的数量关系，结合空间线面的位置关系来处理有关空间角、空间距离以及几何体的表面积或体积等计算问题．

三、翻折中的几何量的最值问题

通过平面图形的翻折变成空间图形，随着翻折的变化，相应空间几何体中的长度、角度等相关的几何量也随之变化，为相应几何量的最值问题的埋下伏笔，也是翻折中难度最高的不定问题．

例3 (2015·浙江理·8)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′—CD—B的平面角为α，则( ).

A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥α

C．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α

解析取极限思维：当沿直线CD翻折→180°，此时α→0°，排除A、C；当沿直线CD翻折→0°，此时α→180°，排除D.故选B．

点评在平面图形的翻折变化过程中，一些相关量的变化，如空间几何体中长度、角度等存在最值问题，如何从动态过程中找到此时最值是解决问题的关键，通过翻折使得动态问题静态化，达到求解翻折中的最值问题．

立体几何的翻折问题背景简单，立意深远，对考生空间想象能力要求很高，可以有效改善学生对立体几何的思维定势，构造空间立体几何结构直观图，使静态数学动态化，优化学生的思维品质．