具有非线性收获及食饵避难的Leslie睪ower模型的税收分析

乔运成 李怀玉 黄创霞

摘要研究了具有非线性收获及食饵避难的Leslie-Gower 模型，讨论了该模型解的正性、有界性及正平衡点的存在性. 通過分析特征方程并运用Routh-Hurwitz判别法，得出正平衡点局部渐近稳定的充分性条件. 借助Lyapunov函数以及LaSalle不变原理，研究了正平衡点的全局稳定性. 利用Pontryagin最大值原理，得到了最优税收τoptimal以及最优平衡解（xoptimal， yoptimal， Eoptimal）. 数值模拟与理论结果一致.

关键词财政学；平衡点；稳定性；最优税收

中图分类号O175.14文献标识码A

Taxation Analysis of LeslieGower Model

with Nonlinear Harvesting and Prey Refuge

Yuncheng Qiao，Huaiyu Li，Chuangxia Huang

（School of Mathematics and Statistics， Changsha University of Science

and Technology， Changsha， Hunan410114， China）

AbstractIncorporating the nonlinear harvesting and prey refuge， a Leslie-Gower model is investigated. The positivity， boundedness of solutions and the existence of the positive equilibrium are discussed. By analyzing the characteristic equation and using Routh-Hurwitz method， some sufficient conditions for the locally asymptotically stable of the positive equilibrium are derived. With the help of Lyapunov function and LaSalles invariance principle， the global stable of the positive equilibrium is studied. Applying Pontryagin maximum principle， the optimal taxationτoptimaland the optimal equilibrium solution（xoptimal，yoptimal，Eoptimal）are obtained. Numerical simulations are great well agreement with the theoretical results.

Key wordsfinance；equilibrium point； stability； optimal taxation

1引言

随着人们物质文化需求的日益增长，人类对自然资源的开发和利用不断地扩大，然而，对于渔业等可再生资源来说，并非是取之不尽的. 因此，如何在保证种群系统持续发展的前提下，实现经济效益的最大化，一直是众多学者热切关注的问题.最早，Clark（1976）对可再生资源的优化管理给出了最基本定义及研究，在此基础上Ganguly和Chaudhuri（1995）[1]研究了单种群的渔业税收问题.考虑到实际生态系统中，环境容纳量往往与其生存环境及食饵种群的密度有关，Leslie（1948）[2]在捕食者种群的环境容纳量与食饵种群的密度成比例的假设下，对传统LotkaVolterra模型进行了改进，提出了LeslieGower捕食食饵模型.基于食饵在与捕食者共同进化的过程中所形成的躲避天敌的特性（例，利用自身的保护色来躲避天敌的袭击）（Wang等，2017）[3]，Chen 等（2009）[4]引进了食饵避难率m（0

虽然对捕食者种群进行选择性收获的税收问题的研究已相对完善，但是对于具有食饵避难且对食饵种群进行非线性、选择性收获的Leslie-Gower税收模型的研究并不多，大多数还停留在对食饵种群的常数收获（SUN等，2011；Lv等，2013）[7-8]或是没有考虑食饵避难这一问题（贾春莹等，2010；Li等，2017）[9-10].基于以上几点的考虑，建立了具有食饵避难且对食饵种群进行非线性（非线性收获项为：h（t）=qE（t）x（t）μE（t）+vx（t））、选择性收获（仅对食饵种群进行选择性收获）的LeslieGower税收模型：

dx（t）dt=r1x（t）1-x（t）k-α（1-m）x（t）y（t）-

qE（t）x（t）μE（t）+vx（t），dy（t）dt=r2-βy（t）（1-m）x（t）y（t），dE（t）dt=σ（p-τ）qx（t）μE（t）+vx（t）-c-γE（t），（1）

考虑到系统（1）的生物学意义，则系统（1）的初始条件为：x（0）=x0>0，y（0）=y0>0，E（0）=E0>0. x（t）和y（t）分别为t时刻食饵种群及捕食者种群的密度，E（t）表示t时刻对食饵种群的收获努力量，r1和r2分别为食饵种群及捕食者种群的内禀增长率，k为食饵种群的环境容纳量，α为捕食者种群对食饵种群的捕获率，m（0τ，c为收获单位资源x的成本，γ代表资本的折旧率.

考虑到系统（1）的现实意义，首先分析系统（1）解的正性及有界性.

2解的正性与有界性

引理1在初始条件下，系统（1）的解是正的.

证对系统（1）的第一个方程，分离变量求积分可得

x（t）=x0e∫

SymboleB@ 0r1（1-x（s）k）-α（1-m）y（s）-qE（s）μE（s）+vx（s）ds，

在初始条件x（0）=x0>0下，x（t）>0对所有的t>0均成立.

对系统（1）的第二个方程，分离变量求积分可得

y（t）=y0e∫

SymboleB@ 0r2-βy（s）（1-m）x（s）ds，

在初始条件y（0）=y0>0下，y（t）>0对所有的t>0均成立.

对系统（1）的第三个方程，分离变量求积分可得

E（t）=E0e∫

SymboleB@ 0σ（（p-τ）qx（s）μE（s）+vx（s）-c）-γds.

在初始条件E（0）=E0>0下，E（t）>0对所有的t>0均成立. 证毕.

引理2在初始条件下，系统（1）的解是最终有界的.

证定义

ρ（t）=x（t）+y（t）+1σ（t-τ）E（t），（2）

结合系统（1），对ρ（t）求导可得，

dρ（t）dt=dx（t）dt+dy（t）dt+1σ（t-τ）dE（t）dt=

r1x（t）-r1x2（t）k-α（1-m）x（t）y（t）+

r2y（t）-βy2（t）（1-m）x（t）-σc+γσ（t-τ）E（t），

从而，

dρ（t）dt+（σc+γ）ρ（t）=

r1x（t）-r1x2（t）k-α（1-m）x（t）y（t）+

（σc+γ）x（t）+r2y（t）-βy2（t）（1-m）x（t）+

（σc+γ）y（t）≤r1x（t）-r1x2（t）k+

（σc+γ）x（t）+r2y（t）-

βy2（t）（1-m）x（t）+（σc+γ）y（t）≤

kM264β2r1，

其中

M=4β（r1+σc+γ）+（r2+σc+γ）2（1-m），

因此，limt→∞ sup ρ（t）≤kM264β2r1（σc+γ）. 证毕.

3正平衡点的存在性与局部稳定性

为维持生态系统的平衡，保证食饵种群及捕食者种群能够持续共存，下面仅对系统（1）的正平衡点进行分析.

定理1若（C1）和（C2）成立，则系统（1）存在正平衡点P（x*，y*，E*）.

其中

（C1）r1μ-q>0，

（C2）τ

x*=kβ[（r1μ-q）（p-τ）σq+（γ+σc）qv]μ[r1β+αr2k（1-m）2]（p-τ）σq，

y*=r2（1-m）βx*，

E*=（p-τ）σq-（γ+σc）v（γ+σc）μx*.

證对系统（1），正平衡点P（x*，y*，E*）存在，当且仅当满足如下方程组：

r1（1-xk）-α（1-m）y-qEμE+vx=0，r2-βy（1-m）x=0，σ（p-τ）qxμE+vx-σc-γ=0，（3）

对上述方程组求解可得，

x*=kβ[（r1μ-q）（p-τ）σq+（γ+σc）qv]μ[r1β+αr2k（1-m）2]（p-τ）σq，

y*=r2（1-m）βx*，

E*=（p-τ）σq-（γ+σc）v（γ+σc）μx*.

证毕.

定理2若kqv<μ（μE*+vx*）r1，则正平衡点P（x*，y*，E*）是局部渐近稳定的.

证 系统（1）在正平衡点P（x*，y*，E*）处的特征方程为：

λ+r1x*k-qE*x*（μE*+vx*）2α（1-m）x*qE*x*2（μE*+vx*）2

-βy*2（1-m）x*2λ+βy*（1-m）x*0

-σ（p-τ）qμE*2（μE*+vx*）20λ+σ（p-τ）qμx*E*（μE*+vx*）2=0，

对上述特征方程化简得：

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0. （4）

其中，

a1=-（A+B+C），

a2=AB+（A+B）C+D+F，

a3=-（ABC+BD+FC），

A=-r1x*k+qE*x*（μE*+vx*）2，

B=-βy*（1-m）x*，

C=-σ（p-τ）qμx*E*（μE*+vx*）2，

D=qvx*2（μE*+vx*）2σ（p-τ）qμE*2（μE*+vx*）2，

E=αβy*2x*

显然 B<0，C<0，D>0，F>0，

Δ2=a1a2-a3=

-（A+B+C）[AB+（A+B）C+D+F]-

（ABC+BD+FC）.

因此，当且仅当A<0时，即kqv<μ（μE*+vx*）r1时，有Δ2>0. 由RouthHurwitz判别法可知特征方程（4）的根的实部均为负，从而，正平衡点P（x*，y*，E*）是局部渐近稳定的. 证毕.

4正平衡点的全局稳定性

定理3若（C1）、（C2）及kqv<μ（μE*+vx*）r1成立时，则正平衡点P（x*，y*，E*）是全局稳定的.

证在正平衡点P（x*，y*，E*）处，构造如下正定的V（x，y，E）函数：

V（x，y，E）=ln xx*+xx*+

θ1[（y-y*）-y*ln yy*]+

θ2[（E-E*）-E*ln EE*]， （5）

其中，θ1，θ2为任意的正常数.

由式（5）可知V（x，y，E）是关于x，y，E的连续函数，通过计算可得：

Vx=1x（1-x*x），

Vy=θ1（1-y*y），

VE=θ2（1-E*E）， （6）

lim x→0V（x，y，E）=lim x→∞V（x，y，E）=+∞，

lim y→0V（x，y，E）=lim y→∞V（x，y，E）=+

SymboleB@ ，

lim E→0V（x，y，E）=lim E→∞V（x，y，E）=+

SymboleB@ ，（7）

由式（6）和式（7）可知V（x，y，E）在正平衡点P（x*，y*，E*）处取最小，即

V（x，y，E）>V（x*，y*，E*）=1.

沿着系统（1）对V（x，y，E）函数求导得，

dVdt=x-x*x2dxdt+θ1y-y*ydydt+

θ2E-E*EdEdt=

-[r1kx-qE*vx（μE+vx）（μE*+vx*）]×

（x-x*）2 -θ1β（1-m）x*（y-y*）2+

[θ1βy*（1-m）xx*-α（1-m）x]（x-x*）×

（y-y*） +[θ2σ（p-τ）E*μ-x*xv]×

q（x-x*）（y-y*）（E-E*）（μE*+vx*）2-

θ2σ（p-τ）qx*μ（μE+vx）（μE*+vx*）（E-E*）2，

取正常数

θ1=α（1-m）2x*βy*， θ2=x*vσ（p-τ）μE*x，

化简得：

dVdt≤

-[r1kx-qE*vx（μE+vx）（μE*+vx*）]×

（x-x*）2 -θ1β（1-m）x*（y-y*）2-

θ2σ（p-τ）qx*μ（μE+vx）（μE*+vx*）（E-E*）2，

由定理2条件kqv<μ（μE*+vx*）r1，即r1kx-qE*vx（μE+vx）（μE*+vx*）>0，可知dVdt<0. 由LaSalle不变原理可得，正平衡点P（x*，y*，E*）是全局稳定的. 证毕.

5最优税收政策

本节主要研究在初始条件x（0），y（0）及E（0）下，利用Pontryagin最大值原理确定最优税收τ，得到最优平衡解，使人类在对食饵种群收获过程中社会的总收益（贴现总收入）

J（x）=∫∞0e-δt[pqx（t）μE（t）+vx（t）-c]E（t）dt （8）

在满足方程（1）和控制变量为τmin <τ<τmax 时取得最大值. 其中，δ為贴现率.

此控制问题的Hamiltonian函数为：

H（t）=e-δt[pqx（t）μE（t）+vx（t）-c]E（t）+λ1（t）

r1x（t）1-x（t）k-α（1-m）x（t）y（t）-

qE（t）x（t）μE（t）+vx（t） +λ2（t）r2-βy（t）（1-m）x（t）y（t）+

λ3（t）σ（p-τ）qx（t）μE（t）+vx（t）-c-γE（t）， （9）

其中，λ1（t），λ2（t），λ3（t）是伴随变量.

由于H（t）的最大值在区间τmin ，τmax 上取得，所以

H（t）τ=-λ3（t）σqx（t）μE（t）+vx（t）E（t）=0.

因此，λ3（t）=0.

由Pontryagin最大值原理有

dλ1（t）dt=-H（t）x（t）=

-pqμE2（t）e-δt（μE（t）+vx（t））2+λ1（t）[r1-2r1x（t）k-

α（1-m）x（t）y（t）-pqμE2（t）（μE（t）+vx（t））2] -

λ2（t）βy2（t）（1-m）x2（t），（10）

dλ2（t）dt=-H（t）y（t）=λ1（t）α（1-m）x（t）-

λ2（t）r2-2βy（t）（1-m）x（t），（11）

dλ3（t）dt=-H（t）E（t）=-pqvx2（t）e-δt（μE（t）+vx（t））2+

ce-δt+λ1（t）qvx2（t）（μE（t）+vx（t））2，（12）

为了得到最优解，在正平衡点处结合式（3）对式（10）、式（11）化简可得

dλ1（t）dt=-pqμE2e-δt（μE+vx）2+λ1（t）（-qEμE+vx+

qμE2（μE+vx）2）+λ1（t）r1xk+λ2（t）βy2（1-m）x2，（13）

dλ2（t）dt=λ1（t）α（1-m）x+λ2（t）βy（1-m）x.（14）

另一方面，在正平衡点处由式（12）可得

λ1（t）=pe-δt-（μE+vx）2ce-δtqvx2. （15）

将式（15）代入式（14）可得，

dλ2（t）dt=φ2λ2（t）+φ1e-δt， （16）

其中

φ1=[p-（μE+vx）2cqvx2]α（1-m）x，

φ2=βy（1-m）x.

对式（16）分离变量求积分可得

λ2（t）=-φ1φ2+δe-δt+K1eφ2t，（17）

当t→0，K1=0时，影子价格λ2（t）eδt是有界的，

λ2（t）=-φ1φ2+δe-δt. （18）

同理，由式（18）及式（13）可得

λ1（t）=-ψ1ψ2+δe-δt， （19）

其中

ψ1=pqμE2（μE+vx）2-φ1φ2+δβy2（1-m）x2，

ψ2=-qEμE+vx+qμE2（μE+vx）2+r1kx.

由式（19）及式（15）可得

p-（μE+vx）2cqvx2=-ψ1ψ2+δ， （20）

将正平衡点P（x*，y*，E*）代入式（20）得到关于τ的方程，令τoptimal为方程的解，从而得到最优平衡解x=xoptimal， y=yoptimal， E=Eoptimal以及最优税收τoptimal=p-（σc+γ）（μEoptimal+vxoptimal）σqxoptimal.

注1系统（1）更具有一般性，它包含了多种特殊的情况. 事实上，如果不存在人类收获，即对食饵种群的收获努力量E（t）=0时，则系统（1）即为具有食饵避难的LeslieGower捕食食饵模型[2-4]；如果对食饵种群的收获为线性收获，即h（t）=Eqy时，则系统（1）即为具有食饵避难且带有线性收获项的LeslieGower捕食食饵模型[3，5，7，8]；如果γ=0，即资本折旧率为零[6，9，10].

注2 当系统（1）满足条件（C1）、（C2）及kqv<μ（μE*+vx*）r1时，捕食者、食饵种群最终将达到平衡且共存，容易发现：此时必须保证食饵避难率m满足0

6数值模拟

考虑具有非线性收获及食饵避难的LeslieGower税收模型如下：

dx（t）dt=0.5x（t）1-x（t）100-0.42x（t）y（t）-

0.5E（t）x（t）2E（t）+x（t），dy（t）dt=0.001-0.06y（t）0.7x（t）y（t），dE（t）dt=0.40.5（15-τ）x（t）2E（t）+vx（t）-5-0.01E（t），（21）

当τ=1时，p-τ=14>0，1-m=0.7>0. 另外，由计算可得

（C1）r1μ-q=0.5>0，

（C2） 1=τ

kqv=50<μ（μE*+vx*）r1≈60.42，

满足定理3的条件，因此可知系统（21）的正平衡点存在且全局稳定，数值模拟与该结论相一致，如图1所示.

通過注2的分析可知，税收策略在人类对资源的合理开发及利用，维持生态系统的平衡与稳定方面具有一定的调节作用，对于系统（21）而言，当税收τ发生变化时（这里研究τ=1，2，4），食饵种群x，捕食种群y以及E随时间的变化，如图2所示.

通过图2可以清晰地发现：税收τ=4时，食饵种群的平衡密度最大，税收τ=2时次之，税收τ=1时，食饵种群的平衡密度最小，即，在税收控制范围内，税收τ增加，食饵种群的平衡密度最终将会增加.

通过图3不难发现：税收τ=4时，捕食者种群的平衡密度最大，税收τ=2时次之，税收τ=1时，捕食者种群的平衡密度最小，即，在税收控制范围内，税收τ增加，捕食者种群的平衡密度最终将会增加.

通过图4可以发现：税收τ=4时，对食饵种群的收获努力量的平衡密度最小，税收τ=2时次之，税收τ=1时，对食饵种群的收获努力量的平衡密度最大，即，在税收控制范围内，税收τ增加，对食饵种群的收获努力量的平衡密度最终将会减小.

结合图2，图3以及图4，同样可以得到注2的结论：在税收的增加的情况下，对食饵种群的收获将减少（即收获努力量E减小），因此食饵种群x的平衡密度将会增加，捕食者种群y的平衡密度也终将会随之增加.

7结论

考虑到食饵种群在进化过程中所形成的躲避捕食者种群捕食的特性，人类的非线性选择收获行为，以及税收政策对生态系统稳定性和人类经济利益的影响，建立了具有食饵避难、对食饵种群进行非线性选择收获的LeslieGower税收模型. 通过分析得到了在税收量τ

通过对系统动力学行为的研究发现：税收的适当增加、捕获成本的提高、食饵种群出售价格的降低以及收获努力量的下降，都可以降低人类对食饵种群的收获，从而使食饵种群、捕食者种群的平衡密度增加，从而达到合理地利用资源，维持生态系统的稳定与平衡，实现经济利益的最大化的目的.

参考文献

[1]GANGULY S，CHAUDHURI K S.Regulation of a singlespecies fishery by taxation[J].Ecological Modelling，1995，82（1）：51-60.

[2]LESLIE P H.Some further notes on the use of matrices in population mathematics[J]. Biometrika，1948，35（3/4）：213-245.

[3]WANG Q L，LIU Z J，ZHANG X G，et al.Incorporating prey refuge into a predator–prey system with imprecise parameter estimates[J].Computational and Applied Mathematics，2017，36（2）：1067-1084.

[4]CHEN F D，CHEN L J，XIE X D.On a LeslieGower predatorprey model incorporating a prey refuge[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2009，10（5）：2905-2908.

[5]李有文，楊洪娴，田广立等.具有食饵避难的LeslieGower最优税收模型分析[J].数学的实践与认识，2011，41（5）：167-171.

[6]魏凤英，郭瑜婷.一类食饵具有避难所的LeslieGower模型的稳定性及最优税收[J]. 应用数学进展，2013，2（1）：10-14.

[7]SUN J F，GOU X K.Analysis of a Preypredator Fishery Model with Prey Reserve[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2011，26（2）：290-295.

[8]LV Y F，Rong Yuan，Yongzhen Pei.A preypredator model with harvesting for fishery resource with reserve area[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37（5）：3048-3062.

[9]贾春莹，高建国.改进了的捕食者-食饵系统的征税模型分析[J].数学的实践与认识，2010，40（16）：237-242.

[10]LI M，CHEN B S，YE H W.A bioeconomic differential algebraic predatorprey model with nonlinear prey harvesting[J].Applied Mathematical Modelling，2017（42）：17-28.

[11]KAR T K.Management of a fishery based on continuous fishing effort[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2004，5（4）：629-644.