Ms.Excel在复变函数教学中的应用

艾合买提?卡斯木 热娜?阿斯哈尔

摘要：简要介绍了Ms.Excel自带的与复变函数有关的内置函数。通过Ms.Excel的画图功能演示复变函数确定的映射，详细展示了Ms.Excel教学模板的设计和制作全过程与方法，初步讨论Ms.Excel在复变函数中的应用。为复变函数教学辅助工具提供了一种简单、直观、高效的方法。

关键词：复变函数；Ms.Excel；映射；教学模板

一、 引言

复变函数作为数学各专业的必修课，不仅对数学专业学生，而且对理工类专业学生来说都是十分必要的。复变函数的许多理论都可以通过它的几何解释深入的理解，然而，有时候由于自身的复杂性很多内容不能够完美地表示它们的几何解释。此时，如果与多媒体教学结合的话，可以得到较好的教学效果。虽然有许多功能强大、界面友好的数学软件帮助我们得到想要的结果（如matlab，Mathematica，Maple等），但是这些数学软件对使用者的要求较高，需要进行专门培训、学习才能掌握。当前普遍性较高、入门容易、操作简单的Ms.Excel软件的基本操作已为广大师生熟悉而且功能直观、数据输入界面简便，使用者易于接受、便于掌握其功能。此外，它不仅可以作为日常文档使用，更重要的是它具有较强的绘制图像可视化功能，合理正确地使用Ms.Excel的这些功能可以提高复变函数的教学质量并可以直观、形象、生动地阐述复变函数中那些抽象、深奥、难懂的概念及其相应的几何解释。本文首先简单介绍Ms.Excel中自带的与复变函数有关的内置函数，然后以复变函数的几何解释—映照为例详细展示Ms.Excel在复变函数以及教学中的应用。

二、 在Excel中复数的表示及运算有关的命令

在Ms.Excel中复数z=x+yi的表示格

式为：COMPLEX（x，y）；比如在Ms.Excel中输入复数z=3+2i。

方法一：在单元格D2中输入3，单元格E2中输入2，然后单元格F2中输入=COMPLEX（D2，E2）确认就可以。如图1（a）所示。

方法二：选择空单元格输入：=COMPLEX（3，2）确认就可以，如图1（b）所示。

（a）（b）

设z=x+yi是一个复数，在Ms.Excel中常用的复数运算有关的内置函数的命令格式如下：

IMREAL（z），返回复数的实部；

IMAGINARY（z），返回复数的实部；

IMCONJUGATE（z），返回复数的共轭；

IMCONJUGATE（z），返回以弧度表示的辐角；

ISUM（z1，z2），返回两个复数的和；

IMSUB（z1，z2），返回两个复数的差；

IMPRODUCT（z1，z2），返回两个复数的乘积；

IMDIV（z1，z2），返回两个复数的商；

IMSQRT（z），返回复数的平方根；

IMEXP（z），返回复数的指数值；

IMPOWER（z，n），返回复数的n次方整数幂；

IMSIN（z），返回复数的正玄值；

IMCOS（z），返回两个复数的余弦值；

IMLN（z），返回两个复数的自然对数；

三、 Ms.Excel在复变函数教学中的应用

我们常用几何图形来表示函数，为了表述复变函数的几何意义，取两张复平面，分别称为ω平面和z平面；如果在z平面上函数ω=f（z）的定义域E内取一点z0，通过ω=f（z）在ω平面上有相应的点ω0与之对应，当z取遍点集E时，在ω平面上就有相应的点集F与之对应。因此，从几何上来讲，复变函数ω=f（z）代表的是z平面上点集E到ω平面上的点集F之间的一种变换，即一种映照。

下面举一个实例用Excel演示这种z平面到ω平面的映射。

复变函数ω=z+1z将z平面上的圆周|z|=R映照成ω平面上的什么图形。

（一） 函数关系说明

首先我们用复变函数知识说明复变函数ω=z+1z将z平面上的圆周|z|=R映照成ω平面上的什么图形。圆周|z|=R，可表示成z=Reiθ，则

ω=Reiθ+1Reiθ

=（R+1R）cosθ+i（R-1R）sinθ

若设ω=u+iv，u=acosθ，u=acosθ，

其中a=（R+1R），b=（R-1R）。显然，当R≠1时，u2a2+v2b2=1。这说明映照ω=z+1z将z平面上的圆周|z|=R（R≠1），映照成ω平面上长轴为2a，短轴为2|b|的椭圆线。当R=1时，ω=2cosθ，即上述映照将单位圆映照成ω平面上实轴的一段-2≤u≤0。

（二） Ms.Excel演示

用Excel演示这种z平面到ω平面的映射关系。

1. 复数z的计算

z平面上的圆周z=Reiθ在直角坐标内可写成

x=Rcosθ

y=Rsinθ0≤θ≤2π。

第一步，打开Ms.Excel工作做窗口，输入订制半径R=3，即选单元格B1输入3；

第二步，创建θ的值为0°至360°，以10°为增量；即先A4单元格内输入0，A5单元格内输入=A4+10，得值20。确保选中A5后将鼠标指针移动到填充柄（单元格右下角的粗加号）上，单击并向下拖动，直到显示从A4到A40的单元格。

第三步，利用A4和B1的值，单击B4单元格，输入=$B$1*COS（$A$4*PI（）/180）返回复数的实部x，然后将填充柄向下拖动到B40为止。

第四步，在C4单元格中输入=$B$1*SIN（$A$3*PI（）/180）返回復数的虚部y，同上步骤将填充柄向下拖动到C40为止。

第五步，用B4和C4的值生成复数，在单元格D4中输入=COMPLEX（B3，C3），再将填充柄向下拖动到D40为止，如图2所示。

2. 复数ω的计算

第一步，利用ω=z+1z公式来找出

另一个复数ω=u+iv，即首先利用单元格D4的值，单击E4，E4单元格内输入函数=IMSUM（D3，IMDIV（COMPLEX（1，0），D3））按确定按钮，将填充柄向下拖动到E40为止。

第二步，在F4中输入=IMREAL（E4），在G4中输入=IMAGINARY（E3）分别得到复数ω的实部u与虚部v，然后确保选中F4和G4将填充柄向下拖动到F40与G40。

3. z平面与ω平面的可视化

在Excel2016中选择“插入”∣“图表”组中单击∣“插入散点图（X，Y）或气泡图”∣在“散点图”选项中选择“带平划线和数据标记的散点图”，之后出现空图表区域内单击鼠标的右键，选择“选择数据”出现的对话框内单击“添加”选项，会出现“编辑数据系列”表，图表的每一个空格内一一添加相应的格式，即“系列名称”内填写“z平面”，“x轴数据系列值”内填寫选择的数据区域（$B$4：$B$40），同样“y轴数据系列值”内填写选择的数据区域（$C$4：$C$40），按“确定”按钮。最后在任意图形上单击鼠标右键选择“设置数据系列格式”对图表进行修饰即可。按同样的步骤画出“ω平面”。

当B1的值R=3时，z平面映射到ω平面形成长轴为3.33，短轴为2.88的椭圆，如图3所示。

4. 模板使用说明

（1） 圆是非单位圆时，z平面的圆映射到ω平面的椭圆，比如当B1的值为2时，映射成长轴为3.33，短轴为1.66的椭圆，如图4所示。

（2） 圆是单位圆时，z平面的单位圆映射到ω平面实轴上的线段，即B1的值为1时，映射成ω平面端点为u=-2和u=2的线段，如图5所示。

（3） 当映射函数改成ω=ez（在E4单元格内输入函数=IMEXP（D4）即可）时，将圆|z|=3映射成如图6所示的图像。

总之在这个模板上映射函数改成任何一个函数可以观察到圆映射成什么样的图像，有很好的扩展性。

四、 结语

从上面的实例看出，用Ms.Excel很容易展示较复杂的复变函数的几何意义。此外，由于操作的简单性和直观性，可以激发学生亲自动手操作的欲望、加深学生对理论知识的理解、调动学生的学习兴趣，对于提高实变函数教学质量具有积极意义。当然Ms.Excel在复变函数教学方面除了以上用途外，还有很多用处。

参考文献：

[1]苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]热合买提江·依明，阿合买提江·依明江.Excel作为概率论与数理统计教学辅助工具的探究[J].中国校外教育旬刊，2015（z1）.

[3]热合买提江·依明，阿合买提江·依明江.Excel在单摆运动分析中的应用[J].实验室研究与探索，2015，34（1）：113-117.

[4]John Walkenbach.中文版Excel 2016 宝典[M].赵利通/卫琳译.北京：清华大学出版社，2016.

作者简介：

艾合买提·卡斯木，热娜·阿斯哈尔，新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市，新疆大学数学与系统科学学院。