数形结合，在比较中认识倍

梅旭嫦

【摘 要】新课程改革以来，数学概念的教学教学倡导“淡化形式，注重本质”，因此，概念的教学不像过去过早采用抽象的繁琐的文字来完整叙述，而是以已有认知为基础，具化抽象概念；以比较探究为手段，建立概念认知；以图形直观为过渡，完善概念本质；以“非标准结构”为载体，深化辨析概念。

【关键词】概念；比较；数形结合；非标准结构

著名心理学家奥苏伯尔说过：“比起世界上的各种现象来说，人实际上是生活在一个概念的世界里。”概念是数学学科知识中的重要组成部分，概念是思维的细胞，只有掌握了概念的本质属性，才能谈得上提高分析能力和解决问题的能力。“倍的认识”这一概念教学新教材将原来分散在二年级上册和二年级下册的关于“整数倍”的内容在三年级上册第五单元集中编排，使得内容更集中，更具有逻辑性，也适当降低了学生的学习难度。

一、以已有认知为基础，具化抽象概念

本节课的开始，教师通过两个量的比较，让学生认识“一份”和“几份”，明确“几份”的产生是由“一份”决定的，“几份”就是几倍，由此初步建立“倍”的概念。

【教学片段1】

1、课前老师请小朋友们用○和△来表示3倍的关系，那现在让我们一起来看看。

2、出示学生作品，初步建立“ 的个数是 的3倍”。

（1）（图1）师：谁看懂了？这里有3倍的关系吗？谁是谁的3倍？看来倍是指两个量之间的一种关系（板书：关系）

（2）师：你是怎么看出来的？

（3）谁有办法让人一眼就看出谁是谁的3倍？

（把3个圆圈一圈看作一份，是1个2，三角形有这样的3份是3个2，我们就说三角形的个数是圆的3倍）

3、课件演示：把2个○看成1份，我们把它圈起来，就是1个2，△有这样的3份（课件圈一圈），就是3个2，那我们就说△的个数是○的3倍。

4、分别演示3个3、3个4等学生作品

【评析：图是学生解决问题的脚手架，它能使抽象的概念变得具体化，使学生在简明形象的直观中获得对数量关系的直接感知。课的伊始笔者以学生的课前预学单中的素材来导入学习，充分关注学生学习起点，从学生自己提供的素材展开研究更能吸引学生注意力，提高学生的学习兴趣。“倍”实际上就是一份与多份之间的关系，“份”和“倍”概念在理解上最大的区别在于“份”是学生可以直接看到、感知到的，而“倍”则是学生在头脑中通过运算得出来的。借助圈一圈的方法可以轻松找到“一份”和“几份”，可以降低学生对“倍”的理解上的困难，初步建立倍的表象，这是建立倍概念的最低维度思维，也是最直观、最易理解的方法，有利于学生有效表达自己构建的概念表象。】

二、以比较探究为手段，建立概念认知

乌申斯基说：“比较是一切理解和一切思维的基础。我们正是通过比较来了解世界上的一切的……”研究表明：儿童对于事物的相异点比相同点容易发现。因为在学生初步认识两种量之间3倍的关系后，教师设计了这样一个环节。

【教学片段2】

1、填一填：（图2）

独立完成——反馈交流：说说你是怎么想的？

2、（图3）比较：小朋友们你们有没有发现，刚才的题目中有图形、有萝卜、也有小棒，而且它们的个数各不相同，为什么我们都可以说多的个数是少的3倍呢？（都可以说是3倍的关系）

3、小结：不论这一份里有几个只要我们把这些看作是1份，而这里（指着课件）有这样的3份，我们就说 的个数是 的3倍。

【评析：比较是重要的数学思维，同时也是重要的数学学习方式。本环节在学生初步认识两个量之间3倍关系后，再设计了3道練习题，让学生借助实物图完成。然后结合片段1中出现的同样是3倍关系学生作品，重点引导学生探究：题目中有图形、有萝卜、也有小棒，而且它们的个数各不相同，为什么我们都可以说多的个数是少的3倍呢？目的在于引导学生探索在不同事物背后隐藏着的相同点：只要把一方看作一份，另一方有这样的三份，我们就说 的个数是 的3倍。异中求同使学生在比较中揭开“倍”的本质，理解抽象的“倍”。同时借助课件让学生从众多的事物中抽取出共同的、本质的特征，完成学生对倍的认识从具体直观到抽象数量关系的转化。】

三、以图形直观为过渡，完善概念本质

线段图虽然是用几何线段直观表示出数量关系，但对第一次接触的学生来说却是抽象的。借助图形直观地把握数学对象，进行数学思考，把研究“对象”抽象成为“图形”，再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”，引导学生从形象的实物图慢慢过渡到线段图，培养几何直观。

【教学片段3】

1、那你还想到了几倍？用你喜欢的方式把它表示出来。

要求：（1）、想一想：你准备怎么表示？

（2）、画一画：怎样画能让人一眼就看出来

（3）、说一说： 的个数是 的（ ）倍

2、校对，指学生作品追问：要使 的个数是 的5倍，要画这样的几份？（在学生作品上画圈）6倍呢？

（出示图4）师：看的懂吗？第二行的个数是第一行的几倍？

（演变成图5）师：现在还是6倍吗？

如果第二行的个数是第一行的7倍呢？10倍呢？100倍呢？

3、小结：也就是说以这样的长度为一份，下面的线段有这样的几份，就是它的几倍

4、理解1倍：出示学生作品

这是几倍？为什么？

【评析：在学生充分理解两个量之间的“3倍”关系后，教师设计操作活动：自由创造倍，这样可以巩固对倍的认识，加深对倍的理解，同时培养他们的创新精神、观察和归纳总结的能力，帮助学生理解数形结合，提升思维能力。而后通过“要使 的个数是 的5倍，要画这样的几份？”这一核心问题引导学生思考“一份”和“几份”之间的联系，再借助课件把具体的事物转化为?再过渡到线段图，层层推进，由具化到抽象，提升倍的认识，提高学生抽象概括能力，培养几何直观。】

四、以“非标准结构”为载体，深化辨析概念

本节课是学生第一次认识倍的概念，设计清晰、直观的“标准结构”有助于学生建立倍的概念，但教学中不能都是“标准结构”，它不能促进学生真正深入思考，所以设计以下两个“非标准结构”，让学生在辨析中深化对倍的认识。

【教学片段4】

1、出示图6：

师：这个小朋友圈的对吗？

师：看来不是随便圈的，要根据谁的个数来圈呢？

师：对，我们把其中的一个数看做一份圈起来，再去圈另一个数的时候就要以这一份为标准。

师：如果让三角形的个数还是圆形的2倍呢？你有什么办法？

师小结：小朋友们很棒，能想到增加三角形的个数或者减少圆形的个数，但不管是增加还是减少，我们的目的都是想办法让每一份都一样多。

2、练习十一第1题（出示图7）

师：你能找出其中的倍数关系吗？

师：我们一起来圈一圈，摆一摆验证一下

师：如果不摆不圈还存在2倍的关系吗？如果让它更乱一点呢？

师小结：看来倍数不在于次序上摆放的整不整齐，而在于数量上有没有这样的关系。

【评析：第1个活动的设计目的是让学生在变化的过程中进一步理解“倍”的含义，强化标准量的唯一性和重要性，感受变与不变的辩证思想。第2个活动设计旨在通过练习让学生理解即使打乱实物的排列顺序不会影响内在的倍数关系，使学生跳出图形去关注“数”，进而关注数量间的关系，从而做到“舍弃事物或现象的质的内容，而仅仅着眼于它们量性特征”，对倍的认识从感性上升到理性。】

参考文献：

[1]金奎 “乘除比翼”：倍认识的新视角[J] 宁波教育学院学报 2017（4）

[2]郭立军 刘凤伟 从概念同化到概念形成的教学实践研究[J] 课程·教材·教法 2016（8）

[3]谢清霖. 解读教材，整体把握[J]. 福建教育，2012（27）

[4]万培珍 蔡海根 数学概念可以直接告诉吗[J] 教学与管理 2006（3）

（作者单位：浙江省温州市蒲鞋市小学）