圆锥曲线互变性的研究

孔令钰

【摘要】本文以椭圆为例，探讨了椭圆在满足一定条件下转变为双曲线的情况，进而应用类比的办法对椭圆与双曲线、等轴双曲线与圆、抛物线与对顶抛物线的互变性进行了总结，得出了八个规律性质.

【关键词】椭圆；双曲线；抛物线

首先我们研究：A1A2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴，P1P2是与A1A2垂直的弦，则直线A1P1与A2P2的交点的轨迹是什么？

证明如图所示，设P1（acosθ，bsinθ），则P2（acosθ，-bsinθ），所以直线A1P1，A2P2的方程分别为y=bsinθacosθ+a·（x+a），y=-bsinθacosθ-a·（x-a）.

该两方程消去θ，即得直线A1P1与A2P2的交点的轨迹是x2a2-y2b2=1（a>b>0）.由此可得如下性质：

性质1若A1A2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴，P1P2是与A1A2垂直的弦，则直线A1P1与A2P2的交点的轨迹为x2a2-y2b2=1（a>b>0）.

运用类比的办法，我们可以总结出如下圆锥曲线互变性的性质：

性质2若A1A2是圆x2+y2=a2（a>0）在x轴上的直径，P1P2是与A1A2垂直的弦，则直线A1P1与A2P2的交点的轨迹为x2-y2=a2.

性质3若A1A2是等轴双曲线x2-y2=a2（a>0）的实轴，P1P2是与A1A2垂直的弦，则直线A1P1与A2P2的交點的轨迹为x2+y2=a2（a>0）.

性质4若A1A2是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的实轴，P1P2是与A1A2垂直的弦，则直线A1P1与A2P2的交点的轨迹为x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）.

性质5若A1是抛物线y2=2px（p>0）的顶点（另一个顶点A2在x轴上无穷远处），P1P2是与A1A2垂直的弦，则直线A1P1与A2P2的交点轨迹为y2=-2px（p>0）.

同理，若F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两焦点，P1P2是与F1F2垂直的弦，则可得出如下性质：

性质6若F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两焦点，P1P2是与F1F2垂直的弦，则直线P1F1与P2F2的交点的轨迹为x2c4a2-y2c2b2a2=1（a>b>0）.

由互变规律，对于双曲线、抛物线也有如下性质：

性质7若F1（-c，0），F2（c，0）为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两焦点，P1P2是与F1F2垂直的弦，则直线P1F1与P2F2的交点的轨迹为x2c4a2+y2c2b2a2=1（a>0，b>0）.

性质8若抛物线y2=2px（p>0）的焦点为FP2，0，P1P2是垂直于对称轴的弦，则过P1与x轴平行的直线和P2F的交点轨迹为y2=-2p（x-p）（p>0）.

我们通过对椭圆与双曲线、等轴双曲线（双曲线的特殊形式）与圆（椭圆的特殊形式）、抛物线与对顶抛物线在满足一定条件下的互变规律，探寻出解决这类问题的一种方法.

【参考文献】

[1]方青云.类比思想在数学学习中的重要作用[J].理科教学探索，2006（1）：46-47.

[2]张文红.圆锥曲线的对称问题[J].新课程研究（上旬刊），2007（9）：62-63.

[3]童先峰.“参数方程的意义”教学实录与反思[J].数学教学通讯，2015（30）：17-18.