大工程背景下系统与“分形”式教学法的研究与实践

熊红彦 李海宝

摘 要：本文针对工科基础课教学面临的学时少、内容多、学生学习难度大等问题，创造性地将分形理论的思想运用于教学改革，提出了一种全新教学方法——系统与“分形”式教学法，并对该教学法的思想基础、实施细则、实施成效三方面内容进行了介绍。

关键词：分形理论；系统与“分形”式教学法；自相似；仿射

分形理论（Fractal Theory）是非线性科学的重要分支和前沿，也是一门新兴的横断学科，最早由美籍数学家本华·曼德博（B. B. Mandelbrot）提出[1]。分形理论用于教育教学研究是一种广义的分形。系统与“分形”式教学法是笔者立足于大工程背景下高等教育内涵式建设，针对高等数学、大学物理、材料力学等工科基础课程所面临的学时少、内容多、学生学习难度大，与新工科建设要求不相适应的现实状况，创造性地将分形理论的思想运用于教学改革而提出的一种全新教学方法。

一、系统与“分形”式教学法的基本思想

以分形理论的视角来审视教育活动，可以发现在教育教学领域中，广义分形是普遍存在的，如不同专业的人才培养定位、课程体系设置、教学质量评价等，不同课程的基本要求、教学方法、内容体系等，同一门课程中不同内容的逻辑体系、归纳推理、思想方法等，均不同程度存在自相似性或自仿射性。显然，以广义分形理论的视角来重新审视教育科学研究领域中不同研究对象间所存在的相似性，具有重要的实践价值。

系统与“分形”式教学法，就是把分形的概念和思想抽象为一种教学方法论。它的内容主要包括以下两点：

第一，借助自相似的分形概念和叶脉、树杈、雪花等分形图形，从复杂的理论、内容中发现内部所蕴涵的规律。

第二，以课程知识体系结构的部分和整体之间的自相似性或自仿射性为切入点，将复杂的理论、内容整合成一个“系统”，通过认识知识体系的部分来反映和认识知识体系的整体，以及通过认识整体来把握和深化对部分的认识。这些“系统”既包括内容体系，也包括基本概念、定理定律、物理意义，还包括思想方法、逻辑推理等诸多方面。

系统与“分形”教学方法的核心思想是：从知识体系结构入手，借助自相似的分形概念和树杈、叶脉、雪花等分形图形，通过分析与对比，找出教学内容体系局部与整体、同一整体的不同局部之间所存在的相似性关联，构建起以知识点为核心的知识“系统”。教师通过恰当的情景创设、问题转换等途径，引导学生探寻普适性方法与规律，从相似性视角来学习新“系统”，完成由此及彼的仿射。

这种教学方法，有助于学生系统性、整体性的思考问题，在相对较少的时间里就能够掌握新知识，避免教师单向灌输，实现从单一传授知识向传授知识、思想、方法三者并重转变。

二、教学的原则与实施

以理工科重要的公共基础课——高等数学、大学物理、材料力学为例。该类课程中存在许多体系结构相似、理论内容相关联的教学章节。然而，传统教学中多采用孤立的、单独的讲授方式，这一方面不利于学生对知识形成关联性和系統性的认识，另一方面，在“大工程”和“新工科”顶层教学改革的持续推进，以及信息技术与传统教学深度融合的背景下，理工科基础课知识的丰富性与课时有限性的矛盾更加突出。系统与“分形”式教学法能够有效地解决上述问题，下面介绍该教学法的具体运用。

1.教学设计原则

开展系统与“分形”式教学，首先要注重教学内容的科学性。要以科学研究的基本阶段和知识体系的综合为主线，结合高等数学、大学物理、材料力学基础课程的教学内容确定一些小而精的选题。其次是教学内容的基础性，在教学过程中对高等数学、大学物理、理论力学、材料力学的知识应用进行深入的分析和体会，不仅给学生打下良好的知识功底，也使学生掌握针对工程实际进行分析问题、解决问题的一般规律和手段。另外，还要注重广博性，数、理、力基础课程蕴涵的科学思想和研究方法对其他学科具有指导性，调动学生学习的积极性和主动性，不断地发展和完善学生的综合能力。

2.教学实施原则

首先，认真挖掘课程内部所蕴涵的规律，总结大学物理、高等数学、材料力学等课程的知识体系、结构及其特征，以及存在的自相似性或自仿射性，将其整合为一个总的“系统”。以大学物理课程为例，构成大学物理课程的核心内容是力学、热学、电磁学、光学、量子物理基础，这五个部分尽管各自独立，但课程整体与部分之间又存在着某些相似的知识体系结构。我们把它整合成一个总的“系统”，其分形图形为分形树结构，包含力学、热学、电磁学、光学、量子物理基础五个部分（局部）。课程中每个枝条（局部）都按计算模型的建立、理论公式的推导、相关公式的内部关系、综合分析、理论与实际的结合[2]等五块核心内容来研究，整体上研究思路是相似的。

其次，围绕核心内容，按知识点分成五个精细结构，即结构分形。

（1）概念与模型。总结归纳围绕核心知识点的基本概念、抽象模型。

（2）对象与规律。以大学物理课程为例，围绕最基本的三个对象展开，即物质、能量、物质与能量的相互作用，总结归纳物质自身属性以及作用规律。

（3）思想与方法。努力寻找在不同的“系

统”间可以共享的思想、方法，特别是一些概念或定义的引入和应用。

（4）计算方法与步骤。努力寻找在不同的“系统”间计算方法、解决问题思想的相似性，总结解决问题的一般步骤。

（5）工程应用与拓展。围绕“大工程”进行教学内容的准备，强调学习内容与工程应用的紧密联系，积极寻找和开发与核心知识点紧密联系的工程应用案例或素材。

为实现“系统”的有效整合，针对每个（存在自相似性或自仿射性的）精细结构，还可以将相关内容整合成若干个小“系统”，进行局部专题式研讨，要求教师深入挖掘教材的核心内容体系，特别是在概念模型的建立、思想方法的挖掘、工程与应用结合案例等方面匠心设计，形成可用于实践的若干示范案例。

经过数轮教学循环，不断加强“系统”的设计开发力度，日益丰富教学资源，为系统与“分形”式教学提供坚实支撑。

3.教学实施

系统与“分形”式教学应引导学生从相似性视角，对所学知识形成系统性和关联性认识。在课堂教学中，教师围绕核心知识点，针对每个存在自相似性或自仿射性的内容，按“系统”进行强化引导，完成知识传授。教师应该重点关注预期获得的思想、知识、方法、技能等，通过各种教学手段，引导学生从相似性视角来学习新“内容”，完成由此及彼的自“仿射”。

例如，教师在讲授大学物理课程有关静电场内容时，可以与重力场相联系，引出：重力场是保守场，静电场是否也是保守场？重力场对质子做功与静电场对电荷做功问题是否相同？等等。教师通过设计这样一些具有相似性，同时有一定探索性、开放性的问题供学生思考与讨论，有助于对知识形成关联性和系统性的认识。

又如，针对大学物理课程中刚体运动学、动力学的学习难点，教师完全可以借助于质点运动学、动力学的规律与概念进行讲解，降解学习难度：借助力是物体平动的原因，引导学生去理解力矩是物体转动的原因；借助质量去理解转动惯量，由牛顿第二定律去理解转动定律，完成仿射。

高等数学积分学内容是一个典型的具有分形结构的教学体系。积分学主要内容包括不定积分、定积分、重积分、曲线积分和曲面积分等。与分形树类似，在积分学教学内容这一分形树干上有若干枝条，如重积分、曲线积分等，各枝条上具有相似的小枝条——积分方法。每个小枝条（局部）都包含理论公式的推导、相关公式的内部关系、综合分析、理论与实际的结合等核心内容，在思路上是相似的。

这种自“仿射”，具有夯实基础、强化理解、提高自我学习能力，提高学习效率的作用。

为了突出“大工程”教育背景，我们以系统与“分形”式教学法为指导，在传统教学中融入工程教育，通过信息技术手段，按照“工程—理论—工程”模式，为核心知识点构建工程教育情境。我们将每个“系统”所对应的核心知识点与某个或某几个工程案例背后的理论相联系，从工程中引入，最后再回归工程。学生通过一个“系统”的学习，能够初步理顺“工程—理论—工程”的学习与认知规律。這样，在面对一个新的“系统”学习时，通过教师的引导，就能够完成认知、学习的“仿射”。

三、实施系统与“分形”式教学法的成效

系统与“分形”式教学法提高了教师的教学效率和学生的学习效率，解决了理工科基础课知识的丰富性与课时有限性的矛盾。教师通过认真做好知识体系的重构工作，节省了大量过去在传统教学中讲授思想相同的不同知识点而花费的时间，使教师可以将更多精力投放到教学内容的深度挖掘和融合设计环节上，在教学中更加注重思想方法的传授。学生通过一个完整的“系统”学习所获得的思想、方法可以仿射到具有相似性的新知识“系统”中，使学生节省了大量的重复学习的时间，从而将更多精力投入到拓展工程视野和按需学习活动中，更加注重思想方法的学习。

系统与“分形”式教学法从多层面、多视角、多维度去认识教学内容之间的关联方式，使我们的教育思维方式发散开来，由线性阶段进展到了非线性阶段。一方面提高了教学效率，促进了教师教学技能的提升；另一方面，以学生为中心，注重引导学生掌握科学的学习方法、思维方法和研究方法，注重培养学生自我获取知识的能力、终身学习的能力。同时，促进了信息技术与传统课程的紧密融合，提升了大工程背景下基础课程的教学质量。

参考文献：

[1] Deng Y， Chen M， Jin Y， et al. Theoretical analysis and experimental research on the energy dissipation of rock crushing based on fractal theory[J]. Journal of Natural Gas Science & Engineering， 2016（33）：231-239.

[2] 熊红彦，陈建涛，刘志军. 工科基础课教学法改革的探索[J]. 河北建筑科技学院学报（社科版），2005（2）：74-75.

[本研究前期的阶段成果曾获2017年河北省教学成果一等奖]

[责任编辑：夏鲁惠]