基于极点对称模态分解和支持向量机的船用齿轮箱故障诊断

张喻

（中国船级社武汉分社，湖北 武汉 430022）

船用齿轮箱是主机传动的变速装置，构成了船舶动力系统传动的重要一环，具有倒顺、离合、减速和承受螺旋桨推力的功能，是船舶工业的关键设备，广泛应用在各类型货船、客船、渔船上。

由于齿轮箱振动信号的非线性非平稳特性，经典的傅里叶变换方法对此束手无策。美国工程院黄锷院士等人创造性地提出了著名的希尔伯特-黄变换方法（Hilbert-Huang Trans form,HHT）[1]，该方法由经验模态分解（Empirical Mode Decom position, EMD）和希尔伯特谱分析（Hilbert Spectrum Analysis, HSA）两部分构成，能够较好地对非线性非平稳信号进行分析。刘祖菁等人就利用该方法提取出齿轮箱故障特征频率，从而实现对故障齿轮箱的诊断[2]。但是，随着希尔伯特-黄变换方法的推广，诸如模态混叠、端点效应等问题也一直困扰着使用者。有研究人员就提到传统EMD分解结果会产生虚假模态的问题，尤其是低频段虚假分量尤为严重[3]。于是，有学者提出集合经验模态分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)[4]，通过加入高斯白噪声达到去噪的效果，进一步降低模态频率混叠的影响。然而，高斯白噪声是一种在各频段有着大致相当的能量分布的理想化数字信号[5]，故此加噪处理手段的可靠性值得商榷。

极点对称模态分解方法是由王金良等人提出的一种新的信号分析方法[6]，采用经过极点中点的内部插值曲线来筛选模态，并且以基于数据的直接插值法替代希尔伯特谱分析方法，是对于希尔伯特-黄变换方法的继承与发展。支持向量机是建立在统计学习理论的VC维理论和结构风险最小原理基础上的一类有监督学模型，由于在解决小样本、非线性及高维模式识别方面具有独特优势，故而自问世以来就广受科研工作者的欢迎[7-8]。

1 极点对称模态分解

1.1 EMD分解

EMD分解是目前较为热门的数据分析方法，被广泛应用在科研及各工程领域。该方法采用包络线对称规则替代传统基函数的构造，依据数据自身特点进行分解，经过层层迭代后获得预先设定的数个本征模函数（Intrinsic Mode Function, IMF）和一条趋势函数曲线，因此EMD分解是一种基于数据自适应的无基分解方法。

1.2 ESMD分解

ESMD方法是近几年提出的一种信号分解方法，是在对希尔伯特-黄变换方法改进基础上的再创新。该方法继承了EMD分解的无基分解方式，可产生数个模态和一条最佳自适应全局均线。但是，比起EMD分解，该方法具有独特优势：利用极点对称中点进行内部插值，依据不同情况获得合适条数插值曲线；分解终止极值点个数可自定义，有利于获得最小二乘意义下的最佳全局均线；能更好地描述瞬时频率和瞬时振幅随时间的变化关系，也能更直观体现总能量随时间的变化[9]。

极点对称模态分解的算法步骤如下：

（1）找出信号X(t)的所有极大值点和极小值点，将相邻极点依次以线段连接，并记各线段中点为Fi(i= 1 ,2,…,n−1)。其中，边界中点以线性插值法求解；

（2）对线段中点进行三次样条插值，根据插值方式的的不同，可构造出P条插值曲线，

（3）对所有插值曲线求平均得到均值曲线L*(t)，再从原始信号中减去该均值曲线得到剩余曲线h1(t)，不断重复上述分解步骤，直至达到分解终止条件，得到预分解模态m1(t)。分解终止条件如式（1）所示：

其中，ε为设定的容许误差；Kj为当前筛选次数；Kmax为设定的筛选次数上限。

（4）将原始信号减去m1(t)并重复上述分解步骤，直至信号余量r((t)达到预设极点个数停止分解，依次获得其余预分解模态m2(t)，m3(t)，…

（5）根据筛选次数Kj的变化，可得到方差比率σ/σ0随Kj的变化趋势图，将最小方差比率所对应的筛选次数K*作为最佳筛选值。

（6）对原始信号进行K*次筛选，得到最终分解模态和最佳自适应全局均线，输出分解结果。

2 支持向量机

支持向量机是针对有限样本条件下的一类基于统计的机器学习方法，它不仅大大减少了算法设计的随意性，而且克服了传统统计学中经验风险与期望风险可能具有较大差别的不足，因而被广泛应用在函数逼近和模式识别等方面[10]。

设有线性可分样本集

其中，W、X即为支持向量，即为图1中带标注圆圈所示。

图1 SVM原理示意图

以分类线或分类平面距离两类样本的间隔最大作为目标，这样便可把求最优分类面的问题转变为优化问题：

利用拉格朗日乘子法求解上式，可得拉格朗日目标函数为：

可将优化问题进一步转变为对偶问题：

以上即为线性可分情况下的最优分类面求解。然而，在现实应用中大多遇到的是线性不可分问题，一般通过核空间理论来解决：即利用非线性函数将低维输入空间中的元素映射到高维特征空间再进行分类。目前常用的核函数有：线性核函数、多项式核函数以及高斯核函数[11]。本文中选用高斯核函数：

当遇到SVM多值分类问题时，往往需要组合多个二值子分类器来构造多值分类器，SVM的结构示意图如图2所示。

图2 SVM结构示意图

3 ESMD和SVM相结合的船用齿轮箱故障诊断

船用齿轮箱在运转过程中由于润滑不良和过载等原因难免会造成不同程度的损伤和故障。通过对已知的船用齿轮箱故障样本数据进行分析，能够更好地对未知或潜在的故障作出预测和诊断，以便及时作出相应决策将损失降至最低。

ESMD方法作为一种新型的模态分解方法，对如船用齿轮箱振动信号一类的非线性非平稳信号有着良好的分解效果，能够最大程度地提取故障信号中的特征信息。而SVM是统计学理论发展的产物，尤其适用于小样本数据分类，在工程实际应用中也日益成熟。其所包含的结构风险最小化思想能在对给定数据的精度和逼近函数的复杂性之间作出折中，使得分类结果更加可信。本文正是结合两者优势，将ESMD方法和SVM进行有机融合并应用到船用齿轮箱故障诊断中。由于船用齿轮箱故障主要集中在齿轮故障[12]，因此，本文选择正常齿轮、断齿、齿根裂纹、齿轮磨损等四种状态作为对象进行故障诊断。诊断的流程如图3所示。

图3 故障诊断流程图

4 齿轮箱故障信号分析

为验证所提出的诊断方法的有效性，本文利用船用齿轮箱故障模拟试验台对正常齿轮、断齿、齿根裂纹和齿轮磨损等四种状态进行试验测试。试验台的相关参数如下：交频电机转速为1500r/min，主动齿轮齿数55个，从动齿轮齿数75个，齿轮啮合频率为1375HZ，载荷由磁粉制动器提供，电流大小为0.1A，采样频率为10240HZ，采样点数为92160个。每种故障形式下采样120个数据样本，前96个样本用于SVM模型训练，后24个样本用于检验模型诊断效果。

对原始信号的筛选次数直接影响着ESMD模态的分解效果，在此引入方差比率作为最佳模态筛选次数的衡量标准，以方差比率最小为优先考虑。由于篇幅所限，以下仅以断齿故障为例，图4为该断齿故障形式下某样本的方差比率随筛选次数变化趋势图。从图4中可以看出，在[0,40]区间范围内，筛选次数为35次时，方差比率最小，故从模态分解效果来说应当优先考虑35次作为最佳模态筛选次数。随后，对原始信号进行ESMD分解可得到9个模态和1条自适应全局均线。同时，为体现分解效果对比，将原始信号也进行EMD分解，得到11个模态和1条趋势曲线。EMD和ESMD模态分解结果分别如图5和6所示。

为充分展现信号时-频局部变化特征，又要客观解释瞬时频率和周期的矛盾条件下，采用直接插值的方式进行变换：即将对称模态相邻两个极大值点、两个极小值点或两个零点之间的时段作为局部周期，并以局部周期上的平均频率为插值点生成平滑曲线。

图4 方差比率变化趋势图

图5 EMD分解结果

图6 ESMD分解结果

当齿轮发生故障时，信号的冲击会随之增强，而信号的能量波动也十分明显[13]。为了筛选出蕴含丰富故障特征信息的模态，以ESMD分解后各模态能量与原始信号能量之比来衡量。模态1至模态9能量比值分别为：54.42%，34.45%，7.05%，1.94%，0.77%，0.34%，0.06%，0.05%，0.09%。可以看出，信号能量主要集中在前三个模态中，故将每个样本的前三个分解模态作为故障特征矩阵。奇异值由于具有稳定性及比例不变性等良好性质而通常被用来作为矩阵固有特征[14]。因此，对故障特征矩阵作奇异值分解得到奇异值矩阵，断齿故障样本的部分奇异值及筛选值如表1所示。

表1 断齿故障的模态筛选值及奇异值表（部分）

由于四种故障下得到的奇异值数值大小参差不齐，因此需要对各故障样本数据作归一化处理。将处理后的每种故障形式前96个样本输入支持向量机训练，得到SVM分类模型，再将剩余24个样本输入获取故障识别准确率，故障识别准确率如表2所示。同时，为验证诊断方法有效性，将ESMD与SVM模型和EMD与SVM模型作一对比。同样每种故障选取120个样本，将EMD分解后的前三个模态进行奇异值分解和归一化处理，输入支持向量机中训练并测试。由表2可见，ESMD和SVM相结合的诊断模型故障识别率较高，诊断效果良好，且诊断准确率明显高于前者。

表2 诊断模型故障识别率对比

5 结论

针对船用齿轮箱振动信号的非线性特性以及ESMD分解的自适应性，本文提出将极点对称模态分解方法和支持向量机相结合的故障诊断方法。以能量比值作为衡量模态与原始信号的相关程度的标准，选出前三个模态构成特征向量矩阵，并作奇异值分解得到奇异值矩阵。经数据归一化处理后，将部分样本输入SVM进行训练并用余下样本测试。结合测试结果以及与EMD+SVM的对比发现，本文提出的故障诊断方法是可行的，对船用齿轮箱故障预测具有良好的效果。