一种基于卡尔曼滤波的定位解算性能评估新方法

王 勋，左启耀，洪诗聘,陈 亮，杨晓昆

(1.北京自动化控制设备研究所，北京 100074;2.中国空间技术研究院，北京 100094；3.中国航天科工信息技术研究院，北京 100070)

0 引言

卫星导航定位解算普遍采用卡尔曼滤波方法，在定位解算算法投入应用之前，对算法性能进行评估，为设计和确定满足卫星导航系统性能要求的系统参数提供了依据。同时，为卫星导航系统提供了一个算法验证平台，益于系统参数优化、功能设计与改进，节约了测试成本，缩短了系统的开发周期。因此，对基于卡尔曼滤波的定位解算性能进行评估，成为提高卫星导航系统性能的前提条件和必备依据。

目前，基于卡尔曼滤波的卫星导航系统定位解算性能的评估方法很少有人研究，但国内外学者已经提出诸多应用于其他系统的评估方法[1-4]，其中模糊层次分析(Fuzzy Analytic Hierarchy Process, FAHP)方法是一种基于模糊数学理论的评估方法，自提出至今，已受到国内外学者的广泛关注。荷兰学者Van Laarhove和Pedrycz[5]最先将三角模糊数引入判断矩阵的构建，减小了主观因素影响，并将FAHP方法作进一步改进，利用对数最小二乘法(Logarithmic Least Squares Method, LLSM)从三角模糊判断矩阵中获得权重向量；Younesi等将LLSM方法应用于模糊分析网络方法中，求解三角模糊评判矩阵的权重[6]，提出了一种基于程度分析法(Extent Analysis Method, EAM)的FAHP方法，将程度分析理论应用于模糊层次分析法中，并通过计算一个三角模糊数大于其他三角模糊数的可能性程度来获得权重向量；Kemal Klç拓展了程度分析方法，并利用重心去模糊化和中间数去模糊化对权重进行了排序[7]。Teng Y等提出了基于先验规则挖掘(Apriori Rule Mining,ARM)的FAHP方法，利用先验算法计算评估因素间的相关性，而后采用FAHP方法将相关性和其他主客观因素融合，减弱了相关性强的因素的双重作用[8]。在以上模糊评估方法中，对数最小二乘的FAHP方法能够有效解决模糊的、难以量化的问题，且只需给出模糊判断矩阵而无需给出精确的判断矩阵，其利用严密的数学方法弱化主观成分，使权重更符合客观实际，相对于其他方法更为精确、客观。而基于卡尔曼滤波的卫星导航系统定位解算性能的影响因素众多，且各因素存在相关性，其性能评估是一个多级别、多层次的处理过程，涉及对多源数据和信息进行探测、互联、相关、估计和综合，往往难以给出精确判断矩阵。为此，可利用基于对数最小二乘的FAHP方法对定位解算方法进行评价权重向量求解，但仍需寻求综合评价方法进一步对系统进行综合评价。

模糊综合评价(Fuzzy Comprehensive Eval-uate, FCE)方法是一种根据模糊数学隶属度理论把定性评价转化为定量综合评价的方法。它具有结果清晰、综合判断能力强的特点，但对于指标因素多、因素相关性强的系统，FCE方法存在确定的指标权重客观性差、评判等级分辨率低等问题。若将基于对数最小二乘的FAHP方法和FCE方法结合，前者用来确定权重向量，后者利用隶属度函数对指标模型进行评判得到模糊关系矩阵，再应用加权平均型模糊算子将权重向量和模糊关系矩阵合成，便可得到算法性能的综合评定结果。但是，基于对数最小二乘的FAHP方法求解的权重向量存在多值性，且权重向量为三角模糊数权重向量，而FCE方法需要唯一、确定的权重，不能直接利用FCE方法对各指标性能进行加权综合。针对此问题，本文推导并建立了权重唯一的确定条件来消除冗余解，进一步，作去模糊化处理确定权重向量，这是本文提出的基于对数最小二乘FAHP-FCE评估方法得以实现的关键。

1 传统的性能评估方法

1.1 基于对数最小二乘的FAHP方法

满足如下条件：

i,j=1,2,…,n;i≠j,k=1,2,…,dij

(1)

(2)

分别令

最终整理可得方程组：

Am=b

(3)

Fs=h

(4)

其中：

m=[m1,m2,…,mn]T

矩阵D为矩阵A的对角线元素构成的矩阵，而矩阵N为矩阵A的非对角线元素构成的矩阵。

显然，通过求解式(3)和式(4)可以得到(li,mi,ui)，进而得到归一化的模糊权重向量为

(5)

然而易得，矩阵A的秩rank(A)

AA+b=b

(6)

FF+h=h

(7)

则式(3)和式(4)的通解可以分别表示为：

m=A+b+(I-A+A)y

(8)

s=F+h+(I-F+F)z

(9)

其中，A+和F+分别为矩阵A和F的伪逆；y为n维任意列向量，z为2n维任意列向量。

1.2 基于FCE的定位解算算法性能评估方法

FCE方法是利用模糊线性变换原理和最大隶属度原则，建立模糊评判模型，并采用一定的模糊算子进行综合评价的方法。模糊评判模型有3个基本要素：因素集U={u1,u2,…,un}，评价集V={v1,v2,…,vm}和模糊变换。其中，模糊变换即模糊映射：

f:U→F(V)

ui|→f(ui)=(ri1,ri2,…,rim)∈F(V)

(10)

由映射f可诱导出一个模糊评判矩阵

(11)

若确定了归一化权重向量W，可再由R诱导一个模糊变换：

TR:F(U)→F(V)

W|→TR(W)=W°R

(12)

进一步，为兼顾各元素的权重，使评价结果充分体现被评价对象的整体特征，引入M(⊕,·)模糊算子，构成综合评价集B

(13)

式中，Wi构成正规化权重向量W，即有W={W1,W2,…,Wn}。

值得指出的是，在确定模糊评价集B时，若系统影响因素相互关联，仅由一级模型进行评判会比较粗糙，不能很好地反映算法性能本质，需要引入二级甚至多级模糊综合评判方法。

2 一种对数最小二乘FAHP-FCE评估新方法

通过分析基于对数最小二乘的FAHP方法和FCE方法的特点，前者可以求解较为精确、评判分辨率较高的权重向量，后者能够利用隶属度函数对指标模型进行评判得到模糊关系矩阵，将权重向量和模糊关系矩阵合成，从而得到算法性能的综合评定结果。但是，基于对数最小二乘的FAHP方法确定的权重向量不唯一，且为三角模糊数形式，不能直接用FCE方法对各评估因素进行加权综合运算。下面分别针对基于对数最小二乘的FAHP方法求解的权重向量不唯一、模糊的问题，作深入研究，使得权重向量可直接用FCE方法进一步作综合评判。

2.1 对数最小二乘FAHP方法

2.1.1 权重的唯一性确定条件

证明：任取矩阵A中的一行，记为第r行，将矩阵A的其余(n-1)行分别加到第r行上，可将第r行的全部元素变为0；任取矩阵A中的一列，记为第s列，将矩阵A的其余(n-1)列分别加到第s列上，可将第s列的全部元素变为0。此时，将矩阵A的第r行和第s列移除得到(n-1)阶矩阵，记为B，显然矩阵B和矩阵A具有相同的秩。

(14)

即矩阵B为严格按行对角占优矩阵，故矩阵B为满秩矩阵，因此矩阵A与矩阵B的秩同为(n-1)，同理可得矩阵F的秩为(2n-1)。此时，式(3)和式(4)的通解具有以下形式[10]：

m=A+b+y1

(15)

s=F+h+z1

(16)

其中，y1=[p2,p2,…,p2]T，z1=[p1,p1,…,p1]T，p1和p2为任意实数。

(17)

其中，c1=exp(p1)，c2=exp(p2)。将权重向量进行归一化处理得

(18)

根据定理1可得：将基于对数最小二乘的FAHP方法应用于系统评估时，只要保证至少有一位专家对任意两指标重要性作出判断，则利用式(18)即可得到唯一的归一化模糊权重向量。

2.1.2 权重的去模糊化处理

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

再进行归一化处理，最终可得去模糊化后的归一化权重向量为

(24)

2.2 评估方法原理及实现步骤

上述工作，一方面通过设定模糊判断矩阵的限制条件，保证了权重向量的唯一性；另一方面采用CFCS方法进行去模糊化处理，从而确定了唯一的非模糊权重。至此，即可利用FCE方法对算法性能进行综合定量评估。图1所示为所提出的对数最小二乘FAHP-FCE评估方法的原理。

图1中，评估方法由对数最小二乘FAHP方法和FCE方法两部分构成。前者通过构建递阶层次结构体系和模糊判断矩阵，并采用对数最小二乘法构建模糊权重向量解算模型，经解算、归一化后得到模糊权重向量。继而利用2.1节中所述的方法，对模糊权重向量进行去模糊处理，得到唯一的子目标权重集Wi和指标权重集wij。在此基础上，依据评估标准和指标模型计算值构建隶属函数模型，经模糊变换后得到隶属度矩阵R，再应用加权平均模糊算子将权重集Wi、wij和隶属度矩阵R合成，进而得到模糊综合评判结果。

根据上述分析，对数最小二乘FAHP-FCE评估新方法的执行步骤可归结如下：

Step1：构造递阶层次结构体系

根据系统所包含的因素及相关关系，分解出关键性评判准则，并构建评判子目标、指标和评估等级论域集，从而构成多层次指标体系结构。设系统评估子目标和评价等级论域集分别为U和V：

U={u1,u2,…,um}，V={V1,V2,…,Vn}

(24)

式中，ui为第一层(最高层)中的第i个子目标，它由第二层中的p个指标决定，即有ui={ui1,ui2,…,uip},i=1,2,…,m。

Step2：确定权重分配集

利用对数最小二乘FAHP方法，确定出各子目标和指标的权重分配集。步骤归结如下：

1)利用对数最小二乘法构建模糊权重向量求解式(2)，依据三角模糊权重向量的唯一化确定条件，通过求解式(3)和式(4)，计算得到矩阵A、b、F和h。

2)计算矩阵A、F的伪逆A+和F+，并计算A+b和F+h，然后根据式(18)得到归一化的模糊权重向量。

3)利用CFCS方法对模糊权重向量进行去模糊化处理，得到非模糊的归一化权重向量。

按上述步骤，可分别得到子目标和指标的权重分配集：

W={W1,W2,…,Wm}和Wi={wi1,wi2,…,wip}

(25)

式中，Wi和wij满足：

(26)

Step3：构造隶属度矩阵

通过若干次蒙特卡罗仿真，得到归一化的指标模型值，将其代入一元线性隶属度函数[12]，确定出子目标集ui中每一指标关于评价集V的隶属度，从而导出子目标层次的隶属子集Ri为

(27)

由于系统通常存在复杂的不确定因素，因素间还分属不同的层次，需要由低到高逐层确定权重并进行综合评价，同时还需要保持评价的整体性与一致性，因而需要在一级模糊综合评判的基础上，进一步引入二级模糊综合评判，以得到二级综合评判结果。

Step4：选择加权平均模糊算子进行综合评判

构造一级模糊评估集为

=[bi1,bi2,…，bin]

(28)

其中，“°”为加权平均型模糊算子；Wi为子目标权重集；Ri为子目标层次的隶属子集。

为了进一步得到高层次的综合评价，必须进行二级模糊综合计算，建立如下二级模糊综合评估模型：

=[b1,b2,…，bn]

(29)

这样，在一级模糊评判的基础上，将一级模糊综合评价所得到的归一化评价结果合成矩阵R，作为因素集U到评价集V的隶属度矩阵，再根据式(29)计算评价向量，由此逐层评判即完成多级综合评价。

3 性能评估结果与分析

全天时、全天候条件下，卫星导航系统的定位测速精度和可靠性在一定程度上取决于定位解算算法的性能，以弹载卫星导航系统为对象，利用本文方法对其定位解算算法的性能进行评估。将本文所提出的对数最小二乘FAHP-FCE评估新方法与具有代表性的两类方法进行对比研究，即文献[13]中所述的基于程度分析的FAHP方法和基于ARM的FAHP方法[14]。

3.1 性能评估数据来源

邀请3位专家利用三角模糊数对各指标之间的相对重要性作出判断，得到三角模糊评判矩阵；对9个指标模型进行150次蒙特卡罗仿真，将归一化指标值代入隶属函数得到隶属度矩阵。

3.2 层次结构评估指标体系建立

根据各指标模块间的相对重要性及相互关系，构建定位解算算法性能模糊综合评价递阶层次指标体系。

图2所示为评估指标的递阶层次结构，层次结构包含目标层(A)、准则层(B)和措施层(C)三层。其中，准则层具体分为定位解算算法复杂度评估(B1)、定位效果评估(B2)和算法稳定性评估(B3)等3个一级评估准则，这3个准则下分别包含若干个二级指标。算法复杂度准则涉及的二级性能评估指标有时间复杂度(C1)、空间复杂度(C2)；定位效果准则涉及的指标有定位绝对误差(C3)、定位相对误差(C4)、定位速度(C5)以及定位有效性(C6)；算法稳定性准则包括算法收敛性(C7)、容错能力(C8)和鲁棒性(C9)。这些具体指标模型及量化结果共同构成二级性能评估措施层(C)。值得提出的是，由于措施层(C)具有相对独立的数学模型和量化结果输出，因此，构建的递阶层次结构评估指标体系模型能够更加确切地描述定位解算算法性能评估结果。

3.3 指标权重计算

邀请3位专家利用三角模糊数对各指标之间的相对重要性作出判断，且对于任意两指标之间的重要性进行比较，至少有一位专家给出判断，得到准则层和指标层的模糊判断矩阵，分别如表1～表4所示。

表1 主指标(A)的模糊判断矩阵Tab.1 Fuzzy comparison matrix of the main index(A)

表2 算法复杂度(B1)的模糊判断矩阵Tab.2 Fuzzy comparison matrix of the algorithm complexity(B1)

表3 定位效果(B2)的模糊判断矩阵Tab.3 Fuzzy comparison matrix of the positioning effect(B2)

表4 算法稳定性(B3)的模糊判断矩阵Tab.4 Fuzzy comparison matrix of the algorithm stability(B3)

分别利用基于程度分析的FAHP方法、基于ARM的FAHP方法和基于对数最小二乘的FAHP方法计算各模糊判断矩阵的权重向量，权重向量的计算结果如表5～表8所示。

表5 主指标(A)的子指标权重(W1-W3)Tab.5 Weight vectors(W1-W3) of the main index(A)

表6 算法复杂度(B1)的子指标权重(W11-W12)Tab.6 Weight vectors (W11-W12) of the algorithm complexity (B1)

表7 定位效果(B2)的子指标权重(W21-W24)Tab.7 Weight vectors (W21-W24) of the positioning effect (B2)

表8 算法稳定性(B3)的子指标权重(W31-W33)Tab.8 Weight vectors (W31-W33) of the algorithm stability (B3)

由表5可以看出，利用基于程度分析的FAHP方法得到的子指标B2和B1的权重分别为0.7043和0.1144，二者之比约为6.156；利用基于对数最小二乘的FAHP方法得到的子指标B2和B1的权重分别为0.4672和0.2221，二者之比约为2.103。而由表3可得，专家对子指标B2和子指标B1之间的相对重要性判断为(1/2, 1, 3/2)和(5/3, 2, 7/3)，对比这两种方法计算得到的子指标B2和B1的权重之比，可见基于对数最小二乘的FAHP方法得到的权重分配结果更能代表各子指标之间的相对重要性。而基于ARM方法得到的主指标B1、B2和B3的权重分别为0.4210、0.2218和0.3572，该方法得出的定位效果(B2)和稳定性权重(B3)均大于算法复杂度(B1)，与实际不符合，这是由于样本较少且典型性的规则被最小支持度限制筛掉。

事实上从表5～表8中可以看出，前两种方法计算得到的各子指标权重明显偏大或偏小，即该方法计算得到的权重结果并不能代表子指标之间的相对重要性，而基于对数最小二乘的FAHP方法得到的权重结果则相对更加合理。

另外，由表7可以看出，利用基于程度分析的FAHP方法计算得到的子指标C4的权重为0，即在进行指标综合时子指标C4的作用将被忽略掉，这显然是不合理的。而基于对数最小二乘的FAHP方法却不存在这种问题。

通过以上两方面的比较分析，基于对数最小二乘的FAHP方法的权重计算结果优于基于程度分析的FAHP方法和基于ARM的FAHP方法。

3.4 模糊隶属度矩阵计算结果

对定位解算算法进行150次蒙特卡罗仿真实验，并根据评估指标模型和评价标准确定的隶属度函数，求解隶属度矩阵的结果归纳如下：

1)B1的隶属子集为(其中矩阵元素rijk表示第i个子目标的第j个指标隶属于第k个评判等级的程度)

2)B2的隶属子集为

3)B3的隶属子集为

3.5 定位解算算法综合评判结果

建立量化评估区间赋值表如表9所示。

表9 评语集量化区间赋值表

依据对数最小二乘的FAHP方法和基于程度分析的FAHP方法得到的准则层权重向量，可计算得到一级模糊评估集Bi如下：

1)B1的一级模糊评估集为：

2)B2的一级模糊评估集为：

3)B3的一级模糊评估集为

将一级模糊评价结果构成二级单因素评判矩阵，得到综合评价向量为

从综合评价向量可以看出，定位解算算法性能属于评价集的隶属度为0.5767,0.3652,0.0484,0,0，根据最大隶属度原则，定位解算算法性能隶属于很好。

同样，根据各子集的隶属度和相应权重向量，逐层向上加权，不难得到基于程度分析的FAHP方法和基于ARM的FAHP方法的综合评估结果，并将最终评价结果与提出的对数最小二乘FAHP-FCE方法的结果进行对比，如表10所示。

表10 三种评估方法结果对比

4 结论

本文通过对基于对数最小二乘的FAHP方法和FCE方法的深入分析，结合基于卡尔曼滤波的定位解算算法性能评估的特点，提出了一种基于对数最小二乘的FAHP-FCE评估方法。以弹载卫星导航系统的定位解算算法性能评估为实例，并分别与具有代表性、前沿性的两类方法进行对比，得出以下结论：

1)基于对数最小二乘的FAHP-FCE方法有效利用了FAHP方法和FCE方法均善于处理模糊、不精确问题的优点，在定性分析与定量分析之间建立了联系。同时，模糊评估方法具有较强的综合评判能力，利用FAHP方法确定精确的指标权重，形成优势互补，使模糊评估更具科学性。

2)传统的对数最小二乘的FAHP-FCE方法应用于性能评估时存在权重不唯一性和模糊性问题。而基于对数最小二乘的FAHP-FCE方法，通过给出模糊判断矩阵的限制性条件，即满足至少有一位专家给出任意两指标之间的重要性评判，保证了归一化模糊权重向量的唯一性；此外，利用CSCF方法对模糊权重向量进行去模糊化处理，从而得到可供FCE方法直接综合运算的非模糊权重值。

3)尽管三种方法得到的评价隶属度差异较小，但由于基于程度分析法的FAHP方法计算得到的权重向量并不是最优的，且在进行程度比较时，出现了指标权重为0的情况，这导致了综合评判结果的偏差；而基于ARM的FAHP方法会筛掉典型性的规则，也会引入偏差。通过对比，基于对数最小二乘的FAHP-FCE方法求解的权重更符合客观实际。

因此，本文提出的基于对数最小二乘的FAHP-FCE方法得到的算法性能评估结果相对更准确、可靠。