数学文化在《定积分的概念》教学中的渗透

苏丽仙

摘 要：定积分的概念来源于求平面图形的面积及其他一些实际问题；定积分的思想在古代数学家工作中，就已经有了发现。为了该数学文化在教学中的渗透我特地上了一节《定积分的概念》的公开课，以下是教学实录及其教后反思。

关键词：数学文化 定积分 渗透

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2018）09-0-01

一、引出课题

师：上一节课我们给出了如何求一个曲边梯形和曲边三角形的面积的方法，那么这个方法具体有哪些步驟呢？

生： 有“四步曲”：分割----近似代替----求和----取极限。

师：用此方法我们还可以解决物理中的哪些问题？

生：计算变力所做的功；汽车走过的路；水库浑洪时闸板所受的压力等。

师：好，此方法用途之广，但求解过程如此繁冗。那我们可不可以用一个更为简便的数学符号来表示它？

生（异口同声）：定积分。

师：很好，那我们如何给“定积分”下定义呢？

二、给出定义

师（生念师板书并课件展示）：一个函数f（x）在区间[a， b]上曲边梯形的面积，叫作函数f（x）在区间[a， b]上的定积分，记作

定积分有关名称：

ò ———叫做积分号； a ————叫做积分下限；

f（x） ——叫做被积函数； b ————叫做积分上限；

f（x）dx —叫做被积表达式； [a， b] —叫做积分区间。

x ———叫做积分变量；

注： （1）积分号是拉长了的英文字母S，表示积分的计算是求和的推广，此记号是德国数学家莱布尼茨引进的。

（2）定积分的符号具有一定的抽象性，它既是一个和式的极限也是一个确定的常数。

（3）式中x的可换成任意字母，意义不变。

三、解析定义

师：我们只有通过深入的研讨琢磨，才能对定义的本质与内涵进一步理解和掌握。定积分到底是什么？同学们能否简单表述一下？

生：曲边梯形的面积是定积分。

师：很好，那定积分在几何上可以怎样表示呢？

生（与同桌开始讨论）：定积分是曲边梯形的区域位于直角坐标系中不同象限而取值符号不同。

师：对了，那具体有哪些不同呢？（教师课件展示，学生滔滔不绝回答）

生：

生：

生：当f（x）在区间[a， b]上既有正又有负时，积分就是x轴上方的面积加上x轴下方的负的面积。

教师适当放慢速度让学生领悟以上两个定积分与面积的符号关系，寻找被积函数f（x）在直角坐标系中图象的位置。当学生感到困难时，教师要及时地点拨。

师：大家发现到了定积分与面积的符号关系？

生（小心翼翼）：曲边梯形的区域若在x轴上方的定积分与面积的符号相同，若在x轴下方的定积分与面积符号相反。

师：非常好！那被积函数f（x）与其在直角坐标系中图象的位置又有什么关系呢？

生（恍然大悟）：被积函数f（x）由图可以写成f（x）-0即上函数解析式减去下函数解析式。

学生高兴地像哥伦布发现新大陆！

生（兴奋回答）：

师（激动小结）：以上我们所研究的内容就是定积分的几何意义。在研究过程中运用到数形结合的思想方法，同学们要牢记这些几何意义，在接下来的例题中发挥重大作用。那么大家再想想，若把曲边梯形换成曲边三角形甚至任意图形上面的结论也成立吗？

生（犹豫一下）：应当也成立。

师：对！（并板书说明）

四、应用定义

师（课件展示）：下面给出几道练习，来检验大家对今天所学内容是否领悟、理解和掌握。

例：如图四个阴影部分，请用定积分分别表示它们的面积。

f（x）=（x-1）2-1

生（自信分析）：图①的阴影部分区域位于x轴上方，且上函数解析式减去下函数解析式为x2-0即x2，所以阴影部分面积

生（自信分析）：图②的阴影部分区域可以分成y轴左侧和右侧两个部分，分别求出再相加即可。

以上是方法一。

生（激动）： 图②的阴影部分区域位于第一和第二象限内，且x[-1，2] 在上面的函数图像和下面的函数图像相对固定， 所以阴影部分面积

以上是方法二。

生（激动）：我明白了，那图③阴影部分面积

师：根据刚才大家所分析可得解决图②③的方法可以有两个，显然第二种方法简便，在解题时具体用哪种方法更合适还要由图像决定的。

当同学们做到图④时，全班都沸腾了，各抒己见……

生： 图④的阴影部分区域位于x轴上方和下方，且位于x轴上方不都是函数f（x）=（x-1）2-1，而位于x轴上方不都是函数y=0。

生：对喔，那我们就不能用图②③的简便方法来做了。

生： 图④的阴影部分面积可以分成两个部分来求： 一个位于x轴上方另一个位于x轴下方，先把两个部分的面积分别求出来再相加即为所求， 所以阴影部分面积

师：看来本节课大家对知识的掌握还是比较全面的，个个分析地很到位。

五、课堂小结

师：这节课我们学习的主要内容是定积分的概念，围绕它我们做了深入的探究，现在我们来回顾一下。

生：由函数y=f（x），y=g（x）（f（x）≥g（x））及x=a，x=b所围成的面积可以用定积分来表示。

师：如何表示？我们应当注意什么？

生（异口同声）：围成的区域若在x轴上方的定积分与面积的符号相同；若在x轴下方的定积分与面积符号相反；若既有在x轴上方又有在x轴下方的定积分就是x轴上方的面积加上x轴下方的负的面积。

师：我们在探究的过程中主要用到什么的数学思想方法？

生：数形结合。

生（兴奋）：我们还学到了求不规则图形面积的方法，不得不佩服前人的聪明才干，让我们体会到了积分的威力！

师：很好，同学们经过认真细致的分析和探究，对本节课的内容领悟、理解和掌握。

六、教后反思

积分学的创立，被称为“人类精神的最高胜利”，是数学史上更是人类历史上的一件大事，若没有积分学，我们科学研究和工程技术中的很多问题就无法得到解决。

本节课用“曲边梯形的面积”来定义“定积分”概念，既直观又方便，不过它依赖于几何，也依赖于面积概念，所以在应用定积分来处理实际问题时，要掌握定积分与面积取值的符号，在教学过程中老师要特别强调以下两点：

（1）

（2）围成的区域在x轴下方的面积等于对应的定积分的相反数，这一点对于初学者来说很容易错误。

参考文献

[1]吴小艳. 高职数学微积分教学中渗透数学文化的理论与实践研究[D].苏州大学，2010.

[2]陆斌.对高等数学教育改革的探讨[J].科技信息（学术研究），2006（12）：92-93.