浅谈如何在高等代数教学中培养学生的创新思维能力

曾友芳　郑海艳

摘要：在对创新型人才需求大大增加的“互联网+”时代，大学教育比以往更重视创新型人才的培养。作为数学重要的核心基础课程，高等代数需要在教学过程中注重培养学生的创新思维能力。本文就此探讨了一些培养创新思维能力的方法。

关键词：高等代数；创新思维；能力培养

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）29-0196-03

2015年3月，李克强总理在政府工作报告中首次提出“互联网+”行动计划。2015年7月，国务院印发《关于积极推进“互联网+”行动的指导意见》。2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议指出：实施网络强国战略，实施“互联网+”行动计划，发展分享经济，实施国家大数据战略。自此，“互联网+”成为整个国家经济转型、创新驱动的一个重要工具和手段，我国进入到了“大众创业，万众创新”的时代。在“互联网+”时代，对创新创业型人才的需求大大增加，而大学就是培养创新人才的重要基地。

创新就需要有创新意识和行动的人才，而创新的人才需要创新的教育。创新教育是适应社会发展和时代要求的教育，是与时俱进的教育，它相对于传统教育来说是一种全新的思想和理念，是以培养创新精神、创新能力、创新意识、创新思维等为目的的教育[1]。大学期间，本科生将接触很多课程，每门课程都有相应的培养目标，通过学习而得到相应能力的提升。而高等代数作为一门大学数学核心且重要的基础课程，既具备数学严谨、灵活和简洁的特点，又具备计算题结构清晰步骤明确的特点，可以通过计算机及应用软件方便地操作实现，利于培养数学建模思想，符合创新人才的培养方向。通过“互联网+”时代对创新人才的需求来设计高等代数的教学改革，凸显高等代数为培养学生的创新思维能力所做的调整，实现教学内容的深度学习和实战能力的培养。

传统的高等代数教学总是根据教学内容和教学大纲来设计教案，教师讲授为主，用的是知识输入理念，为此，大部分学生总是被动地接受知识，没有主动的思考，渐渐地失去了兴趣，只有少数对数学有浓厚兴趣的学生主动通过学习去锻炼自己的创新思维能力。正如爱因斯坦所说：“结论几乎总是以完成的形式出现在读者面前，读者体验不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，也很难达到清楚地理解全部情况”。基于时代对创新人才培养的需求，很多学者已经做了这方面的探索[2-5]，笔者根据多年的教学改革经验，以高等代数经典教材[6]为参考，通过实例从四方面总结阐述如下。

一、温故而知新，类比迁移法

高等代数教材[6]的第2章是关于多项式的理论初步的，尤其以一元多项式为主。而在其间，涉及到多项式的整除性（带余除法）、最大公因式及如何表示成多项式的线性组合、互素、分解等概念，在第1章基本概念中介绍整数的一些整除性质的时候都有类似结果。显然，借助第1章关于整数的对应知识来帮助理解第2章的知识，起步就容易很多。不然，随后抽象的理论和严谨的证明，以及多项式的辗转相除法、在不同数域的分解等，这些较深的知识就会让学生望而却步，有了前面基础概念的铺垫，逐步加深到这些知识，学生就更易于接受。

从这里可以看到，要创新，先要有根基，有一定的理论和实践基础以及经验，然后再逐步推广到更深领域。通过高等代数中类似迁移法的学习，增强了学生们自学的能力和创新的信心。

二、敢于尝试多利用计算机软件解决问题

高等代数主要由多项式理论初步和线性代数基础组成。在以往的学习中，注意到线性代数部分有很多计算题是结构清晰而计算步骤明确的，对于这种类型，已经有多本书籍总结了如何使用MATLAB软件来快捷地计算。而其中，有些问题在未尝试前或按常规计算后，估计或发现用MATLAB算不了，这时候，究竟是放弃还是继续尝试？在课堂中，笔者常把此类问题留给学生课后去思考和解决，然后下次课堂上再继续讨论。比如计算带有字母的n阶行列式D，事实上，不赋值给n的时候并不能顺利地输出矩阵，进而无法计算行列式。即使n比较大，也可以通过命令计算，就算里面含有字母而不全是数字。例如：

例1. 计算带有字母的4阶矩阵A的行列式。

>> syms x y

>> A=[x x*y 0 0；1 x+y x*y 0；0 1 x+y x*y；0 0 1 x+y]

A =

[ x， x*y， 0， 0]

[ 1， x + y， x*y， 0]

[ 0， 1， x + y， x*y]

[ 0， 0， 1， x + y]

>> det（A）

ans =

x^4

例2. 计算赋值给n的行列式D，比如n=6。

>> n=6；

A=2*eye（n）；

for i=1：n-1

A（i+1，i）=-1；

A（i，i+1）=-1；

end

>> A

A =

2 -1 0 0 0 0

-1 2 -1 0 0 0

0 -1 2 -1 0 0

0 0 -1 2 -1 0

0 0 0 -1 2 -1

0 0 0 0 -1 2

>> D=det（A）

D =

7.0000

另一方面，注意到多項式理论初步的很多方法笔算比较繁琐，比如辗转相除法求最大公因式问题，此时若用MATLAB命令求解，就很快捷。其他类似的计算问题都可以多一些这样的思考。有了兴趣和实践，就能不断推进学生使用计算机解决高等代数中计算题的意识，从而有利于数学建模。在遇到问题、尝试解决问题的过程中，创新思维能力得到了培养和提升。

三、一题多解，融会贯通

在高等代数的练习中，无论证明题还是计算题，笔者都鼓励学生思考是否可以一题多解。尤其是遇到用课本上介绍的方法来做习题并不简单的时候。比如在讲授利用艾森斯坦判断法来判别整系数多项式在有理数域上不可约时，介绍了一种间接方法——换元法。教材[6]中以判断分圆多项式

f（x）=x■+x■+…+x+1（p是素数）

为例，采用x=y+1换元，得到关于y的整系数多项式g（y），此时利用艾森斯坦判断法可判别g（y）在有理数域上不可约，可证相应的f（x）也在有理数域上不可约。基于此，学生在做课后习题的时候，大都使用了这样的换元方式，但有个别学生突发奇想，考虑到既然是换元法，就可以采用其他更合适的换元方式。例如：

例3. 判断多项式f（x）=x■+x■+1在有理数域上是否可约。（教材[6]§2.8，习题1（iv））

此题若设x■=y，则可得g（y）=f（■）=y■+y+1，这是一个p=3的分圆多项式，因此g（y）在有理数域上不可约，从而可知f（x）=x■+x■+1在有理数域上也不可约。

此外，将其他数学课程的内容应用于高等代数的一题多解中，融会贯通。比如，将数学分析里学习的泰勒定理用于解决“将多项式f（x）表成（x-a）的多项式”这样的问题，在高等代数里，介绍的是反复利用综合除法。同时，学生还考虑到充分利用函数导数和特殊值来确定待定系数的方法。

通过这样的引导和讨论，学生的学习热情不断高涨，思维更加开阔，非常有益于创新思维能力的培养。

四、善于总结，勤于思考

在向量空间相关内容的学习过程中，有很多抽象概念和结论，但是，如果能够很好地进行整理和总结，并思考如何把内容之间的脉络理清，不失为打下扎实基础的很好的学习方式。同样，对于高等代数中的其他有关联的章节，都可以进行归纳总结。比如：从将一般的实二次型化为规范形到对称矩阵的对角化问题，其间包括了如何求方阵的特征值和特征向量，并可进一步判断二次型和对称矩阵的正定性。

善于总结，勤于思考，可以激发灵感，促进创新意识和养成喜欢创新的习惯，同时，不断积累的基础也使创新能力得到质的提高。

五、结束语

培养大学生的创新能力是落实素质教育、培养高质量应用型人才的重要体现。在“互联网+”时代，创新创业教育已成为大众化的高等教育创新发展的必然要求，是现代教育改革的趋势和高校未来发展的方向。但是培养人才不是一蹴而就的事情，需要多方面的努力。而高校学生更是通过各门课程的学习和参与实践来提高自己的知识水平、创新能力和实战能力。通过高等代数教学改革促进创新人才培养是值得探索的一条改革路线，笔者将与同行一道，为增强学生的创新意识和创新能力，提高他们的探索意识和兴趣，进一步探索改革的方法，以加深学生对数学知识的理解和扩大学生应用数学解决实际问题的创新能力。

参考文献：

[1]刘影，等.高校实践教学管理研究[M].长春：吉林文史出版社，2009.

[2]万金凤，冯琴荣.高等代数教学中学生创造性思维能力的培养[J].高等数学研究，2007，10（2）：49-51.

[3]赵静.高等代数教学中学生创造性思维培养的探索[J].黑龙江科技信息，2008，3：200.

[4]唐放明.高等代数教学中学生创造性思维能力培养研究[J].当代教育实践与教学研究，2015，（10）：51.

[5]布合力且木·阿不都热合木，热孜亚·热吉甫.高等代數教学中学生创造性思维能力的培养[J].数学学习与研究：教研版，2016，（5）：19-20.

[6]张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.