分形理论及其在票据防伪中的应用

雷宇+李伟+宫鸿敏+王雅娣+边辑

随着市场经济的快速发展，印刷企业对产品的防伪技术和附加值要求越来越高。票据防伪技术一直是票据印刷行业研究的热点，我公司经研发将分形图应用于票据防伪中，取得了很好的应用效果。

分形理论

分形，原意具有“不规则、分散、支离破碎”等意义，用于刻画传统的欧式几何无法描述的不规则几何形态，如河川、海岸线、山形、岩石、森林等。曼德勃罗在20世纪70年代创立了分形几何，分形几何以非规则几何形态为研究对象，对自然界出现的一些看似不规则的几何体进行了数学描述，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形图是通过对其自身进行成比例的缩小复制而构成的，局部与整体自相似。此外，分形对象还具有标度不变性，即无论放大还是缩小多少倍，其形状、复杂程度以及不规则性等特性都不会发生变化。所以自相似性和标度不变性是分形图的最重要特征。

所谓自相似性，是指系统整体和局部之间、局部与局部之间具有的某种程度的相似性，将局部放大后与原图是相似的，只不过存在一些比例上的放大、缩小或图形旋转、平移等变化，也就是说，局部是整体的一个小复制品。当然，这种自相似性不一定是严格的，也可能是近似的。标度不变性也叫无限细分性，是指分形图具有任意尺度下的比例细节，或者说有无限精细架构，如果对分形图的某一区域进行不断放大的话，可以发现里面的结构越来越清晰，而且具有跟整体相似的特征。

分形图有如下特点：①具有精细的机构，即在任意小的尺度下，它都可以有更小的细节；②不规则，即无论从局部还是整体看，它都无法用微积分或者传统的几何语言来描述；③本身结构通常在大小尺度上有着某种自相似的特性；④分形维数大于它的拓扑位数；⑤在许多情况下可以由迭代方法产生；⑥通常具有自然的外貌。

基于MATLAB的分形系统的生成

目前常见的分形图都是由计算机程序生成的，由于生成方法不同，不同的分形图在图案、形状等方面还存在较大的差异。本系统是基于MATLAB环境语言开发的分形图生成系统。根据分形图对参数的敏感性，通过控制其参数变化，按照分形图规则算法的分类来生成分形图。

1.L-系统

L-系统的分形图方法是一套用以描述植物树木的方法，开始时只是着重于植物的拓扑维数，后来才把几何解释加进描述过程。该系统的高度简洁性和多级结构，为描述自然景物的生长和繁殖过程的形态和结构特征，提供了有效的理论基础。

L-系统是基于符号的重写系统，字符串替换是其核心思想，其通过不同的改写规则产生一系列字符串来生成各种分形图。图形的边界放大，出现更精细的结构，这些结构与原来的图形相似。整个“边界”可以从其自身任意取定的“小片”生成，这种局部暗含整体的性质便是自相似性。这里的边界并非通常想象中的泾渭分明的曲线，而是极其复杂的结构。这些无限嵌套的精细内容，用简单的逻辑思考是难以预料的，而计算机的分形系统可以生成。图1为笔者使用MATLAB设计的L-系统，图2为该系统生成的L-系统生成的分形图。

2.IFS分形系统

基于IFS迭代函数系统的分形图是分形图中最具生命力和广阔应用前景的，也被称作仿射变换集。IFS的基本思想是分形具有局部与整体的自相似性，也就是说局部是整体的一个小复制品，只是在大小、位置和方向上有所不同，数学中的放射变化是一种线性变化，正好具有把图像放大、缩小、旋转和平移的性质。因此，产生一个复制品的过程就相当于对图形做一次压缩仿射变化。从原则上说，任何图形都可以用一组仿射变换来描述或生成。

IFS分形系统结合了计算机分形图形技术，可以通过定义组成图像的最小单元，设计仿射规则变化，形成相应的图形。由于分形图像的维数集是分数形式的，因此任何细小的维数差别，甚至是千分之一的差别，最终构造的图形图像都将大相径庭。另外，控制图形图像生成的可变因素很多，在编制的专用电脑程序上输入有关的数据，通过某种算法就可产生千变万化的图形图像效果。

图3为笔者使用MATLAB设计的IFS分形系统，图4为该系统生成的分形图。

分形图在票据防伪中的应用

一般的自然图像采集、存储、传输和管理比较繁琐，实时性差，最主要的是安全性没有保障。此次开发的系统是基于分形的隐藏图形，其依赖于算法生成实现，参数可调整，图形复杂多样，大大提高了图形的安全性，即使参数稍微有所变化，由于分形图对参数的敏感也会立刻被察觉。分形理论在票据防伪中的应用形式主要有以下两种。

1.将分形图像直接设计成票据图案

票据上一般应用的图案比较简单，将分形图像直接作为主体图案，相同或相类似的分形图案由于分形图无穷精细的细节特性，不能通过照相、复印或电脑扫描等手段来得到与原稿一模一样的图像。

2.将分形图用作隐藏图像

现在票据中应用的防伪技术手段比较多，其中信息隐藏也是常用的技术手段。例如，以前票据中隐藏较为简单的数字水印图像。本课题开发的防伪图像可以作为隐藏信息，增加了造假者的难度，提高了防伪技术水平。图5为笔者将分形图像应用于票据防伪中的案例。分形图像用作隐藏图像时，针对给定的分形图，分析图像的特点，确定加载位置，采用网点位置变换的信息嵌入算法，将图片隐藏到印刷品中；提取隐藏图像时，只需将参数匹配的显隐工具叠放于印刷品上方，旋转至正确的角度，隐藏的分形图像即可清晰显现。

票据作为有价证券的一种，本身图案简单，防伪技术要求很高，根据分形图像的特点可以将其应用于票据的防伪印刷中，取得较好的防伪效果。