初中生数学解题逆向思维的培养

陈晓艺

摘 要：作为创造型人才必须具备的基本能力之一，逆向思维能力是进行思维训练的载体，加强思维从正向转向逆向的培养，能够有效地提高学生的创新意识和思维能力，同时逆向思维思维在数学中作为一种重要的解题思想，一般在公式、定理、定义都会有体现，逆向思维是学生解题的新思路，从改变传统的思维出发，通过另一个角度解决问题，使问题大大的简化，加强学生逆向思维能将学生的学习效率、解题效率进一步提高，所以逆向思维是数学思维中必不可缺少的一部分。本文主要论述从逆向思维方面如何培养学生的能力，以及如何运用逆向思维分析数学教学中的问题。

关键词：逆向思维；数学；培养；应用

敢于“反其道而行之”，让思维从相反的方向发展，当我们遇到问题时，从其对立面去探索，有不同的思路，寻找新的方法。当每个人都在往同一方向思考，而你却在相反的方向思考时，这样的思维方式便叫逆向思维。人们习惯于在事物积极向上的方向上去思考问题和寻找解决办法。事实上，对于一些问题，尤其是一些特殊的时候或者是复杂的问题，从结果中反推回去，然后依次思考问题，从结果回到原来的条件，向后反推寻找答案，结果或者会比你原来的更加简便。

1.逆向思维定义

1.1正向思维与逆向思维区别

逆向思维是数学中的一种常规思维，是数学中不可缺少的一种的重要的思维方式逆思维和正向思维最大区别就在于一个“反”，所谓的求异思维，就是对常规的，常见的固定定论的事物或观点、想法倒过来思考的一种思维方式。从思维的反面的看待问题，从新的角度看待问题，树立新的思想，从固定思维的反面思考，这样就是逆向思维。

数学教学中，对正向思维训练和能力的培养是经常的、大量的，也是必要的，但容易成“思维定式”，可见对逆向思维的训练、能力的培养，显然不可忽视。有些数学问题，特别是一些特殊问题，从结论入手，逆向思考，将求解反推验证已知条件，反过去会把问题简单化，就会使问题简单化，是问题易得到解。逆向思维是一种发散的思维，逆向思维是思想上的一种创新，与正向思维相辅相成，缺一不可，都应该学习。

在一般的数学教材中，使用逆向思维来处理的内容不算多的，学生逆向思维的能力很差使得遇到了问题时不会灵活处理。他们的思维活动长期以来一直处于积极的正向思维活动之中，所以在给出一个数学问题以后，他们总是试图通过积极的正向思维来解决问题。然而，在这样的情况下有很多没得数学问题是难以解决的。如果能换一种思维方式，就会使问题很容易得到解决，甚至还能得出一些新的解题方法。由此可见，在数学学习的过程中，教师应该注意培养学生的逆向思维能力，使學生能够更加灵活地去解决遇到的数学问题。

1.2在生活中体现逆向思维的优越性

在提倡素质教育的今天，培养逆向思维能力对于提高学生的思维能力、培养高素质的人才也非常重要，这种思维方式对生活上也会有很大的帮助。例如我从所周知司马光砸缸的故意，就是生活中一个大家所熟知的例子。在我们生活的每一个角落，我们都可以看到逆向思维的应用价值与好处。在传统的思维方式中，我们都应该有一些逆向思维方式。要认真思考事物的本质特征，适当运用逆向思维进行观察，培养自己多元化的思维能力。

2.逆向思维的培养

2.1影响学生思维定势的原因

无论是在小学还是在高中，逆向思维都是我们学生应该掌握的一种思想与方法。大多数的学生不知道何时将其转化为逆向思维，它是从单向联想作用的一个方面转化为双向联想作用的两个方面。这样的转化有一定的难度，一种思维在其逆向思维的过程中不一定要重复原来的方式，所以正向不能代替逆向来训练，这还需要我们从某些特定方面多做引导。

大多数的教师以“建立定理——证明定理——应用定理”三部曲或采用传统的“类型+方法”的教学模式，忽视了逆向思维的训练与培养，导致学生不能快速而准确地将正向思维转向逆向思维来简化作题的步骤，这样使得学生往往形成了一种思维定势，无法进行有效的逆向思维。

2.2如何在教学中培养学生的逆向思维

逆向思维的特点有双向性和可逆性，逆向思考是人们思想进步的一种体现，它人类进步的一种的体现，与自己习惯恰恰相反。

从数学的角度看，我们应该调整心理过程的方向，从对称关系、正向与反向运算、正反向定理、概念、应用公式、规则、综合分析方法，还原证据方法等正向思维中建立逆向思维。初中生（尤其初一）在思维发展中的表达水平是不同的，首先只能是单向的，没有对立的思维，然后逐渐形成思维的可逆性和重复性。教学能力较强的学生往往在推理过程中表现出自如的可逆思维能力。而对于能力差的学生来说，要形成这种可逆的思维推理过程是非常困难的。

2.2.1初中、高中阶段

（1）从数学最基础中定义、概念中运用

数学概念的学习对学生来说很难理解。如果教师在开始教学时，只注重对一个方面的教学理念，那么学生在今后的实际应用中也会只单一的从这一方面进行思考。没有对概念内容的完整把握，学生就容易导致理解的偏差，从而影响数学的学习。这就要求教师既要注意数学概念教学的正向思维，也要注意数学概念教学的逆向思维，使学生不仅能理解数学概念的正面形式，又能理解数学概念的反面形式。作为一个数学定义命题，它的逆命题总是成立的。学生在学习新概念时，如果能从两个方面理解和运用新概念的定义，不仅可以加深对新概念的理解，而且可以培养学生对新概念的双向思考能力。

正确理解数学概念，熟练运用算术法则，单靠正向的思考时无法解决的。在教学中，要通过逆向思维的时间来深化对数学知识的认识。

例如①：的绝对值（），的绝对值（）。（正向思维）

②：一个的绝对值是，这样的数有（）是（）。（逆向思维）

（2）定理、公式的逆运用

同数学概念的教学一样，老师在教学过程中对数学公式、定理也要应有意识地引导和培养学生逆向思维的意识和习惯，帮助学生不仅能想到正向思维，也要在如何时候都做到正、逆双向思维转化，克服长期思维习惯导致的一成不变的思维，从而提高学生的多面数学思维的能力。

例如：化简：

解：原式=

此题的解法在于巧妙的利用平方差公式：的变型。

运用运算与变换的可逆性培养逆向思维

数学中的各種变换与运算是正逆交替的，如映射与逆映射、函数与反函数、指数函数与对数函数等，它们都可以通过公式相互进行转化。

逆向思维能力在法则教学的运用

在遇到计算题或证明题时，经常需要将公式或法则的变形后再运用各种运算法则来把问题换算，如分裂项变形、加减项变形、乘除项变形等。

逆用公式加减法的运算定法则

∴易得出原式=1

从等与不等中相互转化中进行逆向思维培养

“相等”与“不相等”在某种情况下，它们可以相互转化，这种转化能使许难题得以化解。

例 设为自然数，已知，，求的最大值。

分析：一个一个这样凑显然是不现实的，若把132 与5个变量联系起来，根据5个变量的大小关系，可以考虑把相等转化成不等。

解：

数学教学中的教师应该根据实际情况提出问题。在强调传统数学思维的同时，还应注意逆向思维的解释，这对于培养和增强学生的数学思维能力，特别是学生思维的灵活性，提高学生解决实际问题的能力和创新能力，具有更为重要的意义，这将进一步提高学生的逆向思维能力。

（3）逆向思维中学中的应用

例2：已知正数 a、b、c 成等差数列，求证：a2-bc、b2-ac、c2-ab 也是成等差数列。

分析：要证明原结论正确，只需证，即证明 。又2b=a+c，所以上式成立，于是原结论成立。

总之，数学逆向思维能力的培养取决于教师长期不懈的努力。引导学生从多方面、多角度地思考问题，跳出封闭的思维状态，培养学生宽广、灵活、有目的、创造性的思维，不断地从数学教学中引导学生是一个积累的过程，不是一朝一夕能实践，要从小就开始逐渐培养。

参考文献

[1]林海艳.浅谈数学解题中的逆向思维[J].赤峰学院学报（自然科学版）. 2005（06）

[2]韦兰英.谈逆向思维在数学分析解题教学中的应用[J].南宁师范高等专科学校学报. 2002（01）

[3]黄伟社.数学解题中逆向思维的运用技巧[J].职大学报（自然科学版）. 2002（04）

[4]阳福恩.逆向思维在数学解题中的应用[J].桂林师范高等专科学校学报（综合版）. 2001（04）

[5]赵仪俭. 数学解题中的逆向思维及其应用[J]. 中国校外教育：理论，2008（S1）

[6]孙建华. 逆向思维在数学解题中的应用[J]. 中学生理科月刊，2003（10）.

[7]王秀琴. 谈逆向思维在初中数学解题中的应用[J]. 快乐阅读旬刊，2012（3）：85-85.

[8]曹莉. 逆向思维在数学解题中的运用[J]. 连云港师范高等专科学校学报，1997（3）：74-75.

[9]张信联. 逆向思维在数学解题中的应用[J]. 数学教学通讯，2000（3）：11-13.