洛必达法则在数学极限问题中的应用

王涵

摘 要：极限的求法是高等数学中一个重要的部分，熟练掌握极限的求法可以解决数学中许多问题。洛必达法则是求极限的一个便捷的方法，其在数学极限中有着重要的作用，且在不同的极限类型中都可以很好的发挥其优势。本文通过将洛必达法则应用到2种不同的典型极限问题中，得出了洛必达法则在不同极限类型下都具有很好的适用性。反之，本文也分析了洛必达法则在应用过程中的适用条件，并且与其它方法结合在一起会产生更佳的效果。

关键词：洛必达法则；数列极限；函数极限；适用条件

1 引言

极限是数学领域的一个重要知识块，其是数学分的基础，数学分析之所以能够解决许多初等数学中无法解决的问题（例如求解瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了极限的无限逼近的思想方法，才可以得到相当精确的计算答案[1]。高等数学中的极限主要分为函数极限与数列极限两大类，这两类极限在求解的过程当中具有许多的相似性，并且洛必达法则都可以很便捷的解决这两种问题。

洛必达法则是求解极限的一个有效工具，该法则的提出极大推进了数学领域中极限的研究，同时解决了数学问题中的许多问题。但是如果仅用洛必达法则求解极限，往往计算会比较繁琐，有时还无法求解出结果。因此洛必达法则需要与其他方法互相结合，比如提前将非零极限的模块提取出来以简化计算、乘积因子用等价替换等等 [2] 。同时若直接用洛必达法则求极限而不对函数进行一定的处理则会陷入一个死胡同。因此在运用洛必达法则时，一定要考虑洛必达法则的适用条件，这样才能准确有效的得到问题的结果。

本文中分析了零比零（0/0）型极限和无穷大比无穷大（∞/∞）型极限，由于这两种典型极限可能存在也可能不存在，因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不等式极限[3]。因此不能对任何比式极限都按照洛必达法则求解，首先需要区分是不是不等式极限，其次注意其是否滿足洛必达法则的其它条件。在实际问题中，会存在各种形式的极限但是大部分都可以转化为上述两大类典型极限，因此在运用洛必达法则之前需要多函数的形式进行适当的处理。

2 正文

2.1 无穷大（小）量与导数

当x趋向于x0的时候，函数f（x）的极限趋于无穷大，正无穷大或负无穷大时，都称为无穷大量，数学表达式如下：

（1）

由此可以看出，无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数，因此本文通过洛必达法则研究非正常极限。

当x趋向于x0的时候，函数f（x）的极限趋于0，都称为无穷小量，数学表达式如下：

（2）

基于此，可以得出任何两个无穷小量的加减运算仍然是无穷小量，无穷小量与有界量的乘积也依旧是无穷小量。

洛必达法则的运用离不开求导的运算。导数是对于某一函数y=f（x），若其在x0点的领域内有意义，且极限

（3）

存在，则上式为f（x）的导数，记为f（x）。

2.2 0/0型不等式极限

若自变量x趋向x0时，函数f（x）与g（x）都趋向于零，且该两个函数在x0的去心领域内都可导同时g（x）的导数不为0，则有如下等式成立：

（4）

上式中，f（x）与g（x）分别为f（x）与g（x）的一阶导数。接下来，通过洛必达法则来求解如下0/0形式例题。

典例1：求解的极限。

当x趋向于1时，分子和分母都趋向于0，并且分母的一阶导数在x等于1处不为零，因此满足洛必达法则的条件，计算过程如下：

（5）

2.3 ∞/∞型不等式极限

当自变量x趋向x0时，函数f（x）与g（x）都趋向无穷大，该两个函数在x0的去心领域内都可导且g（x）的导数不为0，则有如下等式成立：

（6）

典例2：求解极限

当x趋向于无穷大时，分子和分母都趋向于无穷大，并且分母的一阶导数在x趋于无穷是不为零，因此满足洛必达法则的条件，计算过程如下：

（7）

典例3：求解极限

在此问题中可以看出是两个项的乘积，不是典型的0/0或∞/∞的形式，因此需要对此多项式进行变型，变成∞/∞的形式，计算过程如下：

（8）

在运用洛必达法则求解问题时往往会遇到许多问题，往往单独运用洛必达法则求解不出极限。因此通常情况下洛必达法则需要与变量的等价条件结合放在一起使用会产生更好的效果。

3 结果与讨论

综上可以得出，洛必达法则在极限领域的应用特别广泛，并且可以很便宜的求解出极限的结果。本文将极限问题总结为了两类大的不等式极限，并且通过典例证明了洛必达法则的适用性，别的类型极限都可以进过一系列变换转化为0/0或∞/∞的经典形式进行求解。本文也总结出了洛必达法则的适用条件，当极限转化为典型类型且满足使用条件之后，可以通过洛必达法则简便的求解出极限，有时通过一次洛必达法则无法直接求出极限，则需要多次使用洛必达法则，最终求出极限。