η凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分的Hermite-Hadamard型不等式

时统业，曾志红，曹俊飞

(1. 海军指挥学院， 江苏 南京 211800； 2. 广东第二师范学院 学报编辑部， 广东 广州 510303；3. 广东第二师范学院 数学系， 广东 广州 510303)

0 引 言

若f是区间[a，b]上的凸函数，则对f在区间[a，b]上的算术平均值有以下估计：

(1)

双边不等式(1)被称为Hermite-Hadamard不等式.关于Hermite-Hadamard不等式的各种改进、加细和推广，可参见文献[1-9].

最近，作为通常凸函数的推广，文献[10]引入了η凸函数的概念.

定义1[10]设区间I⊆R，二元函数η：R×R→R，f：I→R，若对任意x，y∈I，t∈[0，1]，有

f(tx+(1-t)y)≤f(y)+tη(f(x),f(y))，

则称f是区间I上的η凸函数.

当η(x，y)=x-y时，η凸函数即为通常的凸函数.

定理1[11](η凸函数的Hermite-Hadamard型不等式) 若f： [a，b]→R是η凸函数，η在f([a，b])×f([a，b])上有上界Mη，则有

近年来，国内外研究者利用分数阶积分建立了分数阶的Hermite-Hadamard型不等式[12-18].

定义2设α>0，f在[a，b]上勒贝格可积，则函数f的α阶左Riemann-Liouville分数阶积分和α阶右Riemann-Liouville分数阶积分分别定义为

其中Γ(α)是Gamma函数，即

方便起见，在下文的引理和定理中均假设

p∈(0,1)，ξ=pa+(1-p)b，

并且记

定理3[19](η凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式) 若f： [a，b]→R是η凸函数，η在f([a，b])×f([a，b])上有上界Mη，α>0，则有

(2)

引理1[13]设f： [a，b]→R在(a，b)可微，f′在[a，b]上勒贝格可积，α>0，则有

利用引理1，由文献[19]可得η凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.

定理4[19]设f： [a，b]→R在(a，b)可微，|f′|是[a，b]上的η凸函数，α>0，则有

当η(x,y)=x-y，即当|f′|是[a，b]上的凸函数时，由定理4得到文献[13]中凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.

引理2[14]设f： [a，b]→R在(a，b)可微，f′在[a，b]上勒贝格可积，α>0，则有

其中，

应用引理2，由文献[19]可得到η凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.

定理5[19]设f： [a，b]→R在(a，b)可微，|f′|是[a，b]上的η凸函数，0<α≤1，则有

η(|f′(a)|,|f′(b)|)+η(|f′(b)|,|f′(a)|)].

(3)

由引理2并利用积分变量代换，有

可得到以下引理：

引理3设f： [a，b]→R在(a，b)可微，f′在[a，b]上勒贝格可积，α>0，则有

[f′((1-t)a+tb)-f′(ta+(1-t)b)]dt.

目前，国内研究η凸函数的文献并不多[20-21].本文建立了新的η凸函数Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.对定理3和定理5的结果进行了一定改进.对由凸函数分数阶的Hermite-Hadamard型不等式的右边部分生成的差值，给出了不同于定理4的估计.为证明主要结论，除引理1和引理3外，还需要引理4和引理5，此两引理用分部积分法易证之.

引理4设f： [a，b]→R在(a，b)可微，f′在[a，b]上勒贝格可积，α>0，则有

引理5设f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒贝格可积，α>0，则有

pf(a)+(1-p)f(b)-K2=

1 主要结果及证明

定理6若f： [a，b]→R是η凸函数，η在f([a，b])×f([a，b])上有上界Mη，α>0，则有

(4)

(5)

(6)

[η(f(a),f(b))+η(f(b),f(a))]，

(7)

由η凸函数的定义，有

(8)

将式(8)乘以(x-a)α-1+(b-x)α-1，然后在[a,b]上对x积分，得

η(f(a+b-x),f(x))dx，

(9)

注2在定理6中，取η(x,y)=x-y，则得到凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶不等式[13]：

文献[3]利用积分给出了凸函数的Jensen不等式的隔离，受此启发，给出以下定理：

定理7若f： [a，b]→R是η凸函数，α>0，则有

[η(f(a),f(b))+η(f(b),f(a))]，

(10)

其中，

f1(x)=η(f(b-p(x-a)),f(pa+(1-p)x))，

f2(x)=η(f(a+(1-p)(b-x)),f(px+(1-p)b)).

证明将式(5)乘以(ξ-x)α-1，然后在[a,ξ]上对x积分，得

(11)

将式(6)乘以(x-ξ)α-1，然后在[ξ，b]上对x积分，得

(12)

f(ξ)≤f(x)+(1-p)η(f(y),f(x))，

(13)

将式(13)乘以(ξ-x)α-1，然后在[a,ξ]上对x积分，得

(14)

f(ξ)≤f(x)+pη(f(y′),f(x))，

(15)

将式(15)乘以(x-ξ)α-1，然后在[ξ,b]上对x积分，得

(16)

推论1若f： [a，b]→R是η凸函数，η在f([a，b])×f([a，b])上有上界Mη，α>0，则有

f(ξ)-2p(1-p)Mη≤K2≤

定理8设f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒贝格可积，|f′|是[a，b]上的η凸函数，α>0，则有

(17)

证明由引理1得

(18)

由|f′|的η凸性,得

|f′(ta+(1-t)b)|≤

|f′(a)|+(1-t)η(|f′(b)|,|f′(a)|)，

(19)

|f′(ta+(1-t)b)|≤

|f′(b)|+tη(|f′(a)|,|f′(b)|)，

(20)

(21)

综合式(18)和(21)，则式(17)获证.

注3在定理8中，若η(x,y)=x-y，即|f′|是[a，b]上的凸函数，则可得文献[13]的凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.

定理9设f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒贝格可积，|f′|是[a，b]上的η凸函数，0<α≤1，则有

(22)

证明由引理3得

[|f′((1-t)a+tb)|+|f′(ta+(1-t)b)|]dt.

(23)

由|f′|的η凸性得

|f′((1-t)a+tb)|≤

|f′(a)|+tη(|f′(b)|,|f′(a)|)，

|f′((1-t)a+tb)|≤

|f′(b)|+(1-t)η(|f′(a)|,|f′(b)|)，

|f′(ta+(1-t)b)|≤

|f′(a)|+(1-t)η(|f′(b)|,|f′(a)|)，

|f′(ta+(1-t)b)|≤|f′(b)|+tη(|f′(a)|,|f′(b)|)，

将上面4个式子相加并除以2得

|f′((1-t)a+tb)|+|f′(ta+(1-t)b)|≤

η(|f′(b)|,|f′(a)|)).

(24)

综合式(23)和(24)，则式(22)得证.

定理10设f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒贝格可积，|f′|是[a，b]上的η凸函数，α>0，则有

(25)

证明由引理4得

(26)

由|f′|的η凸性得

(27)

η(|f′(b)|,|f′(a)|)]dt=

(28)

综合式(26)～式(28)，则式(25)得证.

注5在定理10中，若η(x,y)=x-y，也即|f′|是[a，b]上的凸函数，则有

{[α+1+2(α+3)p]|f′(a)|+

[3α+7-2(α+3)p]|f′(b)|}.

定理11设f： [a，b]→R在(a，b)上可微，f′在[a，b]上勒贝格可积，|f′|是[a，b]上的η凸函数，α>0，则有

证明利用类似于引理5及定理9的证明方法可证得定理11，此证略.

推论2若f： [a，b]→R是η凸函数，f′在[a，b]上勒贝格可积，|f′|是[a，b]上的η凸函数，α>0，则有

[η(|f′(a)|,|f′(b)|)+η(|f′(b)|,|f′(a)|)].

注6在定理11中，若η(x,y)=x-y，也即|f′|是[a，b]上的凸函数，则有

|pf(a)+(1-p)f(b)-K2|≤

2 结束语

建立了η凸函数的一些积分不等式，推广了通常凸函数的相应结果. 寻找积分隔离η凸函数的Jensen型不等式，以及利用导函数的η凸性进行误差估计，均仿照了通常凸函数的研究方法. 能对已有结果做些改进，得益于证明技巧的提升，包括分别在不同区间上对2个不等式积分，以及利用变量代换改变积分区间. 有关凸函数的其他结果在η凸函数上的移植尚待进一步研究.