分形理论在地貌学的应用研究进展与展望

张桐

摘要：分形理论是从研究不规则客观事物中孕育而生的，成为了复杂系统研究和非线性科学的重要组成部分，在各个学科均有广泛的运用。在地貌学研究中，分形理论的应用也取得了显著的成果；本文在搜集大量文献的基础上，从分形理论在地貌学的意义，分形理论在地貌学中的应用研究相关进展，分形计算方法，三个方面进行总结，并针对在应用现状提出建议与展望，建议在地貌研究过程中探讨研究尺度对分形维数的影响，在实践中将分形理论与小波分析等其它理论进行综合，以分形数值模拟模型的研究进行深入探讨，对多种地貌过程及其动力机制进行模型模拟。

Abstract： Fractal theory is bred from the study of irregular objects， and has become an important part of complex system research and nonlinear science， and has been widely used in various disciplines. In the geomorphology research， the application of fractal theory has also made remarkable achievements； on the basis of collecting a large number of documents， this paper summarizes the significance of fractal theory in geomorphology， the related progress of the application of fractal theory in geomorphology， the fractal calculation method， and puts forward the construction in view of the shortcomings in the application. It is suggested that the influence of research scale on fractal dimension should be discussed in the process of geomorphological study. In practice， the fractal theory and other theories such as wavelet analysis should be integrated to study the fractal numerical simulation model and to simulate the various geomorphologic processes and their dynamic mechanisms.

关键词：分形理论；地貌学；研究进展；分形维数

Key words： fractal theory；geomorphology；research progress；fractal dimension

中圖分类号：P931 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）33-0279-05

0 引言

分形理论是由美籍数学家曼德布罗特首先提出的，曼德布罗特在研究英国海岸线的长度问题时，将统计自相似与分数维度引入到该问题的研究中，从而得出了分形的概念，他将分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合；直到今天，分形本身也没有完整的严格定义，但是，公认把它看成是具有下面性质的集合F的：①F具有精细的结构，即在任意小的比例下，都可呈现出更加精致的细节；②F是如此的不规则，以至于它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；③F通常有某种自相似的形式；可能是近似的或是统计意义下相似的；④在大多数令人感兴趣的情形下，F能用非常简单的方法产生出（例如用迭代法）；⑤F的大小不能用通常的测度（例如长度、面积等）来度量[1]。

分形理论自诞生之后便在各个学科得到了广泛的应用，从物理学，材料学，动物学，经济学图像技术各个方面都取得了丰硕的成果，在地学领域，地质学和地震学以及气象学方面也将分形理论应用在研究中，成秋明提出了多重分形现代成矿预测理论与模型，应用到成矿预测和化探分析研究中，取得良好的效果；石峰，何宏林等研究了二维分形参数与构造活动关系，发现分维值能在一定程度上反映构造活动的强弱[2]；张庆莲等研究了塔里木西北缘的构造裂隙的分数维D值，发现分数维越大，构造裂隙分布越均匀，各向异性较强[3]；薛天放，杨庆等利用GIS技术，引用变换分形对滑坡空间分布的分形特征进行研究，得出了滑坡与坡度、岩性、土地利用类型均成二阶累计和分形分布[4]；潘蔚利用多重分形对遥感图像地形结构-岩性组分分解的特征研究发现多重分形谱可以有效地区分岩石类型[5]；陈颙院士在1994年刊登了<分形几何与地球科学>系列讲义，陈颙院士将分形理论与地球科学各领域的研究进行综合分析和介绍，并提出了分形的计算可信度，数学描述的严谨性，分形重构的三个分形研究重大问题，陈颙院士对于分形研究与地球科学的分析直至今天仍然有很强的指导意义。综上可知，在地学领域内，分形理论对于地学研究的特征定量化和分析预测上取得了丰富的成果，而在与分形联系最为直接的地貌学中分形理论也成为了重要的分析工具，并被视为地貌定量化研究的有效手段。

1 分形理论的地貌学意义

地貌具有典型的分形特征，不规则，具有精细的结构，对于地貌的测量和刻画会随着尺度的变化其物理量也随之变化，所以地貌是典型的多尺度系统，分形理论作为描述多尺度系统的有效工具，自然也在地貌学中得到广泛应用。分形理论在地貌学研究中的作用大致可分为四个类型：①描述地貌形态特征，以分维作为地貌的阶段性、区域性、类型等划分的指标；②以分形理论来进行地貌发育的内、外动力因素特征的描述；③以分形理论来建立地貌模型，首先是以分形法则进行一般地貌景观形态的数学生成，进而将这种地貌生成的分形数学法则运用于地貌发育演化机制的模拟，即由形态模型发展至过程模型；④以分形方法来描述地貌事件的时序特征[6]。

2 分形理论在地貌学中的应用研究进展

我国学者将分形理论与地貌学结合的应用从上世纪90年代便如火如荼地展开；张捷，包浩生在分形地貌学研究综述及展望中提出了分形地貌研究的五个问题：①地貌分形段特征的内在成因机制研究；②地貌分维值与地貌过程的关系研究；③地形分形的尺度范围（即无标度区间）与主要地貌过程的尺度范围的关系；④分形地貌模型研究的深化；⑤地貌现象中的时间和空间分形规律应用于地貌过程的预测的可行性研究[6]。在这五个问题中近些年的分形地貌方面的研究主要集中第一和第二个问题上，即通过分形维数的计算探讨其地貌学方面的意义，改变计算方法探讨地貌分维值的变化问题。

2.1 分形地貌的机制研究

机制问题的突破和完善是一种科学方法能够较快推广的基础，因此在早期的研究中，地貌分形的成因机制成为热点。在分形地貌的内在机制研究中，地貌发育与分维值的关系更是成为了重点。胡章喜，沈继方研究了岩溶形态系统的分形特征，发现岩溶形态系统具有广泛的分形特征，认为地表岩溶峰体形态的分维与岩溶发育控制条件之间存在有机联系，并提出分维是建立岩溶形态与发育条件联系的桥梁[7]；李后强，艾南山研究了Horotn比率与流域地貌发育阶段的关系，并给出了定量划分流域发育阶段的新参数[8]；何隆华，赵宏对全国14个大流域和67个小流域进行计盒维数的计算，认为水系的分维反映了水系所处的流域地貌侵蚀发育阶段，并把划分流域地貌发育阶段的临界值定为1.6[9]；而在梁虹，卢娟对于喀斯特流域水系分形的研究中指出，流域较大的常流水系分维值一般较小，而熵值却较大，但分维值较小的非喀斯特干谷水系和喀斯特地下水系，其熵值却较小；分维值较大的喀斯特干谷水系也同样有较小的熵值；因此认为仅以水系分维值的大小就判定流域地貌的发育演化阶段的观点还需进一步研究[10]；曹华盛，李进林在对三峡库区水系形态分形特征的研究中沿用了何隆华，赵宏的对于流域地貌侵蚀发育阶段的结论，利用计盒维数计算三峡库区地貌的的分维值，将三峡库区地貌发育的阶段定为幼年期[11]。由上述研究可知，对于分形地貌的表征意义和机制研究出现了不同的观点，在分形地貌应用最为广泛的流域地貌的研究中，对于分形与地貌侵蚀阶段的结合理论还值得商榷，而岩溶形态发育及其它地貌发育与分形维数的关系还亟待更多的研究发现。苟娇娇等基于DEM数据采用计盒、关联维2种方法研究了黄土高原沟谷节点的分形特征，其结果显示CJS分形特征与黄土地貌的发育相关，不同地貌类型呈现出不同的分形维数；但2种分形方法度量出的分维值差异均能与地貌类型保持对应，分形维数排序为：黄土梁峁状丘陵沟壑>黄土破碎塬>黄土梁状丘陵沟壑>黄土塬>黄土山地>黄土峁梁状丘陵沟壑>黄土风蚀沙丘；其聚类分析结果表明22个样区可划分为4个类型，大致对应剧烈侵蚀区、强烈侵蚀区、中度侵蚀区、轻度侵蚀区；研究表明了分形方法能较好的刻画黄土高原不同地貌沟谷节点特征，并能一定程度上反映沟谷侵蚀状况[12]。

2.2 分形维数与地貌形态表征关系

在分形维数表征地貌发育阶段的理论存在争议的情况下，分形维数在地貌表征意义上开始回归到分形地貌研究的开始，也即是用分形维数表征地貌形态的复杂性，不均匀性等特征，再与地貌营力作用的方式、强度等因素相对应进行分析，这种研究思路也逐渐成为近年来分形地貌研究的主流，在各种不同的地貌类型的研究中也将分形维数方法作为描述形态特征定量化的方法进行尝试。单一的分形维数计算方法方法具有使用便捷，结果简洁的特点，对形态特征的刻画和简化具有优势，因此，在分形地貌研究中，单一的分形维数计算方法应用最为广泛，并始终有其特殊的研究价值。徐健华等将分形维数引入到沙漠化和风沙地貌的形态研究中，其研究表明作为风沙地貌的物质基础沙粒和几何实体沙丘均具有分形特征，而且提出风沙流结构不但是分形，而且是多重分形，其分维值与风速有着极大的关系，该研究还表明沙漠化过程具有多重分形特征，如果用降水和风速为标度度量沙漠化过程，都表现出某种不规则性[13]。许模等运用半径法、越度长度和网格法对喀斯特地貌进行统计计算，其结果表明：洼地形态分布具有明显的分形特征，有两个标度区，半径维数分别为1.87和0.6，洼地密度從中心向外递减；地形等高线具有自相似性分形特征[14]。该研究表明喀斯特微地貌存在明显的分形现象；蔡凌雁等利用计盒维数法计算陕北黄土高原不同地貌类型的河网分形维数，研究其空间分布特征，其结果表明：陕北黄土高原不同地貌类型分形结构复杂程度各异，表现出不同大小的水系分维值和稳定性系数，其中，黄土峁状、梁状丘陵沟壑区地貌结构最为复杂，分维值最大，稳定性系数最小。黄土残塬、黄土塬区分维值次之。黄土—风沙过渡区地形结构简单，地势相对平坦，分维值最低，稳定性程度最高[15]。该研究表明计盒维数作为使用最为便捷和广泛的单一分形方法在黄土高原地貌的形态刻画上同样具有较好的效果，能够将不同地貌类型的特征明显的区隔开来；王涛等利用计盒维数和回归分析方法研究了胶东半岛丘陵区冲沟沟长的形态特征，其结果表明沟长分维数与沟长分形曲折度可用来表征河流沟谷地貌形态特征，并且这两个参数所构建的单因子模拟模型相较于坡度、剖面曲率、地表粗糙度构建的单因子模拟模型具有更高的精度[16]。

2.3 多重分形与地貌形态表征关系

多重分形能够展现分形体更多的细节，从数学定义上利用概率分布函数描述了分形体内部物理量之间的差别，因此多重分形是更为精确和准确地刻画分形体的方法。在分形地貌研究中，多重分形方法也被视为对地貌形态更为精确的表征方法。李锰等在天山地区地貌系统的分形维数研究中指明，地貌形态并不是完全随机的，而是一种确定性随机；不同标度区间的分维值表征了内外营力作用的方式，强度和空间尺度；单一作用机制形成单一标度特性（简单分形）的地貌形态，复杂作用机制形成大量子集交叠而成的不均匀复杂分形。据此，可以利用多重分形谱值域的宽窄定量分析各种无法截然分开的地貌形态及作用机制的不均匀性和奇异程度[17]。陈旺等利用高程多重分形谱模型对典型喀斯特流域地貌形态进行分析，指出多重分形理论构建的高程多重分形谱模型能挖掘出更全面、更精细karst流域地貌形态信息，其中高程多重分形谱模型中的宽度定量表征出了karst流域地貌的起伏程度，多重分形谱最大、最小子集维数的差值定量表征了地貌形态的差异性，而且根据多重分形谱的参数随DEM分辨率变化关系并结合广义熵理论，确定了karst地貌形态研究的数据的空间分辨率最优范围在（0-15]之间[18]；王民等利用多重分形对大理河流域地貌进行分析，发现大理河流域地貌形态变化自上游向下游趋于复杂，而且大理河右岸地貌复杂程度相对较大[19]；曹建军等利用多重分形方法研究了黄土高原不同地貌类型区沟沿线的形态特征，结果表明多重分形谱的变化（用2个多重分形谱参数△Χ和△f（α）定量表征）较准确地反映了不同黄土地貌类型区沟沿线地形起伏特征及发展趋势[20]；这些分形方法都是基于多重分形的数学定义进行计算的，该方法在实际操作中较为繁琐且难度较大，因此对于多重分形算法的转换成为了分形算法研究的一条道路。龙毅等以陕西省典型黄土地貌样区为实验区，运用元分维模型，以计算得到的元分维值作为特征指标，研究样区的地形复杂度问题，元分维模型是龙毅提出的，他认为在地貌区域中，某一地貌单元的相邻空间在形态、结构和动力学成因等方面通常具有更大的相似性，因而，在分形分析中，可以采用数字图像分析中类似“滑动窗口”的方法来进行。实验表明：以绥德和延川为代表的黄土峁状丘陵沟壑区最为复杂，以宜君和甘泉为代表的梁状丘陵沟壑区居中，而以淳化为代表的黄土塬区和以神木为代表的风沙黄土过渡区最为平缓。实验进一步证明了扩展分形方法在黄土地貌研究中的可行性[21]。元分维模型可以看作多重分形方法的一种特殊的计算方法，可以视为结合地理学的多重分形方法的创新，并在之后得到了更广泛的应用；石峰等采用元分维模型计算了滇西南地区的二维分形参数，其研究还将岩性、气候因素和构造活动与分维值结合分析，其结果显示：分维值与构造活动因素相关性很好，在构造活动强烈区域分维值较低，在构造活动不强烈区域分维值较高[22]；朱永清等利用分形信息维数研究了该维数与像元尺度的关系，该研究表明：像元尺度对地貌分形信息维数的元标度区间确定十分关键；跨流域地貌形态特征分形信息维数计算与评估应以统一像元尺度为前提[23]。

3 分形计算方法

根据数学定义，可以简单地将分形分为分形和多重分形两种分形计算方法，而两种分形计算各有其数学定义。分形维数计算方法由分形维数的定义所得出，分形维数的定义可以分为豪斯道夫维数和广义维数，而多重分形则利用多重分形谱曲线和分形维特征函数进行描述。

3.1 豪斯道夫维数

豪斯道夫维数具有李普希茨变换的不变性，由此性质定义了相同的分形几何的集合，因此豪斯道夫维数即是分形维数的严格定义；但由于在实际运算和操作中，豪斯道夫维数计算难以实现，便常用容量维数（即计盒维数）代替豪斯道夫维数，统称为分形维数。

3.2 容量维数

容量维数即是计盒维数，这是目前在分形研究中使用最为广泛，也是最为便捷的方法。其原理可以理解为取边长为δ的小盒子，把分形覆盖起来，由于分形内部有各种层次的空洞和缝隙，所以有些小盒子是空的，有些小盒子覆盖了分形的一部分，计数非空盒子数目，记作N（δ），缩小盒子尺寸δ，所得N（δ）增大，当δ→0时，所得N（δ）即为容量维数；容量维数必须在符合标度关系即：

若不存在这种标度关系，就不能使用分维的概念。除了豪斯道夫维数与容量维数外，还有由容量维数算法所扩充的信息维数，关联维数等，而容量维数、信息维数和关联维数都可以看作是广义维数的特例。

3.3 多重分形直接计算法

用尺度为？啄的“盒子”对分形空间中的分形集进行划分，定义每个盒子里的奇异概率测度Pi（？啄）给定的q值，对于不同的尺度？啄，计算并绘制相应的双对数曲线，找出图中的无标度区，用最小二乘法计算出该段曲线的斜率，其绝对值即为给定的q值的广义维数Dq。

4 问题与讨论

4.1 同形异维问题与同维异形问题

在分形理论运用到地貌学之初，分形维数的临界值问题是研究的焦点之一，而随着对于分形理论本身认识的加深，试图用临界值对复杂地貌过程进行诠释的想法显得不切实际，究其本源在于分形维数的严格计算如豪斯道夫维数的计算在实践中几乎不可能，其它如计盒维数和多重分形计算方法也难以做到对复杂地貌的分形特征完整描述；而同形异维问题和同维异形问题也成為了在分形地貌研究中的难点，众多研究者针对这个问题对分形算法本身和分形地貌研究的材料和数据进行不断地改进和检验，在材料尺度和分辨率选择方面也取得了大量成果；陈旺，梁虹等运用多重分形模型对喀斯特小流域的地貌形态信息进行研究，其结果表明高程多重分形谱模型中的宽度定量表征出了喀斯特流域地貌的起伏程度，并且根据多重分形谱的参数随DEM分辨率变化关系并结合广义熵理论，确定了喀斯特地貌形态研究的数据的空间分辨率最优范围在（0-15]之间；对于某一具体的分形客体，该选择哪一种分形维数，需要研究该客体的分形特征，每一种分形维数都有它的适用范围，对有些对象可以适用，而对另一些就可能完全不适用。有时候为了研究某一分形客体，需要用到多种不同的分形维数[18]；陶象武在流域地貌形态分形空间变异特征研究中变指出地貌分形只具有统计意义，只适用在一定的范围内，范围不同会计算出或大或小的分维值[24]，并在其研究中将不同像元尺度，不同无标度区间下的分维值进行分析，其结果表明相同的像元长度下，不同的无标度区间，分维值不同；不同的像元长度，相同的无标度区间，分维值不相同[24]。范勇在线状地貌分形研究综述中指出计算方法不同分维值有差异，图源比例尺不同分维值有差异[25]。分维计算的不确定性使得分形理论的应用受到限制。

4.2 分形理论自身的局限

分形维数作为唯一一个刻画地理事物的性状特征的量，过于单一，分形理论本身是从形态的角度探讨不规则事物尺度变换下的不变性，是从具有随机性的复杂事物中找寻其确定性，其优势在于对事物本身特征的简化和凝练，使得分形维数可以作为特征值对事物进行描述和机制分析，作为特征量可以将事物区隔开（具有计算方法和材料尺度的限定前提）；将分形维数视为描述地理事物的性质特征的量，仅以这个特征量将事物定量化表达是明显单薄的，并不能反映事物的完整信息；在地貌学的研究中，从宏观角度看分形维数可以作为量化特征，但这样是远远不够的，分析理论与混沌理论、耗散结构论都有密切的关系，然而这些理论的研究难度和现有的研究能力是不匹配的，尤其是涉及到物理机制；因此，除了这些理论之外，分形理论需要跟现有的已经成熟的方法理论相结合。

4.3 分形地貌物理机制问题

分形反映出物理现象的多尺度性、临界性、奇异性、间歇性、不可微等特征，而且由于自我复制而产生的分形层次结构使分形具有长程相关性和记忆性[26]。分形地貌研究早期更多集中在对于临界性的研究，地貌发育过程与分形理论的关系更是关注的重点，但由于上文所述分形地貌已经被证明更多的意义在于统计上，这是由分形计算本身存在的问题，以及地貌系统本身的复杂性所共同决定的；所以近年来分形地貌对于地貌学方面的物理意义更多地体现在了多尺度性上，更多的研究放在了对于地貌形态特征的描述上面。

5 展望

5.1 探讨研究尺度对分形维数的影响

地貌分形并不是数学分形，分形地貌的研究受到研究材料、分形算法的制约，所以必然是存在尺度差异的，也必然算法结果的差异；在尺度差异和算法差异中探讨分形维数的变化显得十分必要，这方面的研究有助于对地貌形态特征的认识更加深入和具体化，有助于提高分形地貌研究的实用价值；而近年来的研究中较少有分析研究尺度对分形维数的影响，因此，在以后分形地貌的研究需要多尺度的研究材料、多种分形算法的结合，以这种结合促进对地貌形态分形特征的深入理解具有重要的研究价值。

5.2 实践中将分形理论与小波分析等理论进行综合研究

小波分析与分形理论本身便具有极强的关联性，小波变换具有标度不变性，这和分形的特征相一致。小波变换比傅里叶变换多了一个时间位置参数，可以用来判别函数的突变点[26]。在进行分形计算的时候可以考虑使用小波变换求取分维值，将二者结合进行图像分类应用等，在相关的遥感影像的研究中已经使用过二者结合的方法并取得不错的效果[26]；除了小波分析，其它的的动力学理论与分形理论在地貌学研究的结合更需要探索，分形地貌绝不仅仅是简单的分形几何问题，将分形动力学与地貌学的动力形成机制结合是分形地貌学研究的核心问题，分形几何能够反映地貌的宏观形态机制，但内在的动力机制必须将地貌学的相关理论引入进来，比如河流动力学原理等等具体的地貌动力学原理；将地貌的动力学原理的与分形理论的综合是揭示分形地貌动力学机制的关键。

5.3 分形数值模拟模型的深入研究

以微地貌为对象，运用分形数值模拟模型，结合地貌变化的动力学机制进行深入拓展。海岸地貌、黄土地貌、喀斯特地貌等地貌的微地貌变化过程的模拟均可作为分形数值模拟的研究对象，地貌变化的动力学机制与分形理论的结合是分形地貌的难点，重点问题，脱离动力过程的分形地貌分析难以揭示地貌的分形特征和地貌的分形研究的具体意义；分形数值模拟模型的深入应用是推进分形地貌实践的重要手段。

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