几何画板在高中数学教学中的应用

张明春

【摘要】对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用.随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越受到重视.从国外引进的教育软件几何画板以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图像功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一.那么，几何画板在高中数学教学中有哪些应用呢？作为一名高中数学教师，笔者就此谈几点体会.

【关键词】曲线与方程；数形结合；追踪；轨迹

一、几何画板在高中代数教学中的应用

“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻画，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料.就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微.”函数的两种表达方式——解析式和图像，两者之间常常需要对照（如，研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图像之间的关系等）.为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图为主，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观地显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事半功倍的效果.

具体说来，可以用几何画板根据函数的解析式快速作出函数的图像，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图像，如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2，y=x3和y=x12的图像，比较各图像的形状和位置，归纳幂函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图像，当参数变化时函数图像也相应地变化，如，在讲函数y=Asin（ωx+φ）的图像时，传统教学只能将A，ω，φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图像之间的关系；

利用几何画板则可以以线段b，T的长度和A点到x轴的距离为参数作图（如图1所示），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性.

几何画板在高中代数的其他方面也有很多用途.例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不等式a+b≥2ab（a，b∈R+）等；再比如，讲解数列的极限的概念时，作出数列an=10-n的图形（即作出一个由离散点组成的函数图像），观察曲线的变化趋势，并利用几何画板的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念.

二、几何画板在立体几何教学中的应用

立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质.从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃.如，两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等.这样一来，学生不得不根据“歪曲真相”的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难.而应用几何画板将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形.这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥.

像在讲二面角的定义时（如图2所示），当拖动点A时，点A所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的直观的变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力；在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图3所示），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图4所示），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力；在用祖暅原理推导球的体积时，运用动画和轨迹功能作图5，当拖动点O时，平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地变动，直观美丽的画面在学生学得知识的同时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围.

三、几何画板在平面解析几何教学中的应用

平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论.而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式做运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的.这样，几何画板又以其极强的运算功能和图形图像功能在解析几何的教与学中大显身手.如，它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系.

具体地说，比如，在讲平行直线系y=x+b或中心直线系y=kx+2时，如图6所示，分别拖动图（1）中的點A和图（2）中的点B时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直线（不包括y轴）.再比如，在讲椭圆的定义时，可以由“到两定点F1，F2的距离之和为定值的点的轨迹”入手——如图7所示，令线段AB的长为“定值”，在线段AB上取一点E，分别以F1为圆心、AE的长为半径和以F2为圆心、AE的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求.先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，教师演示，如图7（1）所示，学生豁然开朗：“原来是椭圆”.这时教师用鼠标拖动点B（即改变线段AB的长），使得|AB|=|F1F2|，如图7（2）所示，满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，学生开始谨慎起来并认真思索，不难得出图7（3）所示（|AB|<|F1F2|时）的情形.经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性.

综上所述，使用几何画板进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解，而是能够更有实感地去把握.这样，既能激发学生的情感、培养学生的兴趣，又能大大提高课堂效率.

【参考文献】

[1]朱俊杰，缪亮，周传高.几何画板课件制作百例[M].北京：清华大学出版社，2005.

[2]魏志雄，王豫黔.几何画板数学课件制作实例教程[M].北京：人民邮电出版社，2006.