约化模型下带双重风险的可转换债券定价

陈芳青, 王晶海

(福州大学数学与计算机科学学院,福建 福州 350116)

0 引言

可转换债券作为兼具债权、期权和可转换属性的混合型金融证券,长期以来备受投资者青睐. 在国外,可转换债券的发展虽然已经有上百年的历史,但直到上世纪70年代才有了较完整的发展理论体系. 文献[1]以利率为常数将公司的资产价值当做随机变量对可转换债券单因素结构模型进行研究； 文献[2]在文献[1]的基础之上引入利率非常数等因素, 对可转换债券的定价进行了鞅定价； 朱丹[3]建立了随机利率下可转换债券的研究. 当前对可转换债券定价的研究大多是基于市场不存在违约的情况,这一定价理论实际上与现实金融市场不符,已经不能满足投资者对可转换债券投资理论的需求. 除了考虑利率风险,违约风险也是投资者作出投资判断的一大重要因素.

结构化模型和简约化模型是目前两类常用于解决可转换债券违约概率的定价模型. 在结构化模型中,发行公司可能因为经营不善或其它因素导致公司价值和资产处于变动过程而无法支付债券人债券,造成违约情况[4-6]. 通过研究发现约化模型更符合市场规律,在这个模型中,违约是被看作一个外生的不可预测到的事件. 文献[7-8]指出在常数违约强度下,可转换债券定价问题会受利率风险影响； 而文献[9]则基于常数利率条件下以违约情况为随机因素,通过鞅定价法给出可转换债券定价的显示解.

本研究在约化模型框架下分析具有双重风险的可转债定价问题,假设利率和违约强度不再是简单的常数,而是由更符合市场实际的模型给出,基于风险中性定价原理,建立股票价格服从几何布朗运动、Vasicek模型下随机利率和违约强度两两相关的定价模型. 利用几个常用的多元正态变量条件期望公式和鞅方法得到可转换债券的显示解,推广了相关文献.

1 模型建立

1.1 模型假设

1) 给定一个带过滤流的完备概率空间(Ω,F,Q, (Ft)0≤t≤T),其中Q为风险中性鞅测度. 在t时刻可转债发行企业的股价记为s(t),满足随机微分方程：

ds(t)=s(t)[(r(t)-q(t))dt+σ1(t)dB1(t)]

(1)

其中:q(t),σ1(t)分别是股票红利率和波动率； 且q(t)>0,σ1(t)>0是关于时间t的确定函数；B1(t)是定义在风险中性测度Q上的标准Brownian运动.

2) 随机利率r(t)在式子(1)假设方程中遵循在相同概率空间Vasicek模型：

dr(t)=a2(b2-r(t))dt+σ2(t)dB2(t)

(2)

约化模型中,违约被看作是由外生的违约强度所驱动的意外事件,其违约强度λ(t)用Vasicek模型刻画：

dλ(t)=a3(b3-λ(t))dt+σ3(t)dB3(t)

(3)

其中: 常数a2,b2,a3,b3分别代表的是利率的均值回复率、长期均值、违约强度均值回复率和长期均值；σ2(t)和σ3(t)分别是利率波动率和违约强度变化波动率,且σ2(t)>0,σ3(t)>0是关于时间t的确定函数；B2(t)和B3(t)是风险中性测度Q上的标准Brownian运动.

3) 假设B1(t),B2(t),B3(t)两两相关,满足：

(4)

4) 可转换债券价值由单纯票面价值和标的资产看涨期权价值构成,假定可转换债券的转换只发生在到期日,记Φ(T)是可转换债券在到期日的收益：

(5)

其中:Pb=MeiT是时刻T以票面利率计算的单纯债券价值;M表示可转换债券的面值;Cv为约定的转化价格.

5)为了简化结果,假设金融市场是理想化情形,但存在违约情况. 若发行企业不发生违约时,那么债券拥有者在到期日能够得到先前答应支付的全部,即Φ(T)； 若发行企业发生违约,则在到期日债券拥有者只能收到先前答应支付的一部分,即ωΦ(T), 0≤ω≤1, 这里ω是回收率.

1.2 模型建立

为建立具有利率随机性和违约强度不可预测性的可转换债券定价问题,引入带自然滤流的概率空间(Ω,G, (Gt)0≤t≤T,Q). 记Ht=σ(I{τ≤u}, 0≤u≤t)为企业违约信息的域流； 记Ft=σ(su, 0≤u≤t)∨σ(ru, 0≤u≤t)∨σ(λu, 0≤u≤t)为除企业违约外的其他信息的域流； 定义总的域流是Gt=Ft∨Ht. 由文献[10]相关条件概率知识可知,令τ是可转债发行企业的违约时间, 发行企业在违约时刻τ关于Gt的条件概率和无条件概率分别是：

其中:GT=FT∨Ht. 因此,在模型假设下,利用风险中性定价原理得到具有双重风险的可转换债券在t时刻的价值：

式子(6)中存在违约时间τ,利用文献[6]相关结论和条件数学期望的平滑性[11]消去τ,可以得到：

(7)

由式子(7), 记:

1.3 预备知识

其中:N(·)是标准的正态分布函数.

2 模型求解

下面利用几个常用的多元正态变量条件数学期望公式来求解V1.

其中:

由Ito公式和方程(2)得到：

同理：

(9)

其中:

再由Ito公式以及方程(1)和方程(8)可得：

(10)

因此下面求解V1的值,记：

由引理2, 可直接求解V11、V12的值

(12)

下面运用等价鞅测度变换方法来求解V2.

其中:

(13)

由Ito公式,以及式子(8)～(9),可以得到：

(14)

(15)

则式子(14)～(15),可以求LT,即：

根据Girsanov定理,可以得到：

(16)

则根据Bayes法则,V2在鞅测度Qλ下的值为：

下面先求V21, 由式子(10)和式子(16)可知,ST在鞅测度Qλ下为：

且在概率测度Qλ和信息流下,lnST满足正态分布,其均值和方差分别为：

因此,根据Bayes法则可得V21在鞅测度Qλ下的解析式为：

(18)

记A(t,T)=EQλ(ST),对式子(17)求数学期望,可以得到：

为计算V22的解析式,引进新的Radom-Nikody导数：

根据Girsanov定理,可以得到：

(20)

同理可求得ST在鞅测度Qη的值,且在概率测度Qη和信息流下,lnST也满足正态分布. 因此根据Bayes法则可得V22在鞅测度Qη下的解析式为：

(21)

综上,可以得到以下定理.

定理1约化模型下具有双重风险的可转债在t时刻的定价为：

其中ω是回收率,其他参数和变量见上述论证过程.