浅谈不等式证明中常用的放缩技巧

许国会　王涵　匡佳佳

【摘要】数列不等式证明是高考的重要题型，本文总结了一些常用的放缩技巧以及相应的例题以帮助学生进一步理解，包括裂项放缩、并项放缩、利用基本不等式放缩等.

【关键词】数列不等式；放缩技巧；高考

数列不等式证明是高考的重要题型，其中恰当放缩是解决不等式问题的重点也是难点所在.高考中常常将其作为压轴题的命题热点，这类题技巧性强，学生不易处理.本文总结了一些常用的放缩技巧以帮助学生快速解题.

一、裂项放缩

裂项放缩一般是针对通项是分式的数列，通过将分式拆分为两个分式之和或差，目的是通分化简为两个整式之和或差，以方便计算.

例1已知S=13+15+17+…+199，求S的整数部分.

解由题意可得一般项12n+1=22n+1+2n+1<22n+1+2n-1=2n+1-2n-1，

因此13+15+17+…+12n+1<（3-1）+（5-3）+（7-5）+…+（2n+1-2n-1）=2n+1-1.

又因为12n+1=22n+1+2n+1>22n+1+2n+3=2n+3-2n+1，

因此13+15+17+…+12n+1>（5-3）+（7-5）+…+（2n+3-2n+1）=2n+3-3.

综上所述，2n+3-3

即8.32≈101-3

所以，S的整数部分为8.

评注本题利用12n+1<22n+1+2n-1及12n+1>22n+1+2n+3放縮为某两项的差，逐项相消，得到S的取值范围，进而得到S的整数部分.

二、并项放缩

并项放缩则刚好与裂项放缩相反，观察数列的通项发现很难放缩，但将数列几项合并为一项后再放缩会更加简单，这一方法的关键在于如何恰当地重组.

例2已知数列{an}的通项公式为an=2n-（-1）n-1，求证n∈N+时，1a1+1a2+…+1a2n-1+1a2n<1.

证明由题意当k为正奇数时，1ak+1ak+1=12k+1+12k+1-1=3×2k22k+1+2k-1<32k+1.

当n∈N+时，1a1+1a2+…+1a2n-1+1a2n=1a1+1a2+1a3+1a4+…+1a2n-1+1a2n<322+324+…+322n=3×141-14n1-14=1-14n<1，得证.

评注本题若将两项合为一项再进行放缩，即证明当k为正奇数时，1ak+1ak+1<32k+1，此时不等式右边就是一个新的等比数列求和，进而得到结论.

三、利用基本不等式放缩

基本不等式本身就存在放缩，常用的基本不等式有a2+b2≥2ab，a+b≥2ab，ab+ba≥2（ab>0）等一些变形公式.对于一些结论中有相关不等式的证明不失为一种有效的方法.

例3已知an=5n-4，证明5amn-aman>1对任何正整数m，n都成立.

证明要证5amn-aman>1即证5amn>1+aman+2aman.

因为amn=5mn-4，aman=（5m-4）（5n-4）=25mn-20（m+n）+16，

即只需要证5（5mn-4）>1+25mn-20（m+n）+16+2aman，

即证明20m+20n-37>2aman.

因为2aman≤am+an=5m+5n-8<20m+20n-37，

故命题得证.

评注本题中用到的是a+b≥2ab，a，b为实数，且a=b时等号成立.