基于混合规避策略的期权定价及其数值分析

潘雪勤

摘要考虑现实市场中红利的存在、波动率等参数随时间变化以及交易时间不连续产生的对冲风险不可忽略，研究离散时间、支付红利条件下基于混合规避策略的期权定价模型.由平均自融资-极小方差规避策略得到相应欧式看涨期权定价方程，并且分别使用偏微分方法和概率论方法得到统一的闭形解.数值分析表明，与经典的期权定价模型相比，新模型中的期权价格更接近对冲成本.

关键词概率论；期权定价；规避策略；Feynman-Kac公式；蒙特卡洛模拟法

中图分类号O213 文献标识码A

Option Pricing and Its Numerical Analysis

Based on Mixed Hedging Strategy

Xueqin Pan

（School of Mathematics， South China University of Technology，Guangzhou， Guangdong510640， China）

AbstractEssentially， considering the existence of dividend， the change of volatility with different time， and the fact the risk of hedging caused by a discrete time case cant be neglected in the real world， this paper studies the option pricing model based on the mixed hedging strategy in a discrete time incomplete market and dividend payout. The corresponding European call option pricing equation is obtained from an average selffinance minimal variance hedging strategy， and then the partial closedform solution is obtained from the partial differential method and the probability theory method in detail. From numerical analysis， we found that the option price in the new model is closer to the hedging cost than the BS model. It illustrates that residual risks， risk preference， the trading frequency and dividend as well as the mixed hedging strategy play an important role in option pricing and portfolio hedging in a discrete time case.

Key wordsprobability theory； option pricing； FeynmanKac formula； Monte Carlo simulation

1引言

美国经济学家Black和Scholes（1973）[1]首先提出了BlackScholes模型（简称BS模型），模型在标的资产价格变化服从几何布朗运动的假设下，利用风险中性定价和无套利原理推导出期权定价公式.随后，学者们试着在此基础下放宽一些现实条件，以获取更加适合市场的模型.Merton（1073）[2]考虑了跳跃点和股票支付红利的情况.Cox、Ross和Rubinstein（1979）[3]提出了二叉树期权定价模型，考虑股价是服从二项分布的模型.Leland（1985）[4]首次检验了有交易成本且在离散场合考虑到了期权复制的问题.关于期权定价的理论研究和综述文献已相当丰富，Potters、Bouchaud和Sestovic（2001）[5]提出了一种新的“对冲”蒙特卡罗（HMC）方法进行定价，Mastinek（2006）[6]改进离散时间对冲套期保值，XT Wang、Z Li和L Zhuang（2017）[7]提出了一种新的方法来根据学生的噪音跳跃来定价欧式选项.而探寻更加符合市场的期权定价模型成为众多学者关注学习的重点.

2期权定价方程的建立

Markowitz（1953）[8]提出了均值-方差（MeanVariance）规则，被广泛应用于研究与实践决策规则，其实它对离散时间场合的期权定价模型亦有着非常大的影响.B-S模型是建立在众多条件（标的资产服从几何布朗运动，无交易费，不支付红利q=0，連续时间交易，股票期望收益率μ、股票波动率σ和无风险利率r为常数等）的理想环境下，偏离现实因素.因此，探究离散时间和支付红利条件下，且考虑μ，σ，r，q均为时间t的函数的期权定价模型，具有重要的理论价值.

首先给出5个基本假设（以欧式看涨期权为例）：

假设1 股票价格适合离散时间随机过程δSt=μtStδt+σtStδBt，其中，μt和σt均为t的函数，{Bt}t∈0，T为完备概率空间（Ω，Ft，P）上标准一维布朗运动，{Ft}t∈0，T为布朗滤子族；

假设2 股票红利率为qt，无交易费用、税收；

假设3 无风险利率rt为时间t的函数；；

假设4 在离散时间下交易，交易时间间隔为δt>0.

假设5 无卖空限制，且市场是无套利的，即便存在套利机会，也会被快速消除.

由于交易是在离散时间进行的，由股票与无风险证券构成的投资组合不可能完全规避期权的风险，现在考虑此风险对期权定价的影响.

在一个由股票St=S0exp ut-σ2t2t+σBt和债券Dt=D0ert两类资产组成的简单金融市场.在t，t+δt时间段内，由泰勒公式可以求得δSt和δDt的展开式，且

（δSt）2=S2t2ut-σ2t2σδtδBt++

S2tσ3t（δBt）3+S2tσ2t（δBt）2+G2（δt）（1）

其中，E（G2（δt））=o（δt）.

考虑由其组成的投资组合Πt： Πt=X1（t）St+X2（t）Dt，X1（t），X2（t）为相应份额[9]，由一价定律，该复制策略的初始值将被用来作为期权的价格C=C（t，St）.

在t，t+δt时间段内，投资组合的价值变化为δΠt=X1（t）（δSt+qtStδt）+X2（t）δDt，假定C（t，St）对t连续可微，对St二阶连续可微，则期权的价格变化可表示为：

δC=Ctδt+（CS+2CtSδt）δS+

122CS2（δS）2+G3（δt），

其中E（G3（δt））=O（（δt）2）=o（δt），令

A1（t）=Ct-rtX2（t）Dt-qtX1（t）St，

A2（t）=CS+2CtSδt-X1（t），

A3（t）=122CS2.

可得

δC-δΠt=A1（t）δt+A2（t）δS+

A3（t）（δS）2+G3（δt）. （2）

将δSt 和式（1）代入式（2），可得

δC-δΠt=

A1（t）+A2（t）Stut-σ2t2δt+

12！σ2tA2（t）St+σ21A3（t）S2t（δBt）2+

σA2（t）St1+ut-σ2t2（δT）+

A3（t）S2t2ut-σ2t2σ1δtδBt+

13！A2（t）St+σ3tA3（t）S2t（δBt）3+G4（δt）.

式中

G4（δt）=A2（t）G1（δt）+A3（t）G2（δt）+G3（δt），

E（G4（δt））=O（（δt）2）=o（δt）.

Giovanni、Ortobelli和Rachev（2008）[10]分析不同了的期权定价模型.可以得出离散时间下δt不趋于0，无法进行自融资复制，找不到完美的规避策略.Wang、Zhao和Fang（2015）[11]考虑了离散时间不完全市场期权定价和投资组合套期保值.受MV规则的启发，基本思路是：投资组合Πt在平均自融资条件下复制期权，并使得该复制误差的方差极小化，即：

MinX1（t）Var（δC-δΠt）s.t. E（δC-δΠt）=0， C（t，St）=X1（t）St+X2（t）Dt.

求得：

A1（t）=uA2（t）St+σ2tA3（t）S2t=0.

新模型相对于文献[11]的模型，考虑了支付红利且μ，σ，r，q均为时间t的函数，更具有参考价值.

因为所求Var（δC-δΠt）=E（δC-δΠt）2是关于X1（t）的抛物线，为了使Var（δC-δΠt）最小化，只需Var（δC-δΠt）X1（t）=0，忽略（δt）2和2CtSδt，可得

X1（t）=CS+（ut+3σ2t2）δt1+2μtδt+σ2t2δtSt2CS2t.

称X1（t）为混合delta规避策略（收益和风险双目标），它是对是B-S delta规避策略的某种推广.

再由C=X1（t）St+X2（t）Dt，得到期权定价方程：

Ct+（rt-qt）SCS+σ^2t2S22CS2-rtC=0，

其中，σ^2t=σ2t+2（rt-μt）（μt+32σ2t）δt1+2μtδt+σ2t2δt ，当δt充分小时，σ^2t=σ2t.

3期权定价公式的求解

由于μ，σ，r，q，均为时间t的函数，传统的BS模型公式求解方法已不再适用，本节中由两种方法得出统一的期权定价公式.

3.1偏微分方法求解公式

为了得出有效期[0，T]内期权的价值，就要在Ω：{0≤S<∞，0≤t≤T}上求解定解问题：

Ct+rSCS+σ22S22CS2-rC=0，

C（T，ST）=（S-X）+=max（ST-X，0）.

作以下代换x=ln S，τ=T-t，使得变系数变成了常系数[12].为了转化为热传导方程的初值问题，令函数变换C=Veατ+βx，并消去eατ+βx，得到

Vτ-σ222Vx2-（βσ2+r-σ22）Vx+

r-β（r-σ22）-σ22β2+αV=0

通過适当地选取常数α，β，这里令

β=12-rσ2，

α=-r-12σ2（r-σ22）2.

可得到方程：

Vτ-σ222Vx2=0，

V（x，0）=e-βx（ex-X）+.

由通解泊松公式得解[13]：

V（x，τ）=1σ2πτ∫

SymboleB@ lnXe-（x-ξ）22σ2e（1-β）ξ-Xe-βξdξ.

带回原变量得：

C（x，τ）=Vx，τexp{-rτ-12σ2（r-σ22）2τ-

1σ2（r-σ22）x}=I1-I2.

这里I1=exN（d（x）στ） ，I2=Xe-rτN（d（x）στ）.其中，

η=x-ξ+（r-σ22）τ，

d（x）=x-lnX+（r-σ22）τ，

N（x）=12π∫x-∞e-λ22dλ，

λ=η+σ2τστ.

帶回原变量，可得欧式看涨期权的定价公式为

Ct（S，t）=StN（d1）-Xe-r（T-t）N（d2）.

其中

d1=1σT-tlnS/X+（r+σ22）（T-t） ，

d2=d1-σT-t.

3.2概率论方法求解公式

为了得出[0，T]内期权的价值，就要在Ω：{0≤S<∞，0≤t≤T}上求定解问题（3）[14]：

关于f（x，T）=g（x），对应FeynmanKac求解问题为：

ft+μ（x，t）fx+12γ（x，t）γ（x，t）2fx2-R（x，t）f（x，t）+h（x，t）=0，（x，t）∈（0，+∞）×[0，T）.

利用It公式求解ξτ：

∫Ttdlnξτ=∫Tt（r-σ22）dτ+σ（BT-Bτ）.

有ξ→S，即

ST=Stexp {（r-σ22）（T-t）+σ（BT-Bτ）}.

那么对应于FeynmanKac的解：

C（S，T）=Eφt，Tg（ST）=

e-r（T-t）E（ST-X）+

=e-r（T-t）∫

SymboleB@ y0（Ste（r-σ2/2）（T-t）+σy-X）fy（y）dy

=I1-I2，

其中y0=1σlnXSt-（r-σ22）（T-t），

I1=St2π（T-t）∫∞y0exp{-12yT-t-（T-t）σ2}dy，

f（y）=exp{-y22（T-t）2π（T-t）}.

进而可得欧式看涨期权的定价公式，同上.

4数值分析

4.1规避策略影响

在无红利条件下，对得到的新模型（4）与B-S模型期权定价公式数值分析，由此来解释规避策略对期权定价的影响和作用.

以下股价数据来自于参考文献[15]中第17章.

某一金融机构卖出100000份无股息股票的欧式看涨期权，假定到期日T = 20/52，交割价格X = 50美元，股票的期望回报率μ = 0.05，无风险利率r = 0.13，波动率σ = 0.2.

通过Matlab编程，模拟对冲策略的再平衡过程，得到表1，其中对冲交易时间间隔δt =1/52年.从表1可以发现规避策略X1（t）的对冲误差小于delta规避策略对冲误差，因此，在混合规避策略下的期权定价更贴合实际情况.

对冲的目的是为了保证交易组合价值的稳定，可以得到结论：

（1）随着交易频率的加大，X1（t）和delta对冲效果都稳步上升.

（2）随着执行价格的提高，X1（t）和delta对冲效果都稳步降低.

（3）两种策略下的对冲表现比较逼近，其中在虚值期权且交易时间间隔比较小的状态下，新模型较优于BS模型.

4.2模型的定价误差分析

选取上证50ETF股票期权来分析两种模型下的定价结果的误差.其中选取了9月份到期的执行价格分别为2.30，2.35，2.40，2.45，2.50元的五份看涨期权，期权发行日为2017.2.23，2017.3.31标的资产价格为2.356，期初价格为2.366.

合约代码分别为10000843，10000844，10000845，10000846，10000847.

在股票价格服从几何布朗运动的假设下，可求得其对数收益率μ=0.164，波动率σ=0.331.下面是不同红利率q下的结果如图1所示.

执行价格（a） 两模型的定价误差比较（q = 0）

执行价格（b） 两模型的定价误差比较（q = 0.05）

由图（a）和图（b），在红利率为零时，新模型的结果略优于BS模型；当添加红利（q = 0.05）时，结果更加显著，可以看出新模型在改变红利率值的情况下可以逐渐逼近实际期权价格.

5结论

考虑离散时间和支付红利条件下基于混合规避策略的期权定价模型，并给出解析解以及详细求解过程.数值分析表明，新模型规避策略相对于传统模型误差更加小，特别是在虚值期权且交易时间间隔比较小的状态下，可以得出风险偏好μ、交易频率δt和红利率对期权价格有着重要影响，新模型定价公式具有一定的参考意义.

参考文献

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