勾股数公式与费尔马定理

杨玉玲

费尔马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题——“将一个平方数分写为两个平方数”旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。这个猜想的证明数学家们绞尽脑汁未能找到这个美妙的证法，虽然日本的谷山村志给出了一个长达200页的证明方法，得到了这个猜想的证明，但是美妙的证法如果需要200页才能写完，那么这种证法也太长，扉页处确实太小太小，这种证法是否具有美妙性，让人产生怀疑。

虽然费尔马的证法非常“美妙”，至今我们没有找到，但我们可对“将一个平方数分写为两个平方数”进行研究，找到其关键所在，看能否对“美妙”证法的思路有所发现。

将一个平方数分写为两个平方数，即求不定方程z2=x2+y2正整数解。

当n=2，不定方程：zn=xn+yn正整数解有无数个。

证明的方法：对于不定方程：z2=x2+y2，令z=k+1，则（k+1）2=k2+2k+1，对于2k+1为平方数则结论成立，当k=1，2，3……时，2k+1为连续奇数，9，25，49，81……所有奇平方数都包含于其中，奇平方数和奇数个数一样多，都有无数个，若x=2k+1=m2，m=3，5，7，9，……为奇数，则k=（m2-1）÷2，令y=k，则z=k+1=（m2+1）÷2，所以当n=2时，不定方程：zn=xn+yn正整数解有无数个成立。

同理令z=k+2，则（k+2）2=k2+（4k+4），从而4（k+1）当k+1为平方数命题成立，则x2=4（k+1）=4m2，m=1，2，3，……为正整数，则y=k=m2-1，z=m2+1，所以当n=2时，不定方程：zn=xn+yn正整数解有无数个成立。

…….

综上，n=2，zn=xn+yn有正整数解，归结为（k+r）2=k2+2rk+r2，只要关于k的一元一次方程2rk+r2=m2，（m=1，2，3，……为正整数）有正整数解，即k=（m2-r2）÷2r为正整数，则必有m=qr，k=（q2-1）r÷2，q、r同偶、同奇、q奇r偶时，k为正整数成立，所以n=2，zn=xn+yn正整数解有无数个，命题成立。

推论：勾股玄数公式：（1）勾x=m2，m=3，5，7，9，……为奇数，则股y=（m2-1）÷2，玄z=（m2+1）÷2.（2）勾x=2m，m=2，3，……为正整数，则股y=m2-1，玄z=m2+1.（3）任意一不小于3的正整数，都可找到以此数为勾或为股的一组或数组勾股玄数，其中x=m=qr，y=k=（q2-1）r÷2，z=k+r=（q2+1）r÷2.

例如，x=3=3×1=qr，y=（32-1）×1÷2=4，z=4+1=5；

x=4=2×2=qr，y=（22-1）×2÷2=3，z=3+2=5；

x=5=5×1=qr，y=（52-1）×1÷2=12，z=12+1=13；

x=6=3×2=qr，y=（32-1）×2÷2=8，z=8+2=10；

x=7=7×1=qr，y=（72-1）×1÷2=24，z=24+1=25；

x=8=4×2=qr，y=（42-1）×2÷2=15，z=15+2=17；

=2×4=qr，y=（22-1）×4÷2=6，z=6+4=10；

x=9=9×1=qr，y=（92-1）×1÷2=40，z=40+1=41；

=3×3=qr，y=（32-1）×3÷2=12，z=12+3=15；

x=12=2×6=qr，y=（22-1）×6÷2=9，z=9+6=15；

=6×2=qr，y=（62-1）×2÷2=35，z=35+2=37；

=3×4=qr，y=（32-1）×4÷2=16，z=16+4=20；

…………

“将一个平方数分写为两个平方数”，其关键在于关于k的一元一次方程2rk+r2=m2，（m=1，2，3，……为正整数）有正整数解，因此此命题成立.

当n=3，不定方程：zn=xn+yn无正整数解.

（k+1）3=k3+3k2+3k+1，研究3k2+3k+1会发现，所有的立方数都不包含其中，即，k=1，3k2+3k+1=7<8=23；k=2，3k2+3k+1=17<27=33；k=3，3k2+3k+1=37>27=33；……，当k取正整数时，其值为奇素数或不同的奇素数的积，即3k2+3k+1不能写成x3，因此（k+1）3不能分写成k3+x3.

（k+r）3=k3+3rk2+3r2k+r3，r为正整数，若3rk2+3r2k+r3=x3，假设x为正整数，因为r整除左边的每一项，因此r整除x，令x=rm，则r（3k2+3rk+r2）=r3m3，等式左边的因式3k2+3rk+r2的项3rk与r2均能被r整除，等式右边能被r整除，则r必整除k2，从而r整除k，令k=rn，则3rk2+3r2k+r3=r3（3n2+3n+1）=r3m3，即3n2+3n+1=m3，当r=1时上面已证m不为正整数，3rk2+3r2k+r3=x3，x为正整数，不成立。

综上可证当n=3时，不定方程：zn=xn+yn无正整数解.

同理可证，当n>3时，不定方程：zn=yn+xn无正整数解.

（作者單位：陕西省咸阳市渭城区第一初级中学712000）