基于Lee睠arter模型的互助养老年金研究

肖鸿民 杨晓丹 马志娥

摘要基于经典的双线性随机LeeCarter模型，采用经济学的协整理论，对中国大陆男性人口死亡率进行预测，克服了ARIMA模型预测的局限性.在随机利率和LeeCarter模型的基础上度量退休年金和生命年金的长寿风险，并为此提出应对策略，引入由消费者承担系统长寿风险、年金池承担个体长寿风险的群体自助养老年金（GSA），然后对其进行实证分析发现，与普通年金相比，GSA模型分担模式拥有较高的给付额.

关键词金融学；群体自助养老年金；协整理论；Leecarter模型；长寿风险

中图分类号F840.67， D213.9文献标识码A

The Study on Group SelfPooling

and Annuitization about LeeCarter Model

Hongmin Xiao，Xiaodan Yang，Zhie Ma

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou， Gansu730070， China）

AbstractThe cointegration theory of economics combined with the classical bilinear random LeeCarter model was used to fit and forecast the male population mortality in Mainland China， and solved the limitations of the ARIMA model. Meanwhile， the two kinds of longevity risk about retirement pension and life annuity were measured， which based on the stochastic interest rate and LeeCarter model. Then the model of the Group Self-pooling Annuitization （GSA） in which the system longevity risk was borne by consumers， and the individual longevity risk was borne by the annuity pool. The result showed that the model of GSA had a higher payment compare with the ordinary pension.

Key wordsfinance；LeeCarter model； cointegration theory； longevity risk； group selfannuitization

1引言

随着社会经济的发展，生活环境的改善，医疗水平的提高以及人们健康意识的普遍增强，世界各国的人口死亡率总体呈现下降趋势，人口老龄化问题日趋严重.中国已经步入人口老龄化社会，由此带来的国家社会保障体系的资金短缺、企业年金发展不成熟和个人面临的退休收入不足等一系列问题，将成为中国未来主要的一部分社会风险.

为提高死亡率模型预测的可靠性，学者们不断进行探索和研究.国际上最具影响的模型是由Lee和Carter（1992） [1]提出的包含死亡率未来变动趋势的LeeCarter模型，由于LeeCarter模型简单易懂且相对稳健，之后的许多研究建立在此模型之上.Piet de Jong等（2016）[2]利用LeeCarter模型同时模拟女性和男性的死亡率，得出此模型参数信息量大、易于解释等特点.Laurent Callot（2016）[3]建议将确定性和随机性时间序列变量分开以提高拟合和预测性能.Yang等（2013）[4]基于LeeCarter模型建立了多个国家死亡率连贯模型来对死亡率进行预测，通过协整分析得到美国和英国人口死亡率的相关性.张奕等（2015）[5]通过协整分析发现日本男性和中国男性人口死亡率具有长期的均衡关系，并结合极值理论对中国死亡率进行预测.吴晓坤等（2016）[6]将LeeCarter模型中与时间相关的因子可建立时间序列模型并进行外推，进而实现死亡率的预测.曾燕等（2016）[7]結合Bootstrap方法与LeeCarter模型对中国人口死亡率进行拟合与预测，较好地解决了传统模型的不足.

然而随着老年人口的增加以及寿命的不断延长，长寿风险对中国社会保障体系影响愈发显著，这就需要一种合适的方法来实现其有效转移.John Piggott等（2005）[8]提出由消费者承担系统长寿风险，而年金池来承担个体长寿风险的群体自助年金化（GroupSelfAnnuitisation）的概念，即GSA模型，但是他们并未对GSA模型的特点进行很好的概括，且其推导出的给付递推模型不够完善.Jonathan Barry Forman（2014）[9]从企业人员规模的角度研究了GSA模型的适用范围.

目前针对中国死亡数据较少等问题，将经济学的协整理论引入死亡率模型，利用中国大陆和中国台湾男性人口死亡率数据，采用LeeCarter模型奇异值分解法（SVD）对中国大陆男性人口死亡率模型的参数进行估计，弥补了中国死亡率数据缺失造成的误差.随后根据欧盟SolvencyⅡ框架为理论基础， 度量退休年金和生命年金的长寿风险. 最后采用蒙特卡洛模拟分析GSA养老年金的给付模型并得到每年给付额的分布.

2模型介绍

2.1LeeCarter模型

假设mx（t），（t=t1，t2，…，tn）服从对数双线性模型，即

ln mx（t）= αx+βxkt+εx，t， （1）

其中αx是年龄因子，反映了死亡率随年龄x的变化；βx表示年龄x对死亡率变动的敏感程度；kt是时间因子，反映了死亡率随日历年变动的趋势；εx，t表示x在t年中心死亡率的残差项，且εx，t ～N（0，σ2）.研究表明，若（αx，βx，kt）是满足式（1）的一组解，则对于任意常数c，变换（αx，βx/c，ckt）或（αx+cβx，βx，kt-c）同样也能满足方程.为此，在式（1）的基础上附加下述条件以获得唯一确定的参数估计值，∑xβx=1，∑xkt=0.由最小二乘法可得

x=1tn-t1+1∑tnt=t1lnx（t）.（2）

通过对矩阵ln mx（t） - αx进行奇异值分解得到x和t的估计值.按照时间序列t的变化采用ARIMA模型对t进行拟合，然后外推出预测年份的t.最后利用t，xx得出预测年度的（t），即

lnx（t）=x+xt.（3）

2.2协整关系

利用LeeCarter模型对死亡率进行预测，多数是对死亡时间因子kt建立ARIMA模型，这种方法要求有足够的历史数据，并要求死亡时间因子kt是平稳时间序列，但实际操作发现，LeeCarter模型中的kt通常为非平稳时间序列，因此该预测方法在数据缺失的中国往往有较大偏差.Yang等（2013）发现虽然某个国家的kt不是平稳时间序列，但多个国家的kt之间可能存在协整关系.Engle等人提出了协整（Co-integration）的概念，他们发现有些时间序列虽然自身非平稳，但其线性组合却是平稳的或是较低阶单整的.

验证两个时间序列kt1和kt2是否协整，Engle和Granger（1987）[10]提出两步检验法（EG检验）.

第一步：经ADF和PP检验，若时间序列kt1和kt2都是同阶单整的，就可以用一个变量对另一个变量做回归，即kt1=a+bkt2+et ，则模型残差et的估计值为1=kt1--kt2，，是a，b的估计值.

第二步：检验t是否平稳，就可以判断时间序列kt1和kt2是否存在协整关系.若t～I（0），即t为平稳序列，则kt1和kt2具有协整关系，kt1=a+bkt2+et为协整回归方程；否则kt1和kt2没有协整关系.

2.3長寿风险度量方法

由于人均预期寿命不断延长，导致长寿风险日益严重，各国政府和保险公司都在积极研究各种管理长寿风险的方法.根据Liquidity Coverage Ratio（简称LCR）长寿风险度量的相对指标，其表达式为：

LCR=Mx，w-xBx，w-x-1×100%，

其中，Mx，w-x表示预测期死亡率对应的退休年金与生命年金精算现值，Bx，w-x表示基期死亡率对应的退休年金与生命年金精算现值.退休年金精算现值表示退休后生存者每年缴纳单位1折现到现在的期望值，生命年年金精算现值退休前缴费者每年缴纳单位1折现到现在的期望值.该度量方法度量的是死亡率降低导致保险公司偿付能力不足的长寿风险.

2.4互助养老年金的给付模型推导

死亡率逐年下降导致人口预期寿命不断增加，这给中国养老金体系带来了巨大压力，普通的养老年金已经无法支付长寿风险带来的巨大开支.John Piggott等人推导了在精算公平原则下每个调整因子的计算方法，得到一般情况下的递推模型：

kxB*i，t=k-1xBA*i，t-1×F*t∑k≤1∑x1px+k-1∑AtkxF*i，t×x+t，t-1x+t，t×1+Rt1+R=k-1xB*i，t-1×MEAt×CEAt×IRAt

其中，MEAt称为死亡率调节因子，CEAt称为单独变化的调节因子，IRAt称为利率调节因子.kxB*i，t表示x岁进入互助养老计划，到第t年已经加入互助养老年金计划k年的第i个成员领取的养老金金额； px表示x～x+1岁预期的存活概率；R表示初始时刻设定的投资收益率； Rt表示t～t+1时刻实际的投资收益率；F*t表示t时刻所有存活人员年金池的资金总额；kxFi，t表示第i个成员t时刻尚未收到t-1～t时刻之间死亡的人资金分配时的资金总额；kxF*i，t表示第i个成员t时刻在年金池中的余额； At表示t时刻存活的人数，x+t表示第t年x岁的个体每年支付的普通终身年金的精算现值.

假定预期投资收益率与实际投资收益率相等，相当于利息力：

δ=ln11+R=0.04879064

领取的养老年金是根据普通终身年金的预期现值因子计算的平均金额：

kxB*i，t=kx*i，tx+t.（4）

根据死亡率信用，kxB*i，t表示第i个成员t时刻收到t-1～t时刻之间死亡的人资金分配时的资金总额.

John Piggott等人认为MEAt， CEAt是分开的，死亡率调整因子允许偏离GSA基金预期死亡人数，而改变的期望调整对潜在死亡率会产生永久性冲击.这两个影响很难区分，例如GSA计划中出现额外的死亡，可能是远离预期的随机偏差，也可能是潜在死亡率永久性增加的结果.这两个调节因素被Chao Qiao等（2013）[11]纳入单一调整因子，对其推导过程改进并得到更贴近实际情况的GSA给付递推模型.随机动态模型预测的死亡率用μx，t表示，则x岁个体在第t年存活了s年的概率为：

spx，t=exp-∫x+sxμz，tdz.（5）

在第t年x岁的个体每年支付的普通终身年金的精算现值是x+t=∑∞s=0e-δsspx，t.x岁的第i个成员在t=0时刻加入GSA计划k年，领取的养老年金为kxB*i，t=kx*i，tx+t，k.

假设年金池不是封闭的，在任意时刻t都可能有新的参与者加入，则

B*t=∑k≤1∑x∑AtkxB*i，t，（6）

F*t=∑k≥1∑x∑Atkx*i，t.（7）

个人年金池余额和领取年金的递推公式表示为：

kxF*i，t=（k-1x*i，t-1-k-1xB*i，t-1）eδ.（8）

对于整个年金池F*t=*t.

在连续时间内领取的养老年金之间的关系由一个调整因子给出：

TEAt=F*t∑k≥1∑x1px+k-1x+t，t-1x+t，t∑AtkxF*i，t.（9）

TEAt是总调节因子.注意到TEAt不等于MEAt，它们分别为：

MEAt=F*t∑k≥1∑x1px+k-1∑AtkxF*i，t，

CEAt=x+t，t-1x+t，t.

这意味着CEAt 依赖于参与者所在的队列.对于如何将现实的生存信息转化为依赖于队列的永久性改善因子和独立于队列的波动因子MEAt需要主观的判断.队列的单一因子TEAt就可以避免主观判断的不确定性.通过整个队列共同承担系统长寿风险，如果每个队列在领取年金和收益波动方面都得到改善，那么共享原则使得整个年金池的成员都有益.

由下式计算参与者在多个队列中资金余额：

∑k≥1∑x∑Atkx*i，t=∑k≥1∑x∑Atkx*i，t-1x+t，t-1×TEAt×x+t，t=

∑k≥1∑x∑Atpx+k-1，t-1∑k≥1∑x∑AtksF*i，t-1px+k-1，t-1×F*t

kx*i，t-1=kxF*i，t-1px+k-1，t-1∑k≥1∑x∑AtkxF*i，t-1px+k-1，t-1×F*t.

（10）

这个表达式可以简单地解释为参与者继承的金额是年金池中可用总余额的一个加权分配，权重由kxF*i，t和px+k-1，t-1共同决定.领取的养老年金kxB*i，t可由（6）式得出，kxF*i，t可由（7）式得出.

实证分析

3.1数据的选取和处理

鉴于中国台湾地区与中国大陆有相同的文化传统和密切的经济往来，使得中国台湾地区人口死亡率数据对中国具有参考价值，所以选择中国台湾地区人口死亡率数据对中国大陆人口死亡率数据进行协整.中国台湾地区人口死亡率数据源于Human Life Table Database，中國大陆人口死亡率数据源于《中国人口统计年鉴》和《中国人口与就业统计年鉴》.为保持数据的一致性，将中国台湾地区原始人口死亡率数据的0岁和1～4岁合并为0～4岁，然后采取每五岁分为一组的方法，并将最高年龄组确定为90岁及以上，将死亡率数据按照年龄分为 0～4、5～9、…、84～89、90岁以上共19组，并将数据分为两部分：1997～2012年用来拟合模型，2013～2014用来验证模型.用R语言对上述内容进行实证分析.

3.2中国大陆与中国台湾地区参数比较

将1997～2012年的中国大陆和台湾地区男性人口死亡率数据代入矩阵ln mx（t） - αx ，利用奇异值分解法得到参数αx，βx和kt的估计值，分别如图1和图2所示.

参数αx表示x岁对数死亡率的平均水平.由图1可以看出αx随年龄的增长呈现出先降后增的趋势，体现出死亡率随年龄变化的趋势，并且中国台湾地区与中国大陆男性人口分年龄的死亡率趋势大致相同，即0～4岁死亡率平均水平较高，随后降低，10岁时附近达到最低，之后随年龄的增长αx也在不断增长.

参数βx表示各年龄组对死亡率变化的敏感程度.由图1可以看出，随着年龄的增加，βx基本呈下降趋势，低年龄组的βx值较高，说明其对死亡率的变化更加敏感；高年龄组的βx值趋于0，说明随着年龄的增加，各年龄组人口对死亡率的变化不再敏感.值得注意的是，中国大陆和中国台湾地区的βx值均出现了先减小后增加再减小的趋势，这符合各年龄段对死亡率水平指数的变化敏感程度.

参数kt反映了死亡率整体水平随时间的变化.由图2可以看出， kt随自然年份的增加逐年下降，这与现实中人口死亡率总体趋于下降的特征一致，并且中国台湾地区与中国大陆死亡时间因子kt序列具有长期稳定的变化趋势，说明二者可能存在协整关系.

3.3基于协整理论的中国大陆人口死亡率预测

鉴于中国部分年份数据缺失，人口死亡率数据严重不足，借鉴中国台湾地区对中国大陆人口死亡率时间序列kt协整的方法，采用LeeCarter模型结合Bell（1997）提出的另一种预测x（t）的方法，即

lnx（t）=lnx（tn）+x（t-tn）.（11）

对中国人口死亡率进行预测.

根据kt时间序列的特点和台湾男性人口死亡时间因子kt2的估计值，利用EG两步检验法进行协整检验，发现其残差序列为平稳序列，表明中国大陆和中国台湾地区死亡时间因子kt1，kt2具有协整关系，从而计算出中国大陆男性人口死亡时间因子kt1的预测值，代入式（11）得到中国大陆男性人口死亡率的预测值，然后将2013～2014年的实际数据与预测数据做对比，如图3所示.

由图3知，与协整模型相比，ARIMA模型预测的死亡率结果偏高，尤其是对65岁以上的人口数据，而利用协整理论模型使死亡率的预测更加准确.除个别年龄组死亡率的预测值与真实值有一些差距，其他数据均与真实值拟合较好.这说明利用中国台湾人口死亡率数据协整中国人口死亡率数据是可靠的.将死亡率继续外推，可以得到未来15年的中国大陆男性人口死亡率数据，如图4所示.

由图4不难看出，在同一日历年，随着年龄的增加，中国大陆男性人口的死亡率逐渐递增.自同一年龄组内，随着日历年的增加，死亡率整体上呈现出递减趋势，与死亡率逐年递减这一事实正好一致.综上，未来人口平均预期寿命呈现出不断增加的趋势，长寿风险日益严重.

3.4长寿风险度量结果分析

有了较为精准的死亡率预测结果就可以对长寿风险进行量化和管理.选取LCR流动性风险指标，确保保险公司持有的可变资产保持在一个合理的水平，防止出现短期流动性危机或支付危机.如图5所示，比较了生命年金和退休年金的长寿风险度量的相对指标.

从图5左侧可以得到，生命年金精算现值的长寿风险资本要求介于（-2）×10-4～5×10-4，而且随着年龄的增加，长寿风险度量的相对指标在降低，说明生命年金计划可以很好的抑制长寿风险.图5右侧是退休年金精算现值的长寿风险资本要求介于-1～1之间，由于高龄死亡率明显降低，退休年金精算现值增大，保险公司给付水平上升，长寿风险有上升的趋势.和生命年金中的长寿风险相比，退休年金的长寿风险度量的相对指标较高，不能有效的规避长寿风险.由于传统的精算定价方法假定死亡率是静态的，事实上死亡率是随时间变化的，具有动态不确定性，要解决死亡率降低所导致的长寿风险的度量问题，需要国家统筹制定类似生命年金的补充年金，使中国养老保险制度更加完善.

3.5GSA模型实证分析

鉴于中国保险公司养老产品面临日益严重的长寿风险，在LeeCarter模型预测出的男性人口死亡率的基础上，对GSA模型在中国大陆人口数据上进行实证分析.假定初始时刻为2018年，一群年龄为65岁的男性退休人员加入GSA计划，初始资金为10000元.利用3.3节预测的死亡率和2.3节的递推公式，用蒙特卡洛模拟来观察不同情况下参与者领取养老金的分布情况，然后选取每年领取的养老金金额的95%分位数、中位数和5%分位数进行分析.

图6分析了年金池大小对未来领取养老金的影响，但不考虑未来预期死亡率的改善. N=1时为个人自年金化，随着年龄的增加，领取的金额在逐年下降.这是由于N=1时，没有来自年金池其他成员的死亡率信用.当N=10时，领取金额的95%分位数在80岁左右出现上升趋势，这是由于年金池中人数较少，且一段时间内死亡人数比例较大时，根据GSA计划的资金分配原则，这段时间之后的存活者将会获得较大的死亡率信用分配.当N=100和1000时，领取的养老金额分布情况变得比较平滑，说明年金池中的成员越多，互助养老年金的分布情况越稳健.

改变假设条件，GSA计划是开放的，比较每年有1000个65岁的新成员加入和每5年有1000个65岁新成员加入领取养老年金金额的分布情况.由图7可以看出，这两种情况下的年金分布并没有明显差距，只是每年有1000名成员加入的情况比每5年有1000名成员加入领取的养老金额波动率略小一些，年金池中成员的数量随着时间的推移变得更加稳定.动态的年金池可以减少老年人领取的养老年金金额的波动性，这是因为当较年轻的新成员加入队列时，年金池中死亡的特异性波动将会减少.

4结论

目前中国人口老龄化来势汹汹，导致经营或管

理养老年金的政府机构、企业或保险公司财务负担不断加重，这使得控制长寿风险非常重要.由此基于协整理论，考虑了中国臺湾地区和中国大陆地区男性人口死亡率的长期均衡关系，克服了ARIMA模型预测的局限性，这为中国人口死亡率预测提供了新思路.利用LCR度量退休年金和生命年金长寿风险，发现退休年金的长寿风险日益严重.借鉴“唐提”（Tontion）年金理念，结合GSA模型得到养老年金金额的分布情况.数值分析结果表明，与普通年金相比，GSA模型将个体长寿风险与系统长寿风险的个体集中起来，不涉及付款担保，也不需要用昂贵的资金来支持再保险，是类似于生命年金的退休收入，且 GSA模型的消费者分担模式拥有较高的给付额，参与者可以根据自身的喜好更加灵活地选择年金结构和投资方式，是一种切实可行的针对个人账户资金的补充养老年金.

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