基于非对称复合材料层合板的准零刚度隔振系统

郭怀攀, 李 昊, 陈卫东, 周徐斌

(1. 南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室, 南京 210016；2. 上海卫星工程研究所, 上海 200240)

双稳定层板是一种具有两种稳定构型的非对称铺设复合材料层板结构[9-11]，因其在构型转变过程中显示出非线性及负刚度特性，有学者开始研究用其作为负刚度机构，构建准零刚度隔振系统，Shaw等[12]发现使用双稳定层板可以减小隔振结构的固有频率而不降低结构的承载能力。陆泽琦[13]系统的研究了双稳定层板的负刚度特性，并将其引入双层隔振系统进行试验研究，发现结构中加入双稳定层板后能改善系统的隔振性能。

本文利用理论和有限元方法研究了正交铺设复合材料层板的非线性特性。通过分析及设计，使得正交非对称层板具有准零刚度特性。采用准零刚度正交非对称层板作为隔振器进行隔振研究，预测其隔振效率，并与线性隔振系统进行比较。探究将其运用于卫星微振动控制的可行性。

1 理论模型

双稳定层板为非对称铺层，层板在制造温度时板为平板构型，由于预浸料在垂直纤维方向的热膨胀系数与沿纤维方向热膨胀系数的不同，在层板冷却至室温过程中，垂直纤维方向与沿纤维方向均产生残余热应力，层板在残余热应力作用下产生固化变形。图1所示为正交铺设层板中残余热应力在垂直纤维方向与沿纤维方向的单位长度的截面内的合力与合弯矩。

图1 正交层板中残余热应力的合力与合弯矩示意图Fig.1 Sketch map of resultant force and resultant moment of residual thermal stress in cross-ply laminates

假设层板中心固定限制其平动及转动。利用Hamilton法则Lagrangian方程的一阶变分在时间上的积分为零建立层合板动力学模型。

(1)

式中：T为板的动能；∏为板的总势能；WF为外力对板做的功。

1.1 层合板总势能

正交铺设双稳定层板的坐标系如图2所示，坐标系的原点为层板中心点，坐标主轴与层板边缘平行。层板铺设以中心面(即坐标轴xoy面)为分界中心面以下为0°铺层，以上为90°铺层，0°铺层与90°铺层厚度相等，文中所描述层合板厚度均为层合板总厚度。

(a)非稳定构型 (b)稳定构型1 (c)稳定构型2图2 正交铺设双稳定层板坐标示意图Fig.2 Cartesian coordinate system for cross-ply bistable laminate

根据Kirchhoff假设，可得到双稳定层板面内应变表达式为

(2)

(3)

因为双稳定层板的大变形，在计算其中心面应变时需引入von Karman几何非线性假设，得到双稳定层板的中心面应变表达式为

(4)

考虑残余热应力影响，层板每一各向异性层(如第k层)的应力与应变关系在层合板坐标系下的表达式为

(5)

联立式(2)、(4)并在层合板厚度方向上积分，可以得到层合板单位长度上的合力与合力矩。

(6)

(7)

式(6)、(7)可以改写为：

(8)

式中:A、B、D矩阵分别为层板的拉伸刚度矩阵、拉弯耦合刚度矩阵以及弯曲刚度矩阵：

(9)

Nt和Mt分别为层合板的残余热应力在层合板厚度方向上积分得到的合力和合弯矩:

(10)

最后，层合板的总势能可写为：

(11)

式中:Lx和Ly分别为层合板的平面尺寸。

因为层合板为非对称铺层，层合板内部存在拉弯耦合，因此,层合板中心面上的应变包含薄膜应变和弯曲应变。由式(9)可知，层合板的拉伸刚度矩阵与层合板厚度方向上坐标零点的位置无关，可得层合板在截面上的合力与薄膜应变的关系为：

N=Aεm

(12)

式中:εm为层合板的薄膜应变，联立式(12)与式(8)，可以得到层合板的薄膜应变与中心面应变之间的关系式为

ε0=εm-A-1BK+A-1Nt

(13)

对于正交铺设层合板，其弯曲方向与坐标轴平行，结合边界条件以及层合板变形的对称性特点，可假设正交铺设层合板的面外位移函数为：

w=ax2+by2+a1x4+b1y4+
a2x6+b2y6+ex2y2

(14)

式中:ai，bi，e为未知参数，则可求得层合板弯曲曲率为：

(15)

假设层合板的薄膜应变形式为：

(16)

式中:ci，di为未知参数。将式(16)代入式(13)可得到层合板的中心面应变，对层合板中心面应变积分可得到层合板中心面面内位移函数，联立式(14)可求得层合板的中心面剪切应变。

1.2 外力做功

为了驱动双稳定层合板从一种稳态跳变到另一种稳态，需要双稳定对层合板施加驱动力，学者们研究了利用形态记忆合金[14]，压电智能材料[15]以及施加集中载荷[16]等方法驱动双稳定层合板跳变。本文中在双稳定层合板四个角点施加集中载荷驱动双稳定层合板跳变。在这种驱动方式下外力做功为：

(17)

式中:f为每个角点作用的集中力。

1.3 层合板总动能

层合板中心固定，忽略面外转动，可得到正交铺设层合板总动能表达式为：

(18)

层合板的总动能的一阶变分在时间上的积分为：

(19)

化简式(19)可得，

(20)

1.4 构型预测

根据最小能量原理，可以预测双稳定层合板在残余热应力以及驱动载荷作用下的静态构型，双稳定层合板静态构型预测表达式为：

δWF-δ=0

(21)

联立式(2)、式(17)代入式(21)可得到，

(22)

当式(22)中每一项都等于0时，将得到一组关于未知参数ai，bi，ci，di，e的非线性方程组(23)：

(23)

因为fci，fdi为关于未知参数ci，di的线性方程，则ci，di可以用关于未知参数ai，bi，e的方程表示，则方程组(23)可简化为7个非线性方程,得到方程组(24)：

K(X)-F(X)=0

(24)

式中：

(25)

方程组(24)的解对应双稳定层板的平衡构型，通常方程组(24)存在多组解，对于双稳定层板的稳定构型，Jacobian矩阵(26)必须为正定矩阵：

(26)

1.5 动力学方程

将双稳定层合板的总势能、总动能以及外力做功代入方程(1)化简，可得到双稳定层合板运动的动力学方程。

(27)

式中:M为双稳定层合板的质量矩阵，可通过式(20)求得。F(X,t)表示式(17)中的角点集中力随时间变化。在理论模型中为了考虑阻尼影响，假设了Rayleigh阻尼，由于本文主要研究层板在较低频率下的振动响应，可假设层合板的刚度阻尼系数为0，则层合板的阻尼形式为：

(28)

式中:α为层合板的质量阻尼系数。

2 静力分析

层板所用材料体系为CCF300/5428，0°和90°铺层厚度相同，材料参数见表格1。层板的固化温度为140℃，假设室温为20℃，则层板从固化温度到室温的温度差为ΔT=-120℃。

表1 CCF300/5428材料参数Tab.1 Material properities of the CCF300/5428

2.1 构型预测

利用ABAQUS中壳单元建立100 mm×100 mm正方形正交铺设的双稳定层板的有限元模型，约束层板中心的位移和转动。在第一个静态分析步内将温度场从层板固化温度冷却到室温，结果显示层合板构型为非稳定的马鞍面构型。为了得到层合板的稳定构型，重启静态分析步在层合板四个角点施加沿z轴方向的微小集中载荷，第二静态分析步结束后，再次进行静力学分析去除在层合板角点施加的载荷，即可得到无外载荷作用下双稳定层合板的稳定构型，改变载荷沿z轴的正负方向，可得到两种不同的稳定构型。改变层合板的厚度，有限元分析及理论计算得到的无外载荷作用下层合板稳定状态的角点面外位移与层合板厚度关系曲线如图3所示。

图3 正交铺设层板厚度参数分析Fig.3 Parametric analysis of laminate thickness for cross-ply laminate

图3所示理论计算结果与有限元分析结果吻合的很好，当层合板厚度达到一定尺寸时会失去双稳定特性，此时层合板的稳定构型为马鞍面构型。有限元分析得到的层合板失去双稳定性的临界厚度约为1.028～1.032 mm,理论计算得到的临界厚度约为1.022～1.026 mm。原因是理论模型中共有17个未知参数，即模型具有17个自由度，而在有限自由度的限制下理论模型无法精确表征层合板的局部变形；相比之下，有限元模型中由于节点数较多，其自由度远大于理论模型。因此，理论模型与有限元模型所预测的双稳态临界厚度存在一定误差。

为研究层正方形正交铺设合板层合板几何尺寸以及材料属性对其失去双稳定特性临界厚度的影响，利用理论计算方法得到了不同材料层合板边长与临界厚度的关系，如图4所示。预测结果显示，当材料确定时，层合板失去双稳定特性的临界厚度与其边长呈线性关系。

2.2 刚度分析

利用有限元分析，在层合板四个角点施加位移驱动，得到不同厚度情况下层合板角点力位移关系曲线如图5所示，由图5中(a)、(b)、(c)可以发现当层合板具有双稳定性时，层合板在角点面外位移为0附近的一定位移区间内具有负刚度特性，并且随着层合板厚度增加具有负刚度特性的位移区间逐渐变窄，当层合板厚度增加到1.032 mm时，层合板失去双稳定构型。此时层合板无外载荷作用下的稳定构型为马鞍面构型，角点力位移关系曲线如图5(d)所示，在其平衡位置附近的位移区间内，层合板刚度趋近于零，随着角点偏离平衡位置的位移增大，层合板刚度非线性增大，此种状态层合板具有准零刚度特性。

图4 不同材料层合板长度与临界厚度关系Fig.4 Length-critical thickness curve of different materials

(a)层合板厚0.7 mm (b)层合板厚1 mm (c)层合板厚1.028 mm

(d)层合板厚1.032 mm (e)层合板厚1.032 mm局部图图5 层合板角点力位移关系Fig.5 Corner node force-displacement curve

对比图5(c)、图5(d)有限元分析结果显示在层合板临界厚度附近，层合板厚度发生微小变化会引起其刚度发生显著变化。理论模型计算显示层合板的临界厚度约为1.026 mm，表格2中对比了层合板在微小载荷作用下的角点面外位移，图6中对比了层合板力位移关系曲线有限元分析结果与理论计算结果。结果显示层合板厚为1.032 mm时，理论模型与有限元模型结果存在较大误差。理论模型层合板厚度为1.026 mm时与有限元模型层合板厚度为1.032 mm时层合板刚度特性基本吻合。即理论模型中当层合板厚度为1.026 mm时具有准零刚度特性。

表2 不同载荷作用下角点面外位移对比Tab.2 Out-of-plane displacement of corner node with different load

图6 层合板角点力位移关系对比Fig.6 Contrast of corner node force-displacement curve

3 隔振研究

已有的利用双稳定层合板进行振动控制的研究中，双稳定层合板作为负刚度机构与其他正刚度机构组合构造准零刚度系统进行隔振[12-13]，其中正刚度机构用于承载被隔振设备自重。有限元分析结果图5显示当层合板厚度为1.032 mm时，层合板具有准零刚度特性，此状态下层合板在静平衡位置附近刚度接近于零。在外太空环境中可以忽略被隔振设备自重，所以可以考虑单独利用此状态的层合板作为准零刚度机构进行卫星微振动低频隔振，此时层合板稳定构型为马鞍面构型，静平衡状态角点面外位移为零。从力位移关系曲线图还可以发现，当系统偏离平衡位置达到一定位移后，系统承载能力显著增加，具体数据见表格3，可以在卫星发射阶段承受过载，保护系统在卫星发射阶段不被损坏。传统的线性隔振系统显然无法同时起到在太空中低频隔振，以及发射阶段承受过载的作用。

表3 不同位移下系统反作用力对比Tab.3 Refraction force of different displacement

3.1 隔振效果研究

首先利用理论和有限元方法研究层合板无阻尼自由振动频率，层合板中心固定，四个角点各固定一个重量为50 g的质量块，在四个角点施加集中载荷，撤去载荷后层合板无阻尼振动频率与预作用力的关系曲线如图7所示。从图7可发现层合板无阻尼自由振动频率随角点预作用载荷增大非线性的增大，即层合板刚度随着角点偏离平衡位置的位移增大而非线性增大，与图5(d)所示结果相符。

图7 层合板无阻尼自由振动频率Fig.7 Nature frequency of laminate

在厚度为1.032 mm的复合材料层合板四个角点各固定一个质量块，构成简单隔振系统。在层合板中心施加正弦加速度激励如式(29)所示。激励加速度幅值为a1=50 mg,层合板质量阻尼系数取100。观测角点加速度响应，角点加速度响应幅值记为a2，将得到的结果与相同材料的由无残余热应力的正交铺设平板构成的线性隔振系统的隔振效果进行比较，结果如图8所示。

a=a1sin(2πft)

(29)

(a)角点质量4×25 g

(b)角点质量4×50 g图8 激励频率对加速度传递幅值的影响Fig.8 Excitation frequency effect

由图8可以发现随着被隔振设备质量的增加，系统固有频率降低，本文研究的准零刚度系统理论计算结果与有限元分析结果在一定频带范围内两者存在较大误差，但总的隔振效果随激励频率的变化趋势一致。与线性隔振系统相比，准零刚度系统的固有频率低于线性隔振系统，振动加速度传递峰值小于线性隔振系统，隔振有效区域宽于线性隔振系统，且在隔振有效频带内隔振效果明显优于线性隔振系统。

3.2 误差分析及讨论

由图8发现理论模型计算结果与有限元分析结果存在一定误差，产生误差的主要原因是理论模型中取层合板的厚度为1.032 mm，由图6中力位移关系曲线可以发现此时理论模型在平衡位置附近刚度远大于有限元模型，图9中给出了理论模型利用厚度为1.026 mm层合板的隔振效果。角点质量为4×25 g。

图9中结果显示当理论计算模型中层合板厚度取1.026 mm时，其隔振效果与有限元模型吻合较好，与图6结果相符。图9中结果显示被隔振设备质量确定时，加速度激励幅值增加会导致系统固有频率增加，如本研究中对于重100 g的被隔振设备，激励加速度幅值有10 mg增加到50 mg时，系统固有频率有5.2 Hz增加到8 Hz。原因是系统刚度随系统偏离平衡位置位移增大而增大。

(a)激励幅值10 mg

(b)激励幅值10 mg局部图

(c)激励幅值50 mg

(d)激励幅值50 mg局部图图9 隔振效果对比Fig.9 Contrast of isolation effect

通过与文献[7-8]中研究结果对比发现，本文研究的隔振器与传统准零刚度隔振器隔振效果类似，但具有结构简单的优势，有利于卫星减重设计。

4 结 论

本文建立了正交铺设复合材料层合板的理论模型，研究了其双稳定特性以及刚度特性层板厚度之间的关系，发现随着层合板厚度增加其负刚度变形区间逐渐变窄，当层合板厚度达到失去双稳定特性临界厚度时，层合板具有准零刚度特性。研究了以该厚度层合板作为准零刚度机构进行隔振的效果，通过与线性隔振系统的隔振效果进行比较发现，该准零刚度隔振系统具有固有频率低、隔振频带宽、在隔振频带范围内隔振效果好等优点。且与传统准零刚度隔振机构相比，本文研究的准零刚度隔振系统结构简单，占用空间小，无需复杂的机构便可以实现准零刚度特性，对于卫星微振动隔离具有潜在应用价值。