基于Tukey法改进时间序列平稳性检验的分段检验法

蔡林芝，吕王勇

（四川师范大学 数学与软件科学学院，成都 610068）

0 引言

常用的时间序列平稳性检验方法可分为时序图判断法[1,2]、自相关系数检验法[3-5]、分段检验法[1]、游程检验法[6,7]四种。时序图法与自相关系数法都是根据图形特征来判定序列平稳性，有一定的主观性[1]，而游程检验法和分段检验法都采用假设检验，可信度高。分段检验先对序列分段，再分别对段与段之间均值与协方差函数是否相等进行假设检验，若有一个假设不成立则原时间序列就为非平稳的。需要进行多个假设检验，若每一个检验犯第一类错误的概率为α，则各段均值与自协方差函数都相等的假设累计犯第一类错误的概率均会超过α，即由于样本的随机性会使得各段序列均值与自协方差函数被误判为不全相等的概率均会超过α，从而使平稳时间序列被误判为非平稳的概率增大，降低了分段检验的可信度。

Tukey于1951年提出的Tukey法[8]是解决多个水平均值中两两均值相等的检验同时发生概率低的有效方法，构造一个t化极差统计量，将其犯第一类错误的概率控制在α以内。本文基于Tukey法，在均值与自协方差函数两两比较中各构造一个t化极差检验，分别给定检验临界值，比较t化极差统计量与其相应临界值的大小；若小于相应的临界值，则认为各段均值间或自协方差函数间无显著性差异，将其犯第一类错误的概率均控制在α以内，即由于样本的随机性使得各段序列均值与自协方差函数被误判为不全相等的概率控制在α以内，降低了序列被误判为非平稳的概率，提高了时间序列分段检验的有效性。

1 经典的分段检验理论

通常将按照时间顺序排列的随机序列 X1，X2，...，XN称为一个时间序列，简记为{Xt，t∈T}。对每个给定的时刻t，Xt是一个随机变量。若时间序列{Xt}的二阶矩存在，且满足：

①对∀t∈T，EXt=μ；

②对∀t，s∈T，E(Xt-μ)(Xs-μ)=γt-s=γτ，

就称{Xt}为平稳时间序列，其中τ=t-s为时间间隔，γτ为{Xt}的间隔为τ的自协方差函数。若{Xt}为平稳序列，将其等分为k段，则每段也应平稳，且段与段之间的均值、自协方差函数也相等。用 μ(i)，，i=1，2，...k 分别表示第i段的总体均值与间隔为τ的自协方差函数，则有：

现用分段检验的方法检验长度为N的时间序列的平稳性，将其均分成长度为M的k个子序列，则N=M·k。若每个子序列服从正态分布或近似服从正态分布，用随机变量 X(i)，i=1，2，...，k 表示子序列总体，则有 X（i)～N(μ(i)，σ)，其中 σ为第i段总体方差。检验任意两段均值与自协方差函数是否有显著差异，若其均无明显差异，则认为总体序列是平稳的；若至少有一组存在显著性差异，则认为是非平稳的。由此，需以显著性水平α分别检验C组两两均值以及C组两两自协方差函数是否相等[9,10]，至少有一组存在显著差异的概率均为1-(1-α。故当k＞2时，两两均值检验，两两协方差函数检验犯第一类错误的概率均会超过水平α，且随着k增加，会使得其犯第一类错误的概率均大大增加，检验的有效性低。本文基于Tukey法在均值与自协方差函数两两比较中各构造一个t化极差统计量，使得分段检验中各段均值都相等与自协方差函数都相等的假设累计犯第一类错误的概率均控制在α以内，降低了序列被误判为非平稳的概率，提高了时间序列分段检验的有效性。

2 基于Tukey法的总体均值两两检验

设样本序列 x1，x2，...，xN为时间序列 X1，X2，...，XN的一次观测，将其均分成长度为M的k个子序列，分段后样本子序列可表示为为正态或近似正态总体的样本。对于这k个子序列，分别计算它们的样本均值与样本自协方差函数如下：

分别检验第i段与第z段(1≤i＜z≤k)总体均值是否相等，构成了一个多重比较，即以显著性水平α分别检验如

其中：

为σ2的无偏估计。则检验问题在水平α下的接受域为：

故有：

因此：

是自由度为k，N-k的t化极差分布[12,13]，当取定P(W|都成立)=α时，为t化极差分布的右侧α分位数 q1-α(k，N-k)，可由t化极差分布表查得。此时，检验问题在水平α下的接受域为：

因此，本文基于Tukey法构造的一个t化极差检验，将各段均值都相等的假设累计犯第一类错误的概率控制在α内，降低了序列均值被误判为不全相等的概率，提高了时间序列分段检验的有效性。

3 基于Tukey法的总体自协方差函数的两两检验

当 τ=0，1，...，M-1 时，分别检验第 i段与第 z 段(1≤i＜z≤k)总体自协方差是否相等，则对∀τ=0，1，...，M-1都将进行C次两两自协方差检验。由中心极限定理知随机变量，此时对第 i段与第z段总体自协方差函数是否相等的假设检验如下：

其中：

ρτ为总体自相关系数，s为σ的无偏估计。则检验问题H(τ)在水平α下的接受域为：

其中，cτ应在都成立)确定。

其中：

因此，本文基于Tukey法构造的t化极差检验，将各段自协方差函数都相等的假设累计犯第一类错误的概率控制在α内，降低了序列自协方差函数被误判为不全相等的概率，提高了时间序列分段检验的有效性。

4 总结

分段检验是研究时间序列平稳性的常用方法，传统的分段检验理论会使平稳时间序列被误判为非平稳的概率增大，有效性低。本文基于Tukey法在各段均值与自协方差函数相等的检验中各构造了一个t化极差统计量，减少了检验犯第一类错误的概率，从而降低了平稳序列被误判为非平稳的概率，提高了时间序列平稳性检验的分段检验方法的有效性。