例谈数列中的难度较大的综合应用题

■广东省兴宁市第一中学 蓝云波

数列是高考中的核心考点,在历年的高考中都占有重要的地位。因此,如何高效学习好这部分内容变得至关重要。数列知识考点繁多,处理问题的思想方法较为灵活,问题的综合程度较高,在高考中已经形成了很多经典问题。下面通过对高考中数列综合应用问题的分析,可沟通数列的所有重要的知识与思想方法,同时也能体会到数列与其他重要知识点的精彩交汇,以期对同学们的学习有所帮助。

一、数列与数学文化的交汇

例1 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则第5节的容积为____升。

解析：设竹子从上到下的容积依次为a1,a2,…,a9,由题意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4。设等差数列{an}的公差为d,则有4a1+6d=3①,3a1+21d=4②。

点评:此题是数学文化题,关键是提取其中的重要信息,可发现此题实际上是等差数列问题。

二、an与Sn的关系问题

例2 设数列an｛｝的前n项和为Sn,已知an＞1,a2n+3an=6Sn-2（n∈N*）。

由题意知:

整理得（an+1+an）（an+1-an）=3（an+1+an）。因为an＞1,所以an+1+an≠0,an+1-an=3。

所以数列{an}是以2为首项,以3为公差的等差数列。

因此,an=2+（n-1）×3=3n-1。

点评:对含有an与Sn的关系式的数列问题,可利用公式an=Sn-Sn-1（n≥2）实现问题的求解。

三、等差数列与等比数列的综合问题

点评:本题综合考查了等差数列与等比数列的基础知识,解题的关键是对基本概念、公式的理解。

四、数列中的最值问题

解得6≤n≤7。

又n∈N*,所以最大项为第6项和第7项。

五、数列中的比较大小问题

当n≥3时,f（n+1）-f（n）＞0,故当n≥3时,f（n）单调递增。

因此,当n≥4时,f（n）≥f（4）=1。

而g（n）＜1,所以当n≥4时,f（n）＞g（n）。

经检验n=1,2,3时,f（n）＞g（n）仍成立。

点评:比较大小是数列中的常见问题,常见的解法有:直接作差法,借助中间变量法,构造函数进而利用其单调性等方法。结合此题的特点,可借助中间变量进行比较。

六、数列中的恒成立问题

（2）若对任意的n∈N*,不等式3n2-2n-5＜（2-λ）an恒成立,求实数λ的取值范围。

点评:含有参数的恒成立问题,分离参数是常见的解题策略,本题在分离参数后,通过借助数列的单调性求出数列的最大项,从而实现问题的求解。

七、数列中的不等式证明问题

点评:本题的关键是通过倒数变换,然后通过拆项,再利用累加法实现问题的求解。对代数变形能力要求较高,较为隐蔽,在证明不等式的过程中使用了常见的放缩法。

八、函数背景下的数列问题

点评:这是一道极为经典的倒序求和问题,这类试题往往给出一个优美的函数,然后借助该函数蕴含的一个奇妙性质进行求和,而这个蕴含的奇妙性质,往往需要对所需求和的式子进行观察而获得。

九、解析几何背景下的数列问题

例9 设C1、C2、…、Cn、…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半径,并且{rn}为递增数列。

（1）证明:{rn}是等比数列;

而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,将λn=2rn代入,解得rn+1=3rn。

故{rn}是公比q=3的等比数列。

（2）由于r1=1,q=3,故rn=3n-1。

点评:本题以解析几何为背景,通过数形结合,转化为数列问题,第二问考查了错位相减求和法。

十、平面向量背景下的数列问题

例10 设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j,坐标平面上点An、Bn（n∈

（2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an,求an（n∈N*）的表达式。

（3）对于（2）中的an,是否存在最小的自然数M,对一切n∈N*都有an＜M成立?若存在,求出M;若不存在,说明理由。

因此,存在最小的自然数M=6,对一切n∈N*,都有an＜M成立。

点评:本题通过向量的回路法,转化为已知条件的向量进行表示,并通过平面向量的坐标运算解题。