浅谈初中数学学生发散思维能力的培养

王亚辉

所谓发散思维是不依常规，寻求变异，对给出的材料、信息从不同角度，向不同方向，用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式。这种思维方式的最基本的特色是：从多方面、多思路去思考问题，而不是囿于一种思路，一个角度，一条路走到黑。它主要特征是：多向性、变通性、独特性。事实上，在创造性思维活动中，发散性思维又起着主导作用，是创造性思维的核心和基础。数学教学其实是数学思维活动的教学。而加强发散思维能力的训练，是培养学生创造性思维的重要环节。

因此，在课堂教学中，老师们越来越重视对学生进行发散性思维的培养。下面谈一谈在培养学生发散思维能力方面的一些措施与做法。在多种形式的训练中，培养学生的发散思维能力。

（一） 一题多变

对题中的条件、问题、情节作各种扩缩、顺逆、对比或叙述形式的变化，让学生在各种变化了的情境中，从各种不同角度认识数量关系。

例如：在正方形ABCD中，M是AB边上任意一点，MN垂直MD，MN=MD。

（1）求证：BN平分∠CBE。

（2）若将条件MN=MD变成结论，而BN平分∠ CBE变为条件是否成立？

（3）若将MN垂直MD变成结论，而BE平分∠CBE变为条件，是否仍然成立？

（二）一题多解

是多角度地考虑同一个问题，找出各方法之间的关系和优劣。在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。也可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的。

如：几何课本上有一题：正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画斗圆，求所围成的图形（图中阴影部分）的面积。

思路1：因为阴影部分面积是相同的八个弓形面积之和组成。故利用扇形与三角形面积之差，就可求解。

思路2：这个图形里包含有正方形和半圆图形，那么能不能利用这两个图形求阴影部分面积呢？容易发现正方形面积减去两个半圆的面积等于两个空隙的面积，再用正方形面积减去四个空隙面积即可得到所求的阴影部分面积。

显然，思路2思路1更广一些。但是共同的思路是：都没有离开基本的几何图形去求解。沿着这个思路。我们还可以进一步启发学生得到其它的求解方法（如一圆去两空）。扩散思维可以是纵向的，也可以是横向的，实际上我们在思考一个问题时，很难说是具体的运用了哪一种思维方向，而是全方位去想，去思考，即从扩散点向四面八方想开去。一题多解、多证就很好的体现了这种思维模式。

（三）一题多问

是利用一个题设多个结论来培养学生发散思维。提供某种数学情境，调度学生多方面的旧知、技能或经验，组织议论，引起思维火花的撞击。“业精于勤”。只要我们在教学中运用以上各种解题方法培养学生，让学生去理解各知识点之间的联系，触类旁通，使学生的思维时常处于多向、发散、开放状态，让他们去发现问题，从而使他们的思维上升到一个新的领域。

例如：在学习弦切角定理时，可以从这样一道智力题出发。

例1：一张圆的烙饼，切三刀可分成几块？（注意，不可挪动烙饼）

面对此题思维立刻会活跃起来，并探索出（图1）共有四种答案，第一种是四块，第二种是六块，第三种是五块，第四种是七块。每种答案的思维比前一种都深了一层。通过这道题研究探索，应当认识到：有些问题的答案并不唯一，要分情况进行讨论。

为了深化，还可进一步思考：

（1）最少切几块？最多切几块？为什么？

（2）切成4、5、6、7块，各有几种方法？（为什么切7块时，只有一种？）

（3）各种切法之间，有何联系？（可以通过什么把它们贯串起来？）

（4）用刀切西瓜会如何？

在进行发散思维训练时，不但要找准“发散点”，而且要能打破习惯的思维模式，发展思维的“求异”性。

（四）一题多法和一法多用

是通过一题多种方法的训练，使学生灵活掌握数学思想和方法，提高应变能力，大面积的提高发散思维能力。目的则是求得应用范围的变化。条件开放型是利用一个结论多种题设，培养学生的发散思维能力。

例如：解法发散类型题。为了搞好夏季防洪工作，要求必须在规定日期内完成，如果由乙队单独做，需超过期限3天;如果由甲队单独做，恰能如期完成。现在由甲乙两队合作2天后，余下的工作有乙队单独去做，恰好能在规定日期内完成，求规定日期。（要求用三种解法）。做这道题时，我把学生分成三组进行讨论，合作交流，寻求不同的解题方法。这三种方法，都有不同的思维角度，从不同的侧面进行思考，得出的结论也不同。最后得出三种答案。

（1）2（1/X+1/X+3）+1/X+3（X-2）=1

（2）2/X=3/X+3

（3）1/X+X/X+3=1

（五）一图多问、一图多变和一题多图

图形发散习惯指对学生图形中某些元素的位置不断变化，从而产生一系列新的图形。了解几何图形的演变过程，不仅可以举一反三。触类旁通，还可以通过演变过程了解它们之间的区别和联系，找出特殊与一般之间的关系。引导学生观察同一事物时，要从不同的角度、不同的方面仔细地观察，认识事物，理解知识，这样既能提高学生思维的灵活性，又能培养学生的发散思维能力。

例3：已知：△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，求证：AE与⊙O相切于点A。证明完毕后，我做了如下变化 ：如若

（1）把“AB为直径”改为“AB非直径”，结论是否仍成立？并加以证明。

（2）已知：等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC、AE∥BC。求证：AE与⊙O相切于点A。

（3）已知：等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，AE=AC，AE与⊙O相切于点A。求证：AE∥BC。

（4）已知：△ABC内接于⊙O，AE与⊙O相切于点A，AE∥BC。 求证：△ABC是等腰三角形。

通过适当变化几何题目的已知或结论，可使学生的发散思维能力得到进一步加强。进行一次适当的变式训练，学生就相当于做了一套“思维体操”。不仅能巩固知识，开阔学生视野，还能活跃学生思维，提高学生的应变能力。

总之，在初中数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思維的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。

综上所述，培养学生多角度，全方位的全面思考问题能力，应该让学生注意克服已有的思维定势，改变固有的思路与方法。激发学生敢于提出问题，勤于思考，善于思考，提高分析问题和解决问题的能力，所有这些都是培养学生的发散思维的关键。也是当前数学教学改革的重点之一。