“独立性检验的基本思想及其初步应用”教学设计（三）

姜本超

一、教学目标

知识与技能：了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关系作出明确判断；明确独立性检验的具体步骤，会对具体问题进行独立性检验.

过程与方法：让学生在具体问题中发现进行独立性检验的作用和必要性，会作频率分布条形图；介绍卡方检验，得出判断两个分类变量是否有关系的判定方法，并能准确给出判断的可靠程度；介绍独立性检验的综合应用和指导意义.

情感、态度与价值观：培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，明确数学在现实生活中的重要意义和价值，培养学生自主学习、独立探究、合作交流的机会，培养严谨的学习态度以及实事求是分析问题、解决问题的世界观，提高学生对数学的应用意识.

二、教学重、难点

独立性检验的原理和一般步骤.

三、教学方法、手段

多媒体辅助，分组合作.

四、教学设计

（一）分组合作，汇报成果

1.展示小组的实验报告（幻灯片）.

2.选一位小组成员对实验报告进行讲解.

设计意图：通过课下小组合作探究、自主学习，对本次数学实验进行汇报，得到初步判断两个分类变量的方法，体现“翻转课堂”的教学理念，体现以学生为主体的教学意识.

（二）分析不足，构建模型

构建模型：检验假设.

理论依据：类反证法.

数学方法：相互独立事件同时发生的概率.

问题解决：先假设H0：性别与喜欢数学没有关系.用A表示男同学，B表示有兴趣，则“性别与喜欢数学没有关系”等价于“性别与喜欢数学独立”，即P（AB）=P（A）P（B），推出ad≈bc，阐述其意义.

设计意图：分析不足，在高中范围内利用已学习过的知识，尤其是本章内容，构建新的数学模型，得到新的数字特征，进行新的判断和论证.

（三）构造变量，分析原理

K2，实际相对于理论的离散情况（类比方差），K2=，分析该随机变量的合理性.

设计意图：详细地阐述和证明了卡方公式的构造和化简过程，有理有据，不会让学生有突兀的感觉，显得非常自然亲切.

（四）应用举例，详解步骤

利用卡方检验对“性别和对数学有兴趣”进行判定.

通过对调查数据进行分析，分别对3、8、16、24班进行调查和整理数据，其中去掉了一部分极端数据，得到K2≈11.722，由临界值表得P（K2>10.828）=0.001，即在H0成立的情况下，这样的观测值的概率不超过0.001，由此判断“性别与对数学有兴趣”有关系，这种判断会犯错误，犯错误的概率不超过0.001.

一般步骤：

（1）假设H0：两个分类变量无关；（2）利用卡方公式计算K2的观测值k；（3）对应临界值表确定P（k>k0）； （4）下结论：①在犯错误的概率不超过P（k>k0）的情况下认为两者有关系，②有（1-P（k>k0））×100%的把握认为两个变量有关系.

设计意图：给出一般的解题步骤，严格规范书写，对重要的节点进行强调.

（五）抽丝剥茧，原理探究

设计意图：给出独立性检验的原理，追本溯源，类比反证法，寻找异同，体现数学逻辑的严密性和完整性.

（六）课上演练，模型应用（略）

（七）數学应用，思维导图

数学解决问题的一般过程：发现问题—提出问题—找到研究方法—形成研究思维形成解决问题的方案.

由特殊到一般，再由一般到特殊（发现定理和应用定理）.

思维导图：

设计意图：体现数学的思维过程，在学生脑中留下印象，做到“有图有真相”.

创新教学模式 打造以生为本的课堂

大庆实验中学 邵惠霞

“独立性检验”是统计学的一种检验方式，理论部分较难，涉及到很多大学数学的内容，凭高中学生的数学水平难以完成自主探究.但三位教师都以不同的方式让学生最大限度地参与到知识的获得过程中，很好地体现了以学生为主、以教师为辅的新课程理念，对“翻转课堂”进行了初步探索.

在引入环节，王老师借助贴近生活的俗语，激发了学生的学习欲望；何老师从真实法律案件出发，引导学生分析被告方申辩的主要论据，既与实际生活联系紧密，也强调了本节内容对生活的影响；姜老师则将学生对课前调查实验报告的阐述作为引入，锻炼了学生的表述和归纳能力，也让学生的主体地位从一开始就有所体现.三节课都充分体现了学习本节内容的必要性，体现了数学从生活中来又到生活中去的应用价值.

在K2公式的介绍环节，王老师首先指出K2是按照一定规则构造出的一个随机变量，接着选择了直接给出K2公式.但对于K2分布及临界值表的得出，则类比正态分布给出了解释，一方面接近学生的最近发展区，另一方面大大加深了学生对独立性检验这一理论的理解.将公式推导留为课后思考题，使学生能够对知识进行再认知.何老师结合列联表及事件的相互独立性的理论给出了K2=的完整的推导过程，详尽阐述了卡方统计量的由来，体现的是实际相对于理想状态下的平均离散程度，较好地实现了理论和概念的生成.姜老师首先提出卡方是统计学家们根据实际情况构造的一个量，通过类比数组方差公式，回归分析中的相关指数R2公式，再运用排列组合、概率公式、反证法等相关知识详细论证了卡方公式从无到有的过程，运用思维导图帮助学生梳理繁杂的运算过程.三位教师讲授分寸拿捏得当，既没有让学生感到公式是“凭空出现”的，也没有让学生觉得这部分理论太深，难以理解，更难得的是，基于学生的现有水平实现了分层教学.

一节课的效果取决于教师对课堂的把握，与教师自身的教学理念和教学习惯息息相关.王老师本节课运用了“实践—理论—再实践—再理论”的互动模式，实效性强；何老师把以往概念课学生被动接受的状况变为“探究—合作—交流”的方式，教学环节严谨，使学生对知识的认识与能力的提升同步进行；姜老师大胆放手，最大程度地把课堂交给了学生，注重知识间的广泛联系性，教学形象生动，使学生印象深刻.

既要引导学生探究知识的发生、发展过程，又要保证课堂内容的完整性，显然是对教师提出的更高要求.三位教师的教学都取得了预期效果.但对个别细节的处理还稍显仓促，例如，如果在课堂上能够给学生多一点时间和机会提出疑问并尝试解决，会让知识的获得过程更充实、更完美.对独立性检验思想的进一步理解和解题规范性方面的阐述应安排在下一课时，通过更多正面和反面的例子进行详细学习.

编辑/王一鸣 E-mail：51213148@qq.com