一道学生问题的变式探究

作为教师，对学生经常提出的问题，我们很乐意给他们解惑.回答完学生问题后，是不是就完事了呢？答案当然是否定的.如果这样，对于教师而言，虽然解决了学生的问题，若不能深入去思考的话，就可能错失了一次教学相长，揭示问题本质的机会；对于学生而言，虽然问题解决了，若不能触类旁通、举一反三，就有可能下次遇到同类型题仍然不会.所以，我们应该充分利用好学生问题这一资源，通过对学生问题的探究，来激发学生学习的内驱力，调动学生的思维参与度，进而根据问题之间的内在联系，使学生领悟思想方法，真正的找出解决问题的思路和方法.下面是一位学生的问题，笔者对此题进行了变式探究，供大家参考.

问题 如图1，⊙O的半径是6，点A是圆上一定点，B是OA的中点，E是圆上一动点，以BE为边构造正方形BEFG（B、E、F、G四点按照逆时针方向排列），当点E在⊙O上运动一周时，求点F运动轨迹围成的图形的面积.

解析 如图2，过点O作OC⊥OA，交⊙O于C，取OC的中点I，连接OE，BF，BI，IF；

因为四边形BEFG是正方形，所以∠EBF=45°，BFBE=2.因为△BOI是等腰直角三角形，所以∠I=45°，BIBO=2，所以BIBO=BFBE.因为∠EBF-∠F=∠I-∠F，所以∠EBO=∠FBI，所以△BIF∽△BOE，所以BFBE=IFOE=2，所以IF=2OE=62，所以点F的运动轨迹是以I为圆心、IF为半径的圆，所以点F运动轨迹围成的图形面积为72π.

回答完学生的问题后，自己并没有停止思考，而是继续探究此问题，发现点G的运动轨迹也是圆，此时我感觉这其中可能隐含着什么奥秘.因此，笔者对此问题作出了如下的探究.1 通過改变结论中点F的位置，探究点的运动轨迹是否类似

变式1 原问题其他条件不变，将结论改为“求G的运动轨迹长.”

解析：如图3，过点O作OC⊥OA，交⊙O于C，以OB为边构造正方形BODI，连接OE，IG；

因为四边形BEFG正方形，所以∠EBG=90°，BE=BG.因为四边形BOID是正方形，所以∠OBI=90°，BO=BI.

因为∠EBG-∠OBG=∠OBI-∠OBG，所以∠EOB=∠IBG，所以△BOE≌△BIG，所以IG=OE=6，所以点F的运动轨迹是以I为圆心、IG为半径的圆，所以点F运动轨迹长为12π.

探究1完成后，继而反问自己，正方形顶点G的轨迹如此，那其中心H是否也一样？

变式2 其他条件不变，将结论改为设为“求正方形BEFG中心H的运动轨迹长”.

解析 如图4，在变式1的基础上，连接BD，取BD中点I，连接OE，BH，IH.

易证BEBH=2，BOBI=2，所以BEBH=BOBI，又易证∠EBO=∠HBI，所以△BIH∽△BOE，所以BEBH=OEIH=2，

所以IH=22OE=32.因为点H的运动轨迹是以I为圆心、IH为半径的圆，所以点H运动轨迹的长是62π.

完成变式1、2后，发现通过改变结论中点F的位置，点的运动轨迹完全类似.而题目条件里“点B是OA的中点”，点B位置有些特殊，不由想到如果改变点B的位置，点F的运动轨迹是否发生变化？2 通过改变条件中点B点位置，探究点的运动轨迹是否依旧

变式3 若点B是线段OA的三等分点（B靠近O），其他条件不变，求点F运动的路径长.

解析 如图5，过点O作OC⊥OA，交⊙O于C，在OC上取一点I，使得OI=13OC.连接OE，BF，IF，BI；

易证BFBE=2，BIBO=2，所以BFBE=BIBO，又易证∠EBO=∠FBI，所以△BIF∽△BOE.所以BFBE=IFOE=2，IF=2OE=62.所以点F的运动轨迹是以I为圆心、IF为半径的圆，所以点F运动轨迹的长是122π.

变式3完成后，我又想了想，当点B是平面内任意一点，这时的结论和方法是否有所改变呢？

变式4 若点B在AO延长线任意一点上，且AB=γOA，其他条件不变，求点F运动的路径长.

解析 如图6，过点O作IO⊥AB于O，且IO=OB，连接OE，BF，IF，BI.易证BFBE=2，BIBO=2；

所以BFBE=BIBO，又易证∠EBO=∠FBI，所以△BIF∽△BOE，所以BFBE=IFOE=2，IF=2OE=62.因为点F的运动轨迹是以I为圆心，IF为半径的圆，所以点F运动轨迹的长是122π.

完成变式3、4后，我们可以惊喜的发现，点F运动轨迹长与γ的大小无关，也就是点B的位置对结论的结果没有影响，那会不会是正方形BEFG的形状特殊的原因呢？3 通过改变正方形BEFG的形状，探究点的运动轨迹长是否变化

变式5 将题目中以“BE为边构造正方形BEFG”改为“BE为边构造等边△BEF”，其他条件不变，求点F运动的路径长.

解析 如图7，以OB为边构造等边△BOI，连接OE，IB，IF.易证BE=BF，BO=BI，∠EBO=∠FBI，△BOE≌△BIE，从而IF=OE=6，所以点F的运动轨迹是以I为圆心，IF为半径的圆，所以点F运动轨迹的长是122π.

完成变式5后，发现方法跟变式1很类似，是不是等边三角形太特殊了呢？如果是矩形，会有改变吗？

变式6 将以“BE为边构造正方形BEFG”改为“BE为边构造矩形BEFG，且BG=2BE”，其他条件不变，求点F运动的路径长.

解析 如图8，在⊙O上取一点I，过I作IO⊥AO于O，连接OE，BI，IF，BF；易证BFBE=5，BIBO=5，所以BFBE=BIBO，又易证∠EBO=∠FBI，所以△BIF∽△BOE.所以BFBE=IFOE=5，IF=5OE=65.因为点F的运动轨迹是以I为圆心，IF为半径的圆.所以点F运动轨迹围长是125π.

从变式5、6可以看出，此时形状的改变，解答方式上与原题及变式没有大多改变，点F的轨迹是圆也没有改变，那么，原题和变式题的解题方法和本质又是什么呢？4 问题的本质揭示

4.1 抽丝剥茧，图中寻找本质

为了更清晰地了解解题方法的本质，我从原题和变式的图形中，去掉了原题和变式中的圆和一些线段，留下如下图9—12.从图9—12中我们惊喜的发现：图9是两个正方形旋转后构成的相似三角形，图10、图12是两个直角三角三角形的旋转构成的相似三角形，图11是两个等边构成的旋转全等三角形！此时，本质出现了，原来都是通过旋转图形得到的两个三角形相似.

解题方法：已知△BOE，OE=r，BFBE=n，∠EBF=α，将△BOE绕B点旋转α度，且滿足BIBO=n，从而

△BIF∽△BOE，IF=nOE=nr，所以点F远动轨迹长是以I为圆心，nr长为半径的圆周长.

4.2 寻根觅源，本质的升华

从原题到变式，我们发现主动点E的轨迹是圆，被动点F的轨迹也是圆，我们已经从图9—12中归纳了这类解题方法，那么，我们的理论支撑是什么呢？能否证明呢？

如图13，点A，C为定点，AC=d，点B在以A为圆心，定长r为半径的圆上，直线BC外有一点D满足

∠BCD=α且BC=nCD，则点D的运动轨迹是圆.

证明 将线段AC绕点C旋转α得到CE，并且AC=nCE，从而ACCE=BCCD=n，∠ACB=∠ECD，所以

△ABC∽△EDC，故E是定点，ABED=n，ED=rn为定长.所以点D在以点C为圆心，rn为半径的圆上运动.

通过变式、证明可以看出，关键在于找到定线段，主动点，被动点与旋转角，方法是将定线段绕着定点同向旋转α度，构成两个旋转后的相似三角形，且它们的相似比为n.5 反思与感悟

一方面，对数学问题变式探究，体现了数学思维的发散性、开放性与深刻性，体现了数学问题的延伸、解题的拓展，是对知识方法的进一步理解与深化.因此，对一道问题进行变式探究训练，可借此机会告诉学生这类题如何思考和解决，有利于学生思维的发展与发散，也是数学教师必须具备的教学能力.经常对学生进行问题的变式训练，能够提高学生解答同类问题的应变能力.

另一方面，解题不在多而在于深，肤浅的去解决许多问题，有可能会“好求多而不求甚解”.认真研究一个问题，从原问题中挖掘新问题，总结其本质和根源，以后遇到同类或者近似的问题就会从容面对，从而达到以一当十，触类旁通的效果.

作者简介 高红涛（1983—），男，湖北红安人，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学研究，连续多年担任初三教学工作，已发表论文10余篇.