抽象函数的解答策略

周惠

【摘要】抽象函数问题是高考考查热点之一，由于函数表现形式的抽象性，构思新颖且性质隐而不露，使得这类问题成为函数内容的一个难点.本文结合最近几年高考考查的内容，对该问题进行分类解析.

【关键词】抽象函数；高考；隐蔽；启发

抽象函数是指没有给出函数具体解析式或图像，仅给出了函数满足的一些特征.抽象函数问题涉及函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等诸多性质.高考中，抽象函数出现的频率逐渐加大，难度亦逐渐加强，由于抽象函数特点的隐蔽性，学生往往感到茫然，束手无策.本文以近年来高考中出现的抽象函数问题为载体，归纳总结抽象函数问题解答的特点和规律，希望对广大考生有所启发与帮助.

一、抽象函数的基本模型

f（x+y）=f（x）+f（y）f（x）=kx

f（x+y）=f（x）f（y）f（x）=ax

f（xy）=f（x）+f（y）f（x）=logax

f（xy）=f（x）f（y）f（x）=xn

f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）f（x）=sinx或f（x）=cosx

有了以上的模型，可以帮助我们定位特殊自变量的函数值，揭示抽象函数的相关性质，使我们心中有所“依靠”.

二、抽象函数试题选析

（一）单调性问题

例1已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x-1）

解析因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），故由f（2x-1）

（二）奇偶性问题

例2若定义在R上的函数f（x）满足：x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）.

A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数

C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数

解析∵x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，

∴令x1=x2=0，得f（0）=-1，

令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，

∴令f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，

∴令f（x）为奇函数，故选C项.

（三）周期问题

例3已知函数f（x）满足：f（1）=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），則f（2 010）=.

解析∵f（1）=14，

令x=1，y=1得4f（1）f（0）=f（1）+f（1），

∴f（0）=12，

令y=1得4f（x）f（0）=f（x+1）+f（x-1），

即f（x）=f（x+1）+f（x-1），

∴f（x+1）=f（x+2）+f（x），

∴f（x+2）=-f（x-1），

即f（x+3）=-f（x），

∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），

所以f（x）的周期为6，故f（2 010）=f（0）=12.

（四）方程思想类问题

例4函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图像关于x=-b2a对称，据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集不可能是（）.

A.{1，2}

B.{1，4}

C.{1，2，3，4}

D.{1，4，16，64}

解析方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0若有四个根x1，x2，x3，x4，则这四个根必可以分成两组，且每组关于直线x=-b2a对称，不妨设x1

（五）对称性问题

例5设函数y=f（x）对一切实数x都满足f（x+3）=f（3-x），且方程f（x）=0恰好有6个不同的实根，这6个根的和为（）.

A.18

B.12

C.9

D.0

解析函数y=f（x）对一切实数x都满足f（x+3）=f（3-x），则函数的图像关于x=3对称，又因为f（x）恰有6个不同的零点，则此6个零点构成三组关于x=3对称的点，由中点坐标公式可得出这6个零点的和为18.故选A.

以上列举了几类抽象函数的解题策略，但在实际解题过程中往往结合几种策略，不断地转换思维角度，和优化解题策略，尽可能使问题达到最优化、最简洁，通过对抽象函数的探究，深化函数思想的应用，增强学生分析问题和解决问题的能力.