高中数学排列组合问题解题策略研究

姚刚

[摘 要]排列组合是高中数学中的重要知识点，同时也是高考的重要内容.但是.不少学生很难掌握排列组合的相关知识.要破解排列组合问题学习难点，熟练掌握好相关的解题模型策略固然重要，但以“完成这件事”为目标建立数学模型才是关键.

[关键词]排列组合问题；高中数学；教学研究

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）26-0034-02

排列组合是高中数学内容的一个重要组成部分.由于排列组合极具抽象性，使之成为高中数学中“教”与“学”的难点.第一，教师没有详细和透彻讲解排列组合的原理，更多时候把重点放在解题方法上，忽略了原理的生成，导致学生在运用过程中出现遗漏、重复或者无法分类的情况；第二，教师在讲解排列组合时，更多的是运用解题“模型”，忽略了模型的来源，导致学生碰到“模型”以外的类型，就束手无策.笔者认为，排列组合中解题的常规“模型”的策略固然重要，但能够把实际问题转化为可操作的数学模型更重要，这也是排列组合的本质，也是我们高中数学课标的核心素养之一.首先介绍一下常见的解题模型策略.

1.特殊元素（位置）优先策略

对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，经常用“特殊”先入手，先满足特殊元素或位置，再去排其他元素或位置.

2.“组”“排”混合，先选后排

对于排列、组合的混合问题，特别是元素比较多的情况下，一般先选元素，再进行排列求解.

3.相邻问题，捆绑法求解

相邻问题是指有些元素有相邻位置要求的排列组合问题.这类题的策略是先把相邻的若干元素“捆绑”在一起成为一个大元素，再将其他元素进行排列，然后再排列那些“捆绑”中的元素.

4.不相邻问题，插空法求解

不相邻问题是指有些元素有位置不相邻的要求的排列组合问题，这类题的策略是先排余下没有位置要求的元素，然后把要求不相邻的元素插入上述元素之间的空隙或两端.

5.定序问题，除法处理

某些元素有位置顺序一定要求的排列组合问题，这类题的策略是先全排列，再除以要求定序的元素的全排列.

6.相同元素，隔板法处理

相同元素的分堆问题，可构造一个隔板模型，设计一个特殊模型解决问题.

7.正难则反，间接处理

对于某些排列组合问题的正面情况比较复杂，难以分类；而其反面比较简单，则可优先考虑无限制条件的排列，再减去反面情况的总数.因此，排列组合问题都有直接法和间接法两种思路.

以上方法是排列组合问题的几种常用“模型”策略.然而，我们碰到的问题可能是适合上述“模型”的一种，也可能是多种“模型”混合在一起.因此，需要我们熟练掌握好以上策略.但是，学生在实践过程中，碰到的排列组合题目似乎更多时候不符合上述“模型”.这有两方面原因.第一，学生不具备转化为上述模型的能力；第二，题目本身根本不属于上述模型范畴.要解决此类题目，只能建立另一种数学模型，这也是学生比较薄弱的方面.万变不离其宗，排列组合问题终究只是计算完成一件事的方法总数.因此，以“完成这件事”为目标建立数学模型才是解决排列组合问题的关键.

[例1]有甲、乙、丙等7个人排队拍照，若甲、乙相邻，丙与甲不相邻，有多少种排队方法？

分析：甲、乙相邻运用“捆绑”法，丙与甲不相邻运用“插空”法.

解：先将甲、乙捆绑成一个大元素，然后与丙之外的其他人先进行排列有[A55A22]种，然后把丙再插进去有[A15]种，所以总共的排法有[A55A22A15=1200]（种）.

点评：此题是相邻与不相邻的综合题，合理运用捆绑法与插空法即可解决问题.因此，需要我们熟练掌握好以上常用模型策略.

[例2]有甲、乙、丙、丁、戊等7个人排队拍照，甲、乙、丙不相邻，丁、戊也不相邻，有多少种不同的排队方法？

分析：根据题意，甲、乙、丙不相邻，丁、戊也不相邻，照理应该用典型的插空法处理，但实际操作时，插空法似乎比较困难，因此采用如下解法.

解法1：（直接法）第一类 丁、戊之间恰有甲、乙、丙中一人隔开，方法数为[A33A22C13A24]，第二类 丁、戊之间不是仅有甲、乙、丙中一人隔开，方法数为[A22A23A35].总数为[A33A22C13A24+A22A23A35=1152]（种）.

解法2：（间接法）总数只管甲、乙、丙不相邻的方法数为[A44A35]，甲、乙、丙不相邻，丁、戊相邻的方法数为[A33A22A34]，则甲、乙、丙不相邻，丁、戊也不相邻的方法数为[A44A35-A33A22A34=1152]（种）.

[例3]将一个[4×4]正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有兩个红色方格，则有 种不同的染色方法.

分析：此题的模型并不适合常规“模型”，因此得根据题意建立数学模型，即根据“如何完成这件事”建立数学模型.

解： 第一行染两个红格，有[C24]种染法.第一行完成后，有如下三种情况.

（1）第二行染的红格均与第一行的红格同列，这时余行都只有一种染法；

（2）第二行染的红格与第一行的红格均不同列，这时第三行有[C24]种染法，第四行的染法随之确定；

（3）第二行染的红格恰有一个与第一行的红格同列，这样的染法有[C12C12]种，而在第一行、第二行这两行染好后，第三行染的红格必然有1个与上面红格均不同列（否则将存在一列有两个红格），这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.

因此，共有染法[C24（1+C24+C12C12×2）=90]（种）.

点评：此题在建模过程中，务必抓住以“完成这件事”为目标，合理建立模型.

[例4]工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如右图所示的六个位置的螺丝.第一阶段，随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，下同）的螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上的螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死；第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有 .

分析：以“如何完成这件事”建立数学模型.

解： 第一阶段，先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的螺丝，有[C16]种方法，再随意拧第三个螺丝和其对角线上的螺丝，有[C14]种方法，然后随意拧第五个螺丝和其对角线上的螺丝，有[C12]种方法.

第二阶段，先随意拧一个螺丝，有[C16]种方法，完成上述过程分步进行；再随意拧不相邻的螺丝，若拧的是对角线上的螺丝，有[C14]种方法；若拧的是不相邻斜对角线上的螺丝，则有6种拧法，所以总共有[C16C14C12C16（C14+6）=2880]（种）拧法.

综上所述，排列组合问题抽象，解法灵活，解题过程中极易出现“重复”和“遗漏”.因此，解题时需灵活运用常规“模型”.但能够以“完成这件事”为目标建立模型来解决实际问题更为关键.我们在教学时，更需要凸显数学的本质，只有这样才能达到水到渠成的教学效果，才能增强学生的学习能力，提高学生的综合素质，也才能体现新课标的理念.

[ 参 考 文 献 ]

[1] 李斑.高中数学排列组合问题的教学策略[J]. 数学学习与研究，2013（9）：47.

[2] 周淑清.高中数学“排列组合”教学现状及优化策略[J]. 知识窗（教师版），2016（4）：58.

[3] 夏佳星.排列组合中的解题策略及教学方法[J]. 中国校外教育，2009（S8）：220+241.

（责任编辑 黄桂坚）