模式识别在一些数学问题解决中的应用

周平

摘 要：在学习数学的解题过程中，将积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式。它通常以简化的形式表达出来，而当遇到一个新问题时，须辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已经解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略。

关键词：数学问题；模式识别；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）13-084-1

問题解决中的模式识别有两个方面的含义，一方面是“适用模式”的甄别，另一方面是“应用模式”的确定。所谓“适用模式”的甄别是为了保证问题解决的“正确”；“应用模式”的确定是为了问题解决的“优化”，显然前者对于问题解决是至关重要的。

问题1 某人出生于公元2000年，那么到公元2010年过生日时，他的年龄是多少岁？

大家都知道这个问题的解答为2010-2000=10（岁）。

问题2 从本月10号到本月20号共有多少天？

如果不假思索，很容易套用问题1的计算方法得出错误的答案为：20-10=10（天）。

正确的解答应该为20-10+1=11（天）。

为什么看似相同的问题，计算方法却不一样呢？这可以借助模式建构的想法来理解。如果把两个问题的数据放在数轴上看，问题1实际上求的是“点数”，而问题2求的是“线数（距离）”。二者对应的模式是不同的。

因此，甄别“适用模式”的一个主要内容就是区分“貌合神离”。不能只看表面的相同与不同，而要看到问题的本质。

问题3 两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。两人的速度分别为每分钟100米和80米。结果两人在距甲、乙两地中点40米的地方相遇。求甲、乙两地的距离。

这是笔者一个好朋友读小学五年级的儿子不会做此题问他，他也不能轻易用小学生能解决的方法做出然后就问我的。本题是有点棘手，因为本题初看起来属于“相遇问题”的模式，但是用相遇问题的思路求甲、乙两地的距离，除了已知两人的速度之外，还需要知道从出发到相遇所用的时间，题目中并没有这个条件。但如果细想一下，可以发现从甲地出发的人比从乙地出发的人共多行了40米的2倍，因此就可以利用“追及问题”的模式求出两人从出发到相遇所用的时间为40×2÷（100-80）=4（分钟），这时就可以求出甲、乙两地之间的距离为（100+80）×4=720（米）。表面看起来不属于“追及问题”的模式，而实际数量就是追及问题的数量关系，而尽快发现这种数量关系与追及问题的模式联系起来就是解决这道题目的关键。这就要求对追及问题的模式有清晰地理解。解决追及问题的基本公式为：追及距离=速度差×时间

其中“速度差”是单位时间（一秒钟、一分钟、一小时）内快行者比慢行者多行的距离，而“追及距离”是在相同时间内快行者比慢行者多行的距离，不能仅仅把这个距离理解是“追上的距离”。当然更不能以“相向而行”和“通向而行”这样的表面现象来描述问题的模式。

总之，适用于同一问题的方法模式可以是多种多样的，自然就有优劣之分。解决本题适用的方法实际上是“为求是什么，先求可能是什么”，这一模式显然优于“解方程”。数学教育应偏重于模式建构的“过程”，而不仅仅是“结果”的记忆与应用。