浅谈分类讨论思想在中考数学解题中的应用

梁熊斌

摘 要：分类讨论思想是研究数学问题的一种有效的思想方法和重要策略。本文从解析分类讨论思想入手，了解分类讨论思想在初中数学解题中的应用以及列举出分类讨论思想在中考数学试题中的具体应用，由此来提高學生解决数学问题的能力。

关键词：分类讨论 中考数学

全日制义务教育数学课程标准要求，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本思想”。分类讨论作为最基本的数学思想方法之一，在中考解题中占有重要的地位。本文主要是以江西省近年的中考试题为例对分类讨论思想进行分析，为教师的有效教学和学生的发散思维提供参考。

一、分类讨论思想

分类讨论是指当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准进行分类，然后逐类讨论，最后综合各类结果得到整个问题的答案。像这种先分类再讨论，把问题“分而治之，各个击破”的解决问题的思想就是分类讨论思想。分类讨论思想能有效地帮助学生整理解题思路，提高解题能力。

应用分类讨论"化整为零，各个击破，再集零为整"的数学策略时必须得明确分类原则。

（1）完备性原则 在解题要明确所讨论的问题的全域。

（2）不漏原则 分类必须完整，不能遗漏。

（3）不重复原则 所有的分类之间必须是互斥的。

二、分类讨论思想在初中数学解题中的应用

1.与函数有关问题的应用

函数是数学中非常重要的模块，其中二次函数是中考重点考察的内容，通过对近年中考题的分析发现，有关二次函数的考题多涉及参数，学生用分类讨论思想能很好地解决这一类问题。

例：（2016·江西）设抛物线的解析式为y=ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（ ，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（ ）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1。

2.在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题：

①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？

②设1≤k

【分析】因为Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分两种情况讨论：根据结论代入所得的对应边的比列式，计算求出k与m的关系，并与1≤k

【解答】由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，

则： ，2n﹣3=n，n=3，

∴当n=3时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，

②依题意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，

有两种情况：i）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1时，

所以，k=m（舍去），

ii）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm时，

∴k+m=6，

∵1≤k

∴取 或 ；

当 时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，

相似比为：

当 时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，

相似比为：

所以：存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似，其相似比为64：1或8：1.