浅谈竞赛数学与考研数学的教学特点

摘要：本文以高等数学为例，分析了大学生数学竞赛与硕士研究生统一招生考试数学科目的具体要求、出题侧重点等，结合高等数学教学的主要目标，讨论了竞赛数学与考研数学在课堂教学环节的特点。

关键词：高等数学；竞赛数学；考研数学

高等数学课程是高校工科类学生必修的一门重要基础理论课，通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分的基本概念、基本理论，提高学生的数值计算、符号运算等基本运算能力，培养学生空间想象能力、抽象概括能力和逻辑推理能力，培养学生利用数学知识和数学方法解决实际问题的能力，培养学生的创新意识，提高学生的创造力，为后续相关专业课程的学习奠定良好的数学知识基础。每学期结束时的学业考试是检验学生学习效果和教师教学效果的有效方式，除此之外，全国大学生数学竞赛和硕士研究生统一招生考试数学科目考试也是衡量高校教学水平的重要标准。

一、 全国大学生数学竞赛的重要性

为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，2009年首届全国大学生数学竞赛顺利举行。竞赛大纲中明确指出，竞赛的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平。数学竞赛的命题和对参加竞赛学生的培训，都要以提高学生的数学能力为基本的出发点，这些数学能力包括空间想象能力、抽象概括能力和逻辑推理能力，同时也包括学生在学习过程中发现问题并独立思考、解决问题的能力。在学习和掌握数学竞赛知识、计算方法和解题技巧的过程中，遇到困难不可避免。此时，引导学生不放弃任何难题，逐步培养学生独立钻研的学习态度，进而养成锲而不舍、科学严谨的学习习惯，这也是数学竞赛对培养人才的价值体现。

二、 硕士研究生统一招生考试数学科目考试要求

全国硕士研究生统一招生考试指教育主管部门或招生机构为选拔研究生而组织的相关考试的总称。每年都会由教育部考试中心组织编写，高等教育出版社独家出版考研大纲，其中规定了当年全国硕士研究生入学考试相应科目的考试范围、考试要求、考试形式、试卷结构等。考研数学科目大纲中指出，数学考试的目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备继续攻读硕士学位所需要的数学知识和能力。考查目标为要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、 举例说明两者之间关系

从竞赛数学和考研数学的定位和具体要求来看，它们都是以数学的基本能力为基础，这也是在课堂教学中学生需要重点掌握的。在此基础上，竞赛数学和考研数学又各有偏重。竞赛数学更强调创造性思维、数学素养和灵活的解题技巧。相比而言，考研数学更注重基本概念、基本理论和基本方法的熟练掌握和融会贯通。

以级数为例，这一章节在高等数学中是概念性较强，同时也是解题方法较多、计算量较大的一部分内容，在竞赛数学和考研数学中都是考查的重点。我们看下面两个举例：

例1若级数∑∞n=1an条件收敛，则x=3与x=3依次为幂级数∑∞n=1nan（x-1）n的（）

A. 收敛点，收敛点

B. 收敛点，发散点

C. 发散点，收敛点

D. 发散点，发散点

这是2015年考研数学（一）中的选择题，考查的是幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的四则运算性质、导数性质和幂级数收敛的阿贝尔定理等基本概念的综合运用。因为∑∞n=1an条件收敛，即x=2为幂级数∑∞n=1an（x-1）n和∑∞n=1an（x-1）n+1的收敛点，由阿贝尔定理，可得∑∞n=1an（x-1）n和∑∞n=1an（x-1）n+1的收敛半径为1，收敛区间为（0，2）。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故所求幂级数∑∞n=1nan（x-1）2=∑∞n=1an（x-1）n+1-∑∞n=1an（x-1）n的收敛区间还是（0，2）。因而x=3与x=3依次为幂级数∑∞n=1nan（x-1）n的收敛点和发散点。从上述的分析解答过程来看，该题综合运用了多个基本概念、基本定理和基本性质，各知识点之间联系密切，环环相扣。只要其中一个知识点处理不当，就无法得到完整的解答。

例2设f（x）在（-∞，+∞）可导，且f（x）=f（x+2）=f（x+3）。用傅里叶级数理论证明f（x）为常数。

该题为2016年全国大学生数学竞赛非数学类初赛试卷中的一道解答题，考查了傅里叶级数的基本公式，但计算过程中需利用定积分的运算性质和技巧，且计算量较大。由f（x）=f（x+2）知f（x）是以2为周期的周期函数，又f（x）=f（x+3）以及定积分和换元积分法、周期函数定积分的运算性质，得

an=∫1-1（x）cosnπxdx

=∫1-1f（x+3）cosnπxdx=∫1+3-1+3f（t）cosnπ（t-3）dt

=∫1+3-1+3（t）（cosbπtcos3nπ+sinnπtsin3nπ）dt

=cos3nπ∫1-1f（t）cosnπtdt+sin3nπ∫1-1f（t）sinnπtdt

=ancos3nπ+bnsin3nπ，

同理bn=bncos3nπ-ansin3nπ，由此解得an=bn=0（n=1，2，…）。而f（x）可导，所以f（x）連续，其傅里叶级数收敛于f（x），所以f（x）=a02+∑∞n=1（ancosnt+bnsinnx）=a02，其中a0=∫1-1f（x）dx为常数。

通过以上两个例子可以清楚地看到，基本概念是数学的根本，概念对于数学就像地基对于摩天大楼，只有根基打得扎实才能使数学的大厦更加稳固。丰富的解题经验和计算技巧，使得学习数学更上一层楼。在日常课堂教学中，老师的教与学生的学应更加重视基本概念，加强基本知识和基本方法的练习。同时鼓励学生参加数学竞赛，培养学生的创新精神。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]全国考研数学大纲配套教材专家委员会.2017考研数学考试大纲解析及配套600题套装（数学一和数学二适用）[M].北京：高等教育出版社，2016.

作者简介：

吴隋超，上海市，上海工程技术大学数理与统计学院。