基于MFBM模型下带交易费和红利的两值期权定价

叶芳琴 刘文倩 林先伟

摘要假设预期收益率μ，红利率q，波动率σ，无风险利率r均为常数，通过平均自融资和Δ-对冲策略建立了离散时间下带交易费用和红利的两值期权定价模型.利用变量代换和偏微分方程的相关知识进行求解此模型，分别得到了在MFBM模型下带交易费用和红利的现金或无值看涨期权（CONC） 和资产或无值看涨期权（AONC）定价公式.并在此基础上，推出了现金或无值看跌期权（CONP）和资产或无值看跌期权（AONP）定价公式.

关键词金融学；两值期权定价；MFBM模型；交易成本

中图分类号F 830；O 211文献标识码A

Pricing Binary Option with Transaction Costs

and Dividends under the MFBM Model

Fangqin Yea，Wenqian Liub，Xianwei Linb

（a School of Business， b Department of Mathematics，

Shantou University， Shantou，Guangdong515063， China）

AbstractSupposing the dividends rate q， the expected return rate μ， and the volatility σ， the riskfree interest rate r are constant； the Binary option pricing model with transaction costs and dividends is established by a mean selffinancing delta-hedging strategy in a discrete time setting. Solving this pricing model by using variable substitution and partial differential equations， and then the pricing formula for CONC and AONC has been obtained. On the basis of it， the pricing formula for cashornothing put （CONP） and assetornothing put （AONP） is also obtained.

Key wordsfinance； binary option pricing； MFBM model； transaction costs

1引言

期权定价的研究在金融工程领域是一个重要的问题.自从Black和Scholes（1973）[1]提出了著名的 BS模型以来，相关学者在此基础上得到了一系列丰富的成果.然而经典的 BlackScholes模型过于理想化，与实际的金融市场存在很大程度的差距. Cheridito（2001）[2]建议用混合分数布朗运动去刻画金融资产价格的波动情况，并且证明了当Hurst指数H∈（3/4，1）的情况下，金融市场是不存在套利机会的.Yu和Yan（2008）[3]在混合分数布朗运动环境下讨论了欧式看涨期权的定价问题.Sun（2013）[4]得到了在混合分数布朗运动下货币期权的定價公式，并对相关参数和Hurst指数做了一定的讨论.交易费用对于期权的定价是一个很重要的影响因素，国内外相关的学者做了一系列的研究.Leland（1985）[5]创造性的提出了将波动率进行修正，解决了在 BS模型下含有交易费用的期权定价问题.Amster（2005）等[6]具体的给出了带交易费用的 BS定价模型.Liu等人（2013）[7]拓展了在分数布朗运动下带交易费用的期权定价问题，提供了一个非线性HoggardWhalleyWilmott方程的近似解.Wang（2010）[8]通过平均自融资和Δ对冲策略解决了在分数 BS模型下带交易费用的离散时间期权的定价问题.Zhang和Pan（2014）[9]给出了分数布朗运动模型下带交易费用和红利的亚式期权定价公式.陈飞跃等人（2014）[10]给出了混合分数布朗运动环境下支付连续红利的欧式股票期权定价公式.

两值期权（binary option）是一种新型的，由标准期权衍生出的一种金融合约，它属于合同条款变化型的新型期权.它在OTC市场颇为流行，是构造更为复杂期权产品的基础工具.Thavaneswaran 等（2013）[11]用模糊理论研究了两值期权的定价问题.孙天宇（2008）[12]考虑了在标准布朗运动环境下有交易费用和支付红利的情况下两值期权的定价问题.然而，在实际的金融市场中，标的资产价格过程未必服从标准的布朗运动.

在上述研究的基础上， 将标准布朗运动下带交易费用和红利的两值期权定价问题推广到Hurst指数为H∈（3/4，1）的混合分数布朗运动更一般的情况.假设标的资产服从混合分数布朗运动，预期收益率μ，红利率q，波动率σ，无风险利率r均为常数，通过平均自融资和Δ对冲策略建立了离散时间下带交易费用和红利的两值期权定价模型.利用变量代换和偏微分方程的相关知识进行求解此模型，分别得到了在MFBM模型下带交易费用和红利的现金或无值看涨期权（CONC） 和资产或无值看涨期权（AONC）定价公式.并在此基础上，推出了现金或无值看跌期权（CONP）和资产或无值看跌期权（AONP）定价公式.

2两值期权定价模型

两值期权（binary option）是合同条款变化而产生的新型期权，具有不连续收益的特点[14]. 一般分为两种类型：

（1） 现金或无值看涨期权（cashornothing call）（简写为CONC）： 在到期日，若股票价格低于执行价格，则期权价值为零；若大于执行价格，则按规定支付现金1元.

（2） 资产或无值看涨期权（assetornothing call）（简写为AONC）： 在到期日， 若股票价格低于执行价格， 则期权价值为零； 若大于执行价格， 则按规定支付股价.

定义1[4]假设（Ω，F，P） 是一个完备的概率空间，混合分数布朗运动MHt（α，β） 是布朗运动Bt和混合分数布朗运动BHt的一个线性组合，即

MHt（α，β）=αBt+βBHt，

其中α和β都是不为0的常数.混和分数布朗运动有如下性质：

（a） MHt（α，β）是一个中心的高斯过程， 且MH0（α，β）=0；

（b） MSt和MHt的协方差函数为

Cov（MHt，MSt）=α2min （t，S）+β22（t2H+S2H-t-S2H）；

（c）MHt（α，β）是一个平稳增量的过程， 且对任意H>0是混合自相似的；

（d） 当0

当0.5

引理1[10]假设BHt是一个带有Hurst指数H∈（0，1）的分数布朗运动，那么，对任意A>0，有

lim h→0sup 0

SymbolcB@ t

SymbolcB@ A-hBH（t+h）-BHthH2log （h/A）-1=1.a.s

现设（Ω，F，Ft，P） 是一个σ流的完备的概率空间. （Ft）t∈0，T是由（Bt，BHt）生成的σ流， P表示真实世界概率测度.为了简化计算，我们设α=β=1.考虑混合分数BlackScholes 市场有两种资产，设无风险债券价格Mt满足：

Mt=M0ert，

其中r表示无风险利率. 标的资产（假设为股票）价格St满足：

St=S0e（μ-q）t+σBt+σBHt，（1）

这里μ，q，σ分别表示预期收益率，红利率，波动率，它们都是常数，Bt是标准布朗运动，

BHt=BHt，t≥0是一个带有Hurst指数H∈（0.75，1）的分数布朗运动， Bt和BHt是相互独立的.

考虑标的资产需要支付红利，红利率为q，到期日为时间T，敲定价格为K，作以下假设：

（i） 假设标的资产（股票）价格St在时刻t满足（1）；

（ii） 对冲组合的预期收益率等于期权的预期收益率；

（iii） 每隔时间δt对投资组合进行一次修正，其中δt是有限的，固定的，小的时间间隔；

（iv） 有成比例交易成本，设k表示每单位标的资产价格的双向交易成本.假设以价格St买入（νt>0）或卖出（νt<0）vt份标的资产，那么买入或卖出的交易成本为k2νtSt，其中k为常数；

（v） 投资者之间不相互独立，他们之间可能存在羊群行为.

令V=V（St，t）表CONC（或AONC）在时刻t的价格，其边界条件为V=V（ST，T）=（ST-K）+.现在考虑一个带有Δ1（t）单位标的资产和Δ2（t）单位无风险债券的投资组合.在时刻t投资组合Πt的值为：Πt=Δ1（t）St+Δ2（t）Mt 随后考虑在经过时间间隔δt之后，股票价格St和投资组合Πt值的變化.由文献[8]，很容易推出在经过时间间隔δt之后，标的资产价格St变化的值为

δSt=（μ-q）Stδt+σSt[δBt+δBHt]+

St2σ2[δBt+δBHt]2+o（（δt）32log 1δt）. （2）

因此，

（δSt）2=σ2S2t（δBt+δBHt）2+

o（（δt）32log 1δt）.（3）

在经过时间间隔δt之后，投资组合Πt值的变化如下：

δΠt=Δ1（t）δSt+Δ2（t）δMt-

k2δΔ1（t）St-qΔ1（t）Stδt.（4）

这里δMt是无风险债券价格的变化，δΔ1（t）是资产组合中所持资产的数量的变化.

另一方面，由Taylor定理和引理1可知，

δMt=rMtδt+o（（δt）2）， （5）

δv（t，St）=V（t，St）tδt+V（t，St）StδSt+

122V（t，St）S2t（δSt）2+o（（δt32）log1δt）

（6）

和

δΔ1（t，St）=Δ1（t，St）tδt+Δ1（t，St）StδSt+

122Δ1（t，St）S2t（δSt）2+o（（δt32）log1δt）.（7）

由式（2），式（3）和式（7）可得

δΔ1（t）=St|Δ1（t）Stδt||σδBt+

σδBHt|+o（δt）.（8）

由式（4），式（5）和式（8）可得

δΠt=Δ1（t）δSt+rΔ2（t）Mtδt-

k2S2tΔ1（t）StδtσδBt+

σδBHt-qΔ1（t）Stδt+o（δt）. （9）

用投资组合Πt复制V=V（St，t），为减少套利机会且与经济均衡一致，期权的价值必须等于复制组合的值Πt，因此

V（t，St）=Δ1（t）St+Δ2（t）Mt

由假设（ii）和（v），式（6）和式（9），得到

E[δΠt-δV]=E[（Vt-rΔ2（t）Mt+

qΔ1（t）St）δt+（VSt-Δ1（t））δSt+

122VS2t（δSt）2+k2S2t|σδBt+σδBHt‖2VS2t|+

o（δt）]=（Vt-rΔ2（t）Mt+qΔ1（t）St）δt+

122VS2tE（δSt）2+k2S2tE[|σδBt+

σδBHt‖2VS2t|+o（δt）]=0.

取Δ1（t）=VSt，忽略高阶项可得

Vt+（r-q）StVSt+S2t2（σ2+σ2（δt）2H-1）2VS2t+k2S2t2π（σ2δt+σ2（δt）2H-2）|2VS2t|-rV=0.（10）

令Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2），则有

Vt+（r-q）StVSt+S2t2（σ2+σ2（δt）2H-1）2VS2t+σ22S2t|2VS2t|Le（H）-rV=0.（11）

将式（11）重写如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，（12）

其中

2=[σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H）sign（Γ）]. （13）

注1Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）称为混合分数Leland数.

注2 对于做空的单个欧式两值期权，也可以得到式（12），若修正波动率如下

2=[σ2+σ2（δt）2H-1-σ2Le（H）sign（Γ）].（14）

注3 对于做多的单个欧式两值期权，到期日的收益为（ST-K）+或 （K-ST）+. 由于它们是凸函数，所以Γ>0.然而，对于做空的单个欧式两值期权，到期日的收益为-（ST-K）+和-（K-ST）+.它们是凹函数，所以Γ=2VS2t<0 ，因此，对于单个的欧式两值期权，式（13）和式（14）能够做如下表示：

2=[σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H）].

（15）

从而得到MFBM模型下带交易费用和红利的两值期权定价模型如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，

Vt=T=H*（St-K）CONC；

StH*（St-K）AONC.（16）

这里H（ξ）是Heviside函数，如果ξ≥0，那么H（ξ）=1.否则，H（ξ）=0.

3两值期权定价公式

3.1现金或无值看涨期权

定理 1若假设（i）-（v）成立， 则在时刻t 现金或无值看涨期权的定价公式为：

VAC（St，t）=N（ln StK+（r-q-122）（T-t）2（T-t））exp -r（T-t）.

这里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

证明：由方程组（16）可以得到现金或无值看涨期权定价模型如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，Vt=T=H*（St-K）. （17）

令ξ=ln （StK），有

H*（ST-K）=H*（STK-1）=H*（eξ-1）=H*（ξ）.

因此，转化为Cauchy问题

Vt+1222Vξ2+（r-q-122）Vξ-rV=0，V（ξ，T）=H*（ξ）. （18）

為求解Cauchy问题，作函数变换W=Veβ（t），η=ξ+α（t），τ=γ（t）， 可得

Vξ=e-β（t）Wη

2Vξ2=e-β（t）2Wη2（19）

Vt=e-β（t）（Wτγ′（t）-β′（t）W+Wηα′（t））.

将式（19）代入方程组（18），得到

γ′（t）Wτ+1222Wη2+

（r-q-122）+α'（t）Wη-（r+β′（t））W=0（20）

在方程（20）中令r-q-122t+α′（t）=0，r+β′（t）=0，γ′（t）+122t=0.结合终值条件α（T）=β（T）=γ（T）=0，可得α（t）=（r-q-122）（T-t），β（t）=r（T-t），γ（t）=12σ2（T-t）.

因此，方程组（18） 转化为如下行形式：

Wτ=2Wη2，W（η，0）=H*（η）. （21）

方程组（21）的解可以用Poisson公式如下表示：

W（η，τ）=12πτ∫

SymboleB@ -

SymboleB@ exp -（η-y）24τH*（y）dy=

12πτ∫

SymboleB@ 0exp -（η-y）24τdy=

N（η2τ）.

经过变量代换，可得

VCC（St，t）=

N（ln StK+（r-q-122）（T-t）2（T-t））exp （-r（T-t））.

推论1若假设（i）-（v）成立，则在时刻t现金或无值看跌期权的定价公式为：

VCP（St，t）=

N（-ln StK+（r-q-122）（T-t）2（T-t））×

exp -r（T-t），

这里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），

Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

3.2资产或无值期权定价公式

定理2若假设（i）-（v）成立，则在时刻t资产或无值看跌期权的定价公式为：

VAC（St，t）=

StN（ln StK+（r-q+122）（T-t）2（T-t））×

exp

-q（T-t），

这里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），

Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

证明：由方程组（16）可以得到资产或无值看涨期权定价模型如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，Vt=T=StH*（St-K）.（22）

令VAC（St，t）=StU（St，t），则

U（ST，T）=1STVAC（ST，T）=VCC（ST，T）.

很容易得到U（St，t）满足下列方程：

Ut+122S2t2US2t+（r-q+2）StUSt-qU=0，U（ST，T）=H*（ST-K）. （23）

令 ξ=ln StK，因此转化为Cauchy 问题

Ut+1222Uξ2+（r-q+122）Uξ-qU=0，U（ξ，T）=H*（ξ）. （24）

为求解上述Cauchy 问题，作函数变换W=Ueβ（t），η=ξ+α（t），τ=γ（t）， 可得

γ′（t）Wτ+1222Wη2+

（r-q+122）+α′（t）Wη-（q+β′（t））W=0（25）

在方程（25）中令r-q+122+α′（t）=0，q+β′（t）=0，γ′（t）+122=0.并结合终值条件α（T）=β（T）=γ（T）=0，则有

α（t）=（r-q+122）（T-t），β（t）=q（T-t），

γ（t）=122（T-t）.从而可得

Wτ=2Wη2，W（η，0）=H*（η）. （26）

方程（26）的解可以用Poisson 公式如下表示：

W（η，τ）=N（η2τ）.

经过变量代换，得到

VAC（St，t）=

StN（ln StK+（r-q+122）（T-t）2（T-t））×

exp-q（T-t）.

推论2若假设（i）-（v）成立，则在时刻t资产或无值看跌期权的定价公式为：

VAP（St，t）=

StN（-ln StK+（r-q+122）（T-t）2（T-t））×

exp -q（T-t），

这里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

4结论

两值期权在OTC市场是一种比较流行的金融衍生产品，对其有效和准确的定价无论是理论上还是实践上都具有重要的意义.当预期收益率μ，无风险利率r，波动率σ为常数，利用无风险套利原则和混合分数Ito^公式，得到与之对应的数学模型.通过求解此模型给出了相应的CONC和AONC定价公式， 以及CONP和AONP定价公式. 解决了在混合分数布朗运动环境下带红利和交易费用的两值期权定价问题.对于两值期权定价，还有很多问题值得进一步研究.例如，将投资者情绪与异质信念因素引进研究此类问题.

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