高等数学教学中线性方程组的解法分析

丁黎明　赵冬

摘要：通过对线性方程组解法的教学过程进行探究，引导学生从行列式、矩阵、向量在求解线性方程组的不同使用条件及有关定理结论广泛思考，帮助学生理清这些知识要点，更好地掌握这几方面之间的知识联系，使学生更深入地体会行列式、矩阵、向量在解线性方程组的作用及应用价值。

关键词：线性方程组；求解；解法分析

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）40-0223-02

高等数学教学中线性方程组的求解问题是一个很重要的知识点，也是一个很重要的教学难点[1]。由于线性方程组形式复杂，求解变换涉及到行列式、矩阵、向量等几方面众多的基本知识，使学生容易混淆概念，出现思路混乱现象。事实上，行列式、矩阵、向量在求解线性方程组时有关定理与结论是相互一致的，并不矛盾，这就需要教师在教学中善于归纳与总结，理清这些知识要点，帮助学生更好地掌握知识之间的联系，让学生更深入地体会到行列式、矩阵、向量在解线性方程组的作用及应用价值[2]。

一、利用行列式解线性方程组

高等数学教学中利用行列式求解线性方程组，即使用克莱姆法则求解。

分析：适用定理1克莱姆法则求解的线性方程组有局限性，必须是所含方程的个数与未知数的个数相等且系数行列式不等于零，而且所求的解是唯一的。那么，自然而然会继续考虑当方程组中所含方程的个数与未知数的个数不相等时怎样求解，有多少解，还需深入探究。

二、利用矩阵解线性方程组

利用矩阵求解的线性方程组，方程组中所含方程的个数与未知数的个数不一定相等也可以相等，求得的解可以唯一也可无穷多组，使用初等行变换和逆矩阵求解。

（一）初等行變换法

对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，化成简化了的阶梯形矩阵，再根据矩阵的秩来判断解的情况，进而在有解的情况下求出方程组的解。

（二）逆矩阵法

由逆矩阵的定义可知，只有n阶非奇异方阵才可能有逆矩阵，因此利用逆矩阵求解的线性方程组的系数行列式不等于零，即得秩（）=秩（A）=n，从而方程组AX=B有唯一一组解X=AB。满足使用逆矩阵求解的方程组也可用克莱姆法则求解。

三、利用向量解线性方程组

当线性方程组有唯一一组解时，行列式或矩阵都能够具体解出。当线性方程组有无穷多组解时，行列式不能求解，矩阵可以求解但一般解的表达形式比较笼统，能否准确而清晰地表示出通解的形式，需要继续探究。

定理3 设线性方程组

分析：利用定理3也需要先使用矩阵的初等行变换化成简化了的阶梯形矩阵，根据矩阵的秩判断解的情况，进而在有解的情况下使用解向量的形式求出方程组的通解，用向量表示的通解形式比一般解的形式更加清晰而准确。利用向量解线性方程组，需要向量组的线性关系作为基础，通过方程组解的结构，再利用解空间的极大线性无关组表示出通解的向量形式。

总之，通过对线性方程组解法的分析，可以看出行列式、矩阵、向量在求解线性方程组的过程中不断递进与延伸，解的表达形式逐渐发展与完善。但要注意区分在求解时的不同使用条件，理清这些知识之间的联系，才能准确地把握相关结论，灵活地选择求解方法。

参考文献：

[1]王凌云，李山.高等数学[M].南京：河海大学出版社，2012：268-288.

[2]刘亚国.关于矩阵应用于线性方程组求解的几点思考[J].职校论坛，2010，（31）：247-248.