《信号与线性系统分析》课程中的一个注解研究

杨利军　王浩

摘 要：傅里叶变换在信号分析中占据着举足轻重的地位，也是《信号与线性系统分析》课程中的重要学习内容，单位冲激函数是该课程的一个基本概念。本文对该课程中关于周期单位冲激函数序列的傅立叶变换进行研究，给出了教学过程中所遇到的问题的求解，对傅里叶变换及傅里叶级数等内容的教学有积极的指导作用。

关键词：周期信号;傅里叶级数;单位冲激函数;傅里叶变换;周期单位冲激函数序列

中图分类号：TN911.6-4;G642 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2018）31-0051-03

An Annotation in the Course of Signal and Linear Systems Analysis

YANG Lijun1 WANG Hao2

（1.College of Mathematics and Statistics， Henan University，Kaifeng Henan 475004;2.College of Textile Engineering and Art， Anhui Agricultural University，Hefei Anhui 360036）

Abstract： Fourier transform plays an important role in signal analysis， also being an important content in the course of Signal and Linear System Analysis. Meanwhile， unit impulse function is a basic concept in this course. This paper studied the Fourier transform of the periodic unit impulse function sequence. Moreover， we provided some discussion of the problem encountered in the teaching of this course， which could be an effective instruction manual for future teaching of the Fourier transform and Fourier series.

Keywords： periodic signal;fourier series;unit impulse function;fourier transform;periodic unit impulse function sequence

《信號与线性系统分析》是理工专业的重要基础课程之一。该课程主要研究确知信号的特性、线性时不变系统的特性、信号通过线性时不变系统的基本分析方法及信号与系统分析方法在某些重要工程领域的应用。随着计算机技术和数字信号处理技术的飞速发展，该课程中一些核心的基本概念和方法，对工程类、信息类专业来说也是十分重要的。本文对该课程中关于周期性单位冲激函数序列的傅立叶变换进行研究，对教学过程中学生普遍存在疑惑的问题进行探讨，该内容对傅里叶变换及傅里叶级数等内容的教学能起到积极的指导作用。

1 傅里叶级数和傅里叶变换

众所周知，对于周期为[T]的周期函数[f（t）]，当其满足狄里赫利（Dirichlet）条件时，可以展开成如式（1）所示的指数型傅里叶级数[1]：

[ft=n=-∞∞FnejnΩt]                         （1）

其中，[Ω=2πT]为基波角频率，[Fn]为傅里叶系数，其求解公式为：

[Fn=1T-T/2T/2fte-jnΩtdtn=0，±1，±2，…]     （2）

对于非周期信号[f（t）]，当其满足绝对可积时，可计算其傅里叶变换：

[Fjω=Fft=-∞∞fte-jωtdt]            （3）

绝对可积是函数傅里叶变换存在的充分条件而非必要条件，引入广义的函数概念后，许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。单位冲激函数[δ（t）]在《信号与系统分析》中是个较为重要的函数，它的引入，使得对周期函数也能进行傅里叶变换，从而对周期函数和非周期函数可以用相同的观点和方法进行分析运算，这给信号和系统分析带来极大便利。需要指出的是，[Fδt=1]，即单位冲激函数的频谱是常数1，常称其为“均匀谱”或“白色频谱”。

2 周期函数的傅里叶变换

考虑一个周期为T的周期函数[fTt]，则信号[fT（t）]可以展开成指数形式的傅里叶级数：

[fTt=n=-∞∞FnejnΩt]                         （4）

式（4）中，[Ω=2πT]是基波角频率，[Fn]是傅里叶系数，其求解公式为：

[Fn=1T-T/2T/2fTte-jnΩtdt]                       （5）

对（4）式的等号两端取傅立叶变换，结合傅里叶变换的线性性质，并考虑到[Fn]不是时间[t]的函数，得

[FfTt=Fn=-∞∞FnejnΩt=n=-∞∞FnFejnΩt=2πn=-∞∞Fnδω-nΩ]        （6）

式（6）表明，周期信号的傅立叶变换（频谱密度）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率[nΩ（n=0，±1，±2，…）]处，其强度为各相应幅度[Fn]的[2π]倍。例如[1]：

求周期为T的单位冲激函数序列[δTt]的傅里叶变换，其中

[δTt=n=-∞∞δt-mT]                   （7）

根据式（6），先求周期性冲激函数序列的傅里叶系数。考虑到函数[δTt]在区间[-T2，T2]只有一个冲激函数[δt]，结合冲激函数的取样性质和式（5）知：

[Fn=1T-T2-T2δTte-jnΩtdt=1T-T2T2δte-jnΩtdt=1T]     （8）

从而得出单位冲激函数序列[δTt]的傅里叶变换为

[FδTt=2πn=-∞∞Fnδω-nΩ=2πTn=-∞∞δω-nΩ=Ωn=-∞∞δω-nΩ]（9）

如果令[δΩω=n=-∞∞δω-nΩ]，则单位冲激函数序列[δTt]的傅里叶变换为：

[FδTt=ΩδΩω]              （10）[ ]

式（10）表明，在时域中，周期为T的单位冲激函数序列[δTt]的傅里叶变换是一个在频域中周期为[Ω]，强度为[Ω]的冲激序列。

每次讲到这个例题，总有学生疑惑，为什么不从冲激函数序列[δTt]的表达式直接入手，利用冲激函数[δ（t）]的傅里叶变换以及傅里叶变换的性质来求解[δTt]的频谱呢？如果直接求解，利用傅立叶变换的线性性质和平移特性，并考虑到[Fδt=1]，可得

[FδTt=m=-∞∞Fδt-mT=m=-∞∞e-jmTω]   （11）

这个结果和例题中得到的结果在形式上差别很大，不免怀疑：两者是一回事吗？在这里，笔者只给出粗略的理论推导。注意到[ΩδΩω]是频域中周期为[Ω]的周期函数，因此根据傅里叶级数理论，可以将其展开成傅里叶级数的形式。其傅里叶系数

[Gn=1Ω-Ω2Ω2ΩδΩωe-jnTωdω=-Ω2Ω2δΩωe-jnTωdω-Ω2Ω2δωe-jnTωdω=1]    （12）

从而周期函数[ΩδΩω]的傅里叶级数为

[ΩδΩω=n=-∞∞Gnejn2πΩω=n=-∞∞ejnTω=n=-∞∞e-jmTω]        （13）

另外，二者的等价性还可以从实验上来进行验证。在式（13）中，分别在[m=-104：104]、[m=-106：106]和[m=-108：108]三种情况下求和，三种情况下周期T均取为π，可得图1、图2和图3。在这几幅图中，给出的均为所得结果的实部图像（虚部的幅值很小可以忽略不计）。由图可知，信号周期为2，符合[Ω=2πT]，且随着m取值范围的扩大，即式（11）中参与叠加的分量增多，信号向上冲击的幅度越大，逐渐趋向于周期为2的冲激函数序列，从而验证了式（11）。

3 结语

本文讨论了《信号与线性系统分析》课程中關于单位冲激函数序列的傅立叶变换求解问题，给出了两种形式的求解过程，并从理论和实验上验证二者的等价性[2]。冲激函数是该课程的基本概念，傅里叶级数和傅里叶变换是该课程的重点学习内容，因此对于周期冲激函数序列的傅立叶变换的研究是十分重要的，对于该课程的教学有一定的指导作用。

参考文献：

[1]吴大正.信号与线性系统分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[2]奥本海姆.信号与系统[M].2版.刘树堂，译.北京：电子工业出版社，2013.