有理数如何扩展到实数

【摘要】微积分理论是数学的一个基础学科。它的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分的理论是建立在实数数域的完备性基础之上，在这篇论文中，我们讲从完备化这个基本概念出发，去探讨如何从有理数域通过完备化的过程扩展到实数数域。

【关键词】有理数；实数

【作者简介】肖雨伶，成都七中万达学校。

一、动机

实数数域，包含有理数与无理数，前者如0、-4、81/7，而后者如√2、π等。直观上说，实数可以理解成小数（有限或无限的）。如果我们把一条直线理解成一个实数数轴，直线上的点一一对应于一个特定的实数，那么它们似乎可以把数轴“填满”。但仅仅以枚举的方式不能准确地描述实数的全体。实数和虚数共同构成复数。

根据日常经验，有理数域在实数数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。以边长为1公分的正方形为例，其对角线有多长？在规定的精度下（比如误差小于0.001公分），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如1.414公分）。但是，在公元前500年左右，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念；他们原以为：任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1 ， 2 ， 3 ，...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数域存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击，这在数学史上被称为第一次数学危机。

从古希臘一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。

所有实数的集合可称为实数数域。任何一个完备的阿基米德有序域均可以认为“等同于”实数数域。微积分的理论是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支，并成为了现代数学基础的重要组成部分。在历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如：几何学是研究形状的科学、代数学是研究代数运算和解方程的科学一样。微积分学又称为“初等数学分析”。

微积分学在科学、经济学、商业管理学和工业工程学领域有广泛的应用，用来解决那些仅依靠代数学和几何学不能有效解决的问题。微积分学在代数学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学二大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行演绎。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中一般会先引入微分学。在更深的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是现代数学的主要分支之一。

微积分作为一个完备的理论，其基础是建立在有理数数是不完备的，而实数数域是完备的这个条件之上的。实数可以不同方式从有理数构造出来，例如，实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制所定义的序列的方式而构造为有理数的补全，但是本质上都是一个完备化的过程。在这篇论文中，我们讲从完备化这个基本概念出发，去探讨如何从有理数域通过完备化的过程扩展到实数数域。

二、实数的完备性

我们知道有理数，无理数的定义：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称；无理数，也称为无限不循环小数。我们也知道实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。分数是两个整数之比产生的不等于整数的比；有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。那么问题来了，有理数是如何扩展到实数的？

初中我们学习了实数的3个性质即封闭性，有序性，传递性。其实，在我们还未涉猎的区域里，实数还有其他3个性质。

1.是稠密性：R实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.简单来说用刀切数轴，如果你用两刀削下来一个有长度的线段（开区间），不管你刀工多精妙，线段长度再小，只要不为0，其中就一定有至少一个——甚至可以说，有无穷多个有理数。这个就叫做有理数的稠密性。稠密性——无孔不入。

2.是完备性：所有的柯西序列都有一个实数极限。这里提到的柯西序列意思是这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近，更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。完备性就是孙悟空永远跳不出如来佛的五指山。完备性——密不透风。

3.是阿基米德性质：对任意两正数x及实数y，存在正整数n，使nx>y.在几何上这意味着，无论多长的线段，都能用有限条不管多短的等长线段覆盖；换句话说，无论采用多短的线段作单位，都能在有限次内把无论多长的线段量完。

掌握了这些性质后，我们就可以展开研究了。有理数从1变到2，中间似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白，其实有理数从1变到2 并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数。有理数再添加无理数，凑成全体实数，我们说，实数是可以连续变化的，说变量从0变到1，是说要X取遍0到1之间的一切实数。

举个例子，实数具有连续性，而有理数不具有连续性。如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？设想用一把锋利的刀把数轴砍成两截，这一刀一定会看在某个点上，即砍中了一个实数。如果能够看在一个缝隙上，数轴就不算连续的了。设数轴是从点A处被砍断的，这个点A不是在左半截上，就是在右半截上。这是因为点不可分割，又不会消失，所以不会两边都有，也不会两边都没有。从以上的假象中领会到所谓数轴的连续性，就是不管把它从什么地方分成两半截，总有半截是带端点的，而另外半截没有端点。

实数的连续性，也就可以照样搬过来：“把全体实数分成甲，乙两个非空集合，如果甲集里任一个数X比乙集里的任一个数Y都小，那么，或者甲级里有最大数，或者乙集里有最小数，二者必居其一，且仅居其一，这就叫做实数的连续性。”

而有理数系不满足这个条件。如果把全体负有理数和平方不超过2的非负有理数放在一起组成甲集，所有平方超过2的正有理数组成乙集，则甲集无最大数，乙集也无最小数。若从甲乙两集之间砍一刀，就砍在缝里了。在实数系中，这个缝就是用无理数根号2填起来的。

这种方法叫做有理数的一个戴德金分割，简称分割。所以我们需要将无理数和有理数结合起来形成一个连续的，稠密的数系，这个数系就是实数系。有理数集到实数集，使得正数的开方运算得以完备，任意正数的开方都为实数。

例 2.1 （有理数数域不是完备的）。

通过上面的讨论，我们已经知道完备化的定义是一个柯西数列总是收敛的。我们可以构造以下这个例子：X_n = [√2 n]n.

其中符号[ ]表示取整符号。容易证明，这个有理数数列是柯西数列，但是它收敛于√2，并不是一个有理数，所以有理数数域并不是完备的。

一个自然的问题，便是如何从有理数数域出发，构造一个“等同于”实数数域的数系，并且证明它是完备的？我们这样思考这个问题，考虑有理数数域上的所有的柯西数列，我们定义两个柯西数列等价当且仅当他们充分的靠近，即在去掉有限个元素后，可以使得它们余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。于是我们可以定义等价类之间的加、减、乘、除，这样我们就得到了一个域。一方面，我们可以证明，这个域代数上是同构于实数数域，即它等同于实数数域。另一方面，我们可以去证明在这个数域中，任何一个柯西数列总是收敛的。于是，我们得到：定理2.2. 存在一个唯一的包含有理数数域的一个阿基米德完备域，并且这个域等同于实数数域。

关于这个完备化过程的更详细地证明，我们推荐读者参看参考文献。

三、讨论

通過以上的讨论，我们可以理解完备、完备化的概念，并且也研究了如何通过完备化的方法，从有理数域出发，构造实数数域。从一个更一般化的角度来说，完备化的过程依赖于有理数数域上的绝对值的概念，这个绝对值因为满足三角不等式，所以我们一般称它为阿基米德绝对值。另一方面，我们可以利用素数，来定义一个满足更强的不等式的绝对值，成为非阿基米德绝对值。有了非阿基米德绝对值的概念，我们相当于在有理数数上定义了另一种度量，于是我们可以完全仿造第二节中所讨论的方法，来定义有理数的完备化过程，这样我们会得到无穷多个新的完备数域，我们称他们为p-adic数域，在这样的数域上，我们会发现很多奇妙的性质，比如，我们可以很容易地构造一个平面圆，使得这个圆里面的每一点都是它的圆心！关于非阿基米德绝对值所带来的这些有趣的性质，我们推荐读者参看进一步的文献，例如参考文献[1].

参考文献：

[1]冯克勤.代数数论简史[M].湖南教育出版社，湖南，2002.

[2]沈燮昌.数学分析，第2册[M].高等教育出版社，北京，2014.

[3]张筑生.数学分析新讲，第一册，第1版[M].北京大学出版社北京， 1990.