让“简单的知识”凸显“思维的深度”———《倒数的认识》教学片断与反思

蒋明玉（特级教师）

著名数学教育家郑毓信先生认为：学会数学思维的首要涵义就是学会数学抽象（模式化）。“数学是模式的科学”，这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。学生学会数学抽象的关键是从问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。从教学的现状看，正如郑毓信教授所言，标准所制定的目标还不能得到很好的贯彻，一个重要的原因是普遍认为小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。

《倒数的认识》一课，我通过简单的教学内容引导学生经历倒数概念的抽象（模式化）与概括过程，充分体现了数学思维的特点，使学生的数学思维能力得到了训练和培养。由此可见，简单的知识同样蕴含着丰富的数学思想！

苏教版教材先以乘积是1的两个分数为素材，帮助学生建立倒数的意义，这样的素材从形式上看，有利于学生体会“倒数”的含义，便于学生形成倒数的概念。然后又通过举例说明，帮助学生认识互为倒数的两个数的依存关系和表达方式。在实际教学中，我将教学内容调整为乘积是1的两个数互为倒数（这两个数可以是分数、整数和小数）。在实际教学中，首先倒数概念的建立以已经学过的分数、整数和小数为素材。教材中是先以分数为素材认识倒数，建立倒数的概念，然后扩展到整数。考虑到学生已有的知识和经验，在建立倒数概念时，学生应该能从不同的数中找出乘积是1的两个数。其次在找一个数的倒数时，由于倒数概念的建立是依托分数、整数和小数的，因此直接让学生根据对倒数实例的观察和分析，发现找一个数倒数的方法，并通过思考和观察，发现1的倒数是1，0没有倒数。由于倒数的引入和找一个数的倒数的方法在素材上作了较大调整，因此课后的巩固练习题也作相应地调整。

在教学中，我注意激发学生的学习兴趣，引导学生通过观察、比较、概括等途径，在合作学习的过程中，学会交流，相互评价，经历知识的建构过程，培养学生的观察、归纳、推理和概括能力，让“简单的知识”凸显“思维的深度”。

【教学内容】

苏教版六年级上册第36页及课后练习。

【教学过程】

一、口算练习，感受神奇

课始将两组口算纸分别发给同桌两人。口算A:3道题，口算B：5道题。

师：现在我们举行一个口算比赛，做完的同学请起立。

（学生陆续起立，绝大多数是做口算B的学生）

师：时间到，刚才大家有没有注意到是哪些同学先站起来的？

（完成口算B的学生自豪地举起手）

师：（故意问已经完成的学生）你做了几道题？（5道）

师：（问同桌的另一位学生）你做了几道题？（3道）

师：为什么做5道题比做3道题还快？现在我们一起来看一看刚才老师给大家的两组口算题。（出示两组口算题）你找找原因，为什么口算B的同学做得快？

生：B组的口算题是不需要约分的。

生：B组的口算题都是乘以或除以1，因为所有数乘或除以1都等于原来那个数；而A组的口算都是分数乘分数。

师：一个数乘1或者除以1，都得原数。所以这个“1”，在数学运算中有自己独特的地方，那么今天我们就先来研究这个神奇的“1”。（在黑板上板书“1”）

师：同学们可以想一想，什么数除以什么数会等于1呢？你能用最简单的语言概括一下吗？

生：相同的数除以相同的数可以等于1。

生：用字母表示就是a除以a等于1。

生：我觉得a不能等于0。

师：补充得好！a等于0没有意义。再想想什么数乘什么数等于 1呢？［板书：（）×（）＝1］

师：请同学们打开练习本，在上面写上乘积是1的几组数，看看哪些同学写得多。（学生在练习本上写，教师巡视，然后组织学生交流）

【说明：借助“1”来转化，在导入阶段，进行了这场不公平的计算比赛。不平则鸣，唤醒的是学生以前练习中积淀的对“1”的好感和探究的热情。“谁除以谁会等于1呢？你能用最简单的语言概括一下吗？”虽然简单，但有此铺垫，教学便有了波澜，有了情趣。当我抛出有些难度的问题“什么数乘什么数等于1”时，学生有些迟疑，这在我意料之中，请学生打开练习本，在上面写上乘积是1的几组数，我们看看哪些同学写得多。”尝试之后，学生就有话要说了。学生开动脑筋，找到了很多乘积等于1的算式，在我的适当引导下，找到乘积是1的几组数：有整数的、有分数的、还有小数的，引导学生进行分类思考。写得多，不是追求个数多，而是追求种类全。这样为之后倒数概念的抽象提供了全面、丰富的素材，积累了丰富的、典型的倒数概念的表象。】

二、研究探索，学习新知

1.认识倒数的意义。

（1）交流展示。

师：已经写出2个或2个以上算式的同学请举手。

全班交流学生找到的算式。可能出现的情况有：分数乘分数、分数乘整数、小数乘整数。（随机板书交流的算式，尽可能板书出三种情况，为后面研究做铺垫）

（2）建立概念。

引导：请大家仔细观察，刚才我们找出的这些算式有什么共同特点？

学生交流后明确：这些算式的乘积都是1。

指出：像这样乘积是1的两个数就互为倒数，今天这节课我们就一起来研究有关倒数的内容。（板书课题：认识倒数）

引导：结合刚才的举例，用一句话说说什么是倒数。

提出要求：先学生自己说一说，再同桌交流。接着全班交流。

生：两个数相乘，结果等于1，就是倒数。

生：我觉得，一个数乘一个数等于1，这两个数就是倒数。

师：刚才同学们说得很好，究竟课本上是怎么规定的呢？请大家看书上第36页。

（板书：乘积是1的两个数互为倒数）

提问：你是怎样理解“互为”两个字的？能结合具体的例子来说说吗？

提问：你能再找一个例子来说说吗？（同桌互相举例说一说再全班交流）

【说明：概念的形成离不开感性材料和感性经验的支撑，它主要依赖于对感性材料的概括。根据学生的学习经验和水平，学生已能熟练地找到乘积是1的两个数，因此在新课开始，安排想一想、写一写的数学活动，旨在通过这一活动及结果的交流，让学生找到丰富的肯定例证这样的感性材料，具体感知两个数的关系，从中获得对互为倒数的两个数的关系与特征的直接感受，丰富感性认识，使之成为抽象概念属性的基础。接着让学生进一步对这些例子进行比较、综合，找到共同特性，并尝试用语言描述概念的本质属性。在这一过程中，学生经历了对感性材料的直观感知——比较综合——概括概念的过程，这是遵循学生建立概念的基本规律来安排的。】

2.探究找倒数的方法。

（1）引导启发。

引导：我们已经知道了乘积是1的两个数互为倒数，从大家举的例子中可以看到，整数、分数、小数都可以找到它们的倒数，找一个数的倒数有什么窍门呢？比如例子中的，它的倒数是多少？

（教师再随机举几个分数，让学生分别找到它们的倒数）

提问：怎样找分数的倒数？

学生交流，明确找倒数的方法：找分数的倒数只要交换分子、分母的位置。

（2）自主探究。

引导：如何找整数、小数的倒数呢？你能通过观察黑板上的例子或者自己举例找到方法吗？先独立尝试一下，再在小组里交流。

（3）交流总结。

在小组交流的基础上全班交流：

①怎样找整数的倒数？

先让学生结合例子说明方法，之后教师随机写出几个整数（包括1和0），让学生快速找倒数，在找倒数的过程中明确这两个数的特殊性：1的倒数是1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0。（板书：1的倒数是 1，0没有倒数）

②怎样找小数的倒数？

启发：刚才我们分别交流了找整数、分数、小数这三类数的倒数的方法，这三种方法之间有没有联系？同桌同学议一议。

组织交流，使学生明白求一个整数或小数的倒数，可以把这个数先表示成分数的形式，然后交换分子分母的位置。

小结：求一个数的倒数的方法。

【说明：学生是学习的主体，只有充分发挥学生的主观能动性，才能收到更好的学习效果。本环节针对求一个数的倒数的方法设计了“找窍门”的活动。通过教师引导，学生自主探索交流等活动，促进学生分别建构找分数、整数和小数的倒数的方法。同时在此基础上适时引导提升：“这三种方法之间有联系吗？”两个层次的教学活动，引导学生主动观察、思考、抽象、概括，既充分发挥学生的主观能动性，又培养了学生的观察能力、总结归纳能力和语言表达能力。】

三、练习巩固，内化新知

1．你能很快说出下列各数的倒数吗？（口答）

2的倒数是（ ），

1的倒数是（ ）。

2．判断正误，并说明原因。

3．写出下列各数的倒数。

交流时要求学生说说找0.3、1.5的倒数的方法。

4．完成练习六第19题。

练习之前明确要求：观察每组的3个数有什么共同点？它们的倒数有什么共同点？带着问题边写边观察思考，再小组交流。

全班交流。并针对1、2两组的练习辨析讨论两句话的正误：真分数的倒数一定是假分数，假分数的倒数一定是真分数。

5.小游戏（找朋友）。

请五位学生到台上来，给他们每人戴上一顶漂亮的帽子，帽子上面各有一个数（、、1、、7），本人不允许看自己头上的数，下面的学生也不允许告诉台上的学生，不允许讲话、交流，只能借助你的思考，你能找到你帽子上的数的倒数吗？

【说明：练习关注两个方面：一方面是倒数概念的理解与巩固及求一个数的倒数的方法。与此同时，注意了知识视野的拓宽，考虑到对倒数意义的完整建构和学生的实际水平，倒数的范围可以扩展到小数，因此在练习设计的过程中，在侧重于对倒数意义和求整数、分数的倒数的同时，不排除求一个小数的倒数的练习，这样安排沟通了分数、小数知识间的联系，发展了学生知识的灵活应用的能力。另一方面，注意结合练习引导学生发现相关规律，使学生了解每一类分数和整数的倒数的特点，进一步提高找倒数的能力，认识每一类特定数的倒数特点与范围。最后，一个找朋友的游戏活动，变成了一道有一定难度的逻辑推理题。通过此游戏，既进一步巩固“1的倒数是1”的规律，又培养了学生的简单推理能力。】