关于提升复变函数与积分变换课堂教学质量的几点思考

【摘要】针对复变函数与积分变换课程教学的现状和存在的问题，结合近三年学生对本人的复变函数与积分变换课堂教学质量的评教结果，本文对“实现知识间有机衔接，能够将新知识、新成果引入课堂”“注重理论在实践中的应用”等五项内容进行了逐项分析，提出了“加强与高等数学的衔接性”“添加一些具体应用实例”和“在课堂上增加新知识、新成果等方面”的具体改进措施；通过分析和反思目前教学中存在的问题，提出了本人在提高课堂教学质量方面的一些认识与思考，给出了有效提升课堂教学质量的几点建议.

【关键词】复变函数与积分变换；课堂教学改革；傅里叶变换；辐角

一、引言

复变函数与积分变换在信号与系统、电路分析基础、自动控制原理等专业课中有着广泛的应用，是我校电子信息工程和自动化等专业的重要基础课.通过学习本课程，可以使学生掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习相关专业课程及实际应用提供必要的数学基础，因此，做好本门课的教学工作十分重要.结合学生对本人近三年的复变函数与积分变换课程教学的评教结果，本文分析了复变函数与积分变换课程教学的现状和存在的问题，总结了几点提高课堂教学质量的经验和体会，希望能对提高复变函数与积分变换课程的教学效果提供一些有益借鉴.

二、复变函数与积分变换的课堂教学现状及改进措施

课堂教学质量评估依据既定的教育目的，系统地搜集课堂教学过程的信息，并对信息进行科学分析，从而对教育者本职工作做出有效判定.课堂教学质量评估可以对教师的教学态度、教学质量、工作能力、业务水平等进行科学有效地鉴定，更能够有效剖析教师课堂教学的情况与优缺点，让教师基于课堂现状，发挥优点，避免缺点，进而形成特色.

我们学校每学期末让学生评价教师的教学效果，评教指标有10项：1.“课程内容熟练，基本理论知识讲解正确无误”，权重为0.15；2.“实现知识间有机衔接，能够将新知识、新成果引入课堂”，权重0.15；3.“注重理论在实践中的应用”，权重0.10；4.内容充实，信息量适当，权重0.10；5.“思路清晰，逻辑性强”，权重0.05；6.“以不同方式充分调动学生学习自主性，教与学互动性强”，权重0.05；7.“语言简练、生动，感染力强”，权重0.05；8.“針对教学内容，合理运用教学方法与手段，且效果好”，权重0.10；9.“注重上下课礼仪，课堂秩序良好，对课堂纪律进行适当管理，且有效”，权重0.10；10.“合理布置作业，批改及时；有固定答疑时间，能够做到有问必答”，权重0.15.

近三年本人每年都讲复变函数与积分变换，根据学校教务系统的统计结果，2012-2013年第一学期，参评学生人数：284，有效参评学生人数：256，对教师总评价分为93.406；2013-2014年第一学期，参评学生人数：519，有效参评学生人数：467，对教师总评价分为94.63；2014-2015年第二学期，参评学生人数：86，有效参评学生人数：78，对教师总评价分为94.833.

下图给出了近三年复变函数与积分变换课程学生对本人的每个单项评教结果.

从近三年的教学总评价结果可以看出，学生对教师的教学评价分值逐年提高，这与教师平时注意进行教学反思，根据经验调整教学内容、加强课堂秩序和纪律管理密不可分.说明了教师的教学改革和实践得到了学生的肯定和认可.

从上面的评教结果也可以看出，学生满意度较低的前四项为：2.“实现知识间有机衔接，能够将新知识、新成果引入课堂”；3.“注重理论在实践中的应用”；4.“内容充实，信息量适当”；10.“合理布置作业，批改及时；有固定答疑时间，能够做到有问必答”.下面分别对这四项进行分析，给出改进措施.另外，尽管学生对课堂秩序和纪律管理表示肯定（见第9项评教结果），但本人认为还有提升空间，也将对之进行分析，讨论改进措施.

（一）“实现知识间有机衔接，能够将新知识、新成果引入课堂”

复变函数与积分变换是一门承上启下的课程，它是高等数学的后继课程，是高等数学的继续和发展.同时，复变函数与积分变换在信号与系统等后续课程中有着非常广泛的应用.因此，在本门课的教学中我们尽量做到知识间的有机衔接[1].

复变函数与高等数学的联系主要有两方面：（1）由于复变函数是高等数学在复数域中的推广，因而，在内容上有很多相似之处，比如，复变函数中极限、连续、导数、积分、级数等概念是高等数学中相应内容的推广.它们之间有联系也有区别，必须让学生弄清这种联系和区别.比如，在讲授复变函数中的指数函数、对数函数和三角函数等初等函数时，通过与高等数学中的初等函数对比，让学生了解它们的相同性质及深刻的差异.（2）复变函数中经常用到高等数学的知识和内容，学生对高等数学知识的掌握程度直接影响着其对复变函数的学习，比如，复变函数连续和可导都可以转化为对两个二元实变函数连续和可导的判定.因此，有必要要求学生将高等数学教材作为学习复变函数的重要参考书，随时查阅对比.

复变函数与积分变换和后续课程的衔接也比较紧密，因此，讲解积分变换部分时对后续课程要用到的内容详细阐述.比如，部分分式法在积分变换书中内容很少，只有一个简单例子，但它是信号与系统、电路分析基础等专业课中求解拉普拉斯逆变换的重要方法.因此，为了方便学生后面的学习，我们对部分分式法进行了详细讲解.此外，虽然在积分变换教材中初值定理与终值定理是选讲内容，但由于它们在自动控制原理里面有重要应用，我们也讲了这两个定理.

复变函数与积分变换教学内容多，而课时少，因此，对新知识、新成果的介绍要精炼.为此，教师平时要多了解新知识和新成果，注重这方面的知识积累.比如，讲傅里叶变换时可以简单说明傅里叶变换在分析处理信号时有一定的局限性，它只能给出信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知，因此，两个时域相差很大的信号，可能频谱图一样.而后来发展起来的小波变换在一定程度上克服了傅里叶变换的这一弱点.为使学生有直观认识及节省时间，辅以实例图片说明.

（二）“注重理论在实践中的应用”

按照目前的课程大纲和教材内容安排，在教学过程中，本人对复变函数与积分变换的应用主要是详细讲解了用拉普拉斯变换求解常微分方程初（边）值问题和积分方程.讲解复球面时，通过观看《维度：数学漫步（Dimensions：a walk through mathematics）》视频，让学生了解地图绘制术之父托勒密利用球极投影绘制地图的方法及方法的两个主要特点—保角性和保圆性[2].

在今后的教学过程中将增加一些应用实例.例如，在讲复数的辐角时，可以用照相机的例子来说明，通过对比普通相机和数码相机照出的照片可以发现，数码照相机照出的照片更有立体感，原因在于普通相机只反映出复数的模（距离），而数码相机除了模之外，还反映出每个点的辐角（位置），因此，也就有了立体感.在讲柯西积分公式的性质时，让学生思考“如何测量地心温度”.启发学生可以通过测得地球表面各点的温度，结合柯西积分公式，推导出地心温度.可以用工程实例推导傅里叶级数.在工程中经常会用到的一些方波、三角波、锯齿波等信号，这些信号波没有精确的数学模型，怎么表示这些信号呢？众所周知，正弦波是一种规则信号，有精确的数学模型.因此，通过用Matlab仿真说明方波、三角波、锯齿波等可以由正弦波合成，进而说明所有工程中的周期函数都可以由一系列三角函数的线性组合来逼近，这就是傅里叶级数[3].

（三）“内容充实，信息量适当”

学生普遍反映复变函数部分定理多，需要理解的概念和定义多，内容枯燥.积分变换部分内容多是变换和推导公式，抽象难懂[4].近几年的教学中，我们对教学内容逐步进行适当调整，主要是淡化理论推导，根据学生的实际水平和学时，适当删减理论性较强而专业实用性较弱的内容和方法雷同的烦琐定理证明，只保留体现数学思想方法的核心定理的证明.用宝贵的课时讲好重要内容，使学生真正消化重点内容和体会研究问题的思想方法.比如，映射是为第六章共形映射做准备的，而我们的教学大纲中不包含共形映射，故略去了映射的概念.类似的，狄拉克函数的一些复杂的性质、复变函数在无穷远点的性态、留数在定积分计算上的应用均略去不讲.对于原函数存在定理，由于与高等数学中内容相近，故只强调结论成立的条件，略去证明的讲解.由于洛朗展开定理的证明和泰勒展开定理的证明类似，故只做简单介绍.由于复变函数幂级数的阿贝尔定理和收敛半径求法和高等数学中的内容类似，故只做简单介绍，不给详细证明.

在今后的教学中我们将沿着淡化理论推导、重视实际应用的思路，继续调整教学内容，达到既方便学生学习又完成既定教学任务的目标.

（四）“合理布置作业，批改及时；有固定答疑时间，能够做到有问必答”

为了方便学生学习复变函数与积分变换，2007年倪培溉教授编写了《复变函数与积分变换练习册》.由于教学内容变更和习题册上部分题目难度较大，在2013年7月本人和倪培溉教授向校教材科申请了教材编写计划，重新编写习题册.增加重点、难点的内容练习，删减一些不重要的、和高等数学重复的内容.新修改的习题册于2014年1月投入使用，学生普遍反映良好.学生的作业一直按习题册的题目布置，习题冊上的每次作业对应一节课，每节课结束本人都给学生布置作业，因此，能做到作业布置合理.

主要问题是“有固定答疑时间，能够做到有问必答”.由于复变函数与积分变换课程内容多，而课时有限，因此，习题课上只能选择重点、难点题目和学生普遍存疑的题目进行讲解，每道题目都详细讲解时间不允许.而班级的人数较多，课堂上很难做到对每名学生的学习困难点进行有针对性的指导.尽管每学期都和学生约定固定答疑时间（绝大多数学生没有课的时间段）和地点，并鼓励学生利用课间和课后答疑，但是很少有学生来问题.

为了方便答疑，本学期本人让每个班的班长都建了一个答疑微信群，学生复习功课和做作业过程中可以利用微信随时提出问题.学生有问题一般会拍照片传到群里，本人写好答案传回群里，答案不容易解释清楚时，会录个带有声音的视频传到群里.遇到本人在上课或在开会不能及时回复的情况，其他同学会帮忙回复.经过一个学期的实践，发现效果很好，可以做到一举三得，一方面，学生有问题能够得到及时答复；另一方面，避免了重复问同一个问题，学生在问问题之前一般会先翻看其他学生问过的问题；再有就是群里的其他同学也能看到问题的提出与解答过程，对其有检验和启示作用.

（五）“课堂秩序良好，对课堂纪律进行适当管理，且有效”

由于学生人数较多和课时有限，很难对课堂上的每一名学生进行逐一管理，存在学生缺课和迟到的现象.近三年本人对学生进行严格考勤，通过考勤和交作业情况确定学生是否有资格参加期末考试，基本上每个班都有2～3名学生由于作业和出勤不到总次数的三分之一而被取消参加期末考试的资格.有资格参加考试的学生会比较珍惜机会，好好准备考试.从本人的经验来看，严格管理非但不会影响学生评教的分数，反而分数在不断提高.这说明学生更希望教师对其学习进行督促.从近三年期末考试学生的及格率可以看出，本人的课堂管理是有效的，2012—2013年第一学期期末考试及格率为62.1%，2013—2014年第一学期期末考试及格率为63.5%，2014—2015年第二学期期末考试及格率为72.1%.

智能手机和互联网的快速发展给课堂管理带来新的难题.很多学生在课堂上玩手机，不认真听课.有的学生甚至上课时只带手机，不带教材.教师只在课堂上泛泛地提醒收效不大.本人准备在今后上课时推行“无手机课堂”：上课前先让班长或学习委员把手机收起来.

三、关于加强课堂管理的几点建议

根据本人近几年的教学经验，对加强复变函数与积分变换课程课堂管理提出几点建议，希望能受到有关部门的关注，进而提出有效的改进措施.

1.建议复变函数与积分变换课程安排在大二第一学期.目前复变函数与积分变换课程安排在大二的不同学期，一部分学生是大二第一学期上，另一部分学生是大二第二学期上.根据我们的教学经验应该安排在大二第一学期，理由有二：（1）复变函数是高等数学的后继课程，是复数域上的高等数学，很多的基本概念和定理都与高等数学类似，比如，极限、导数、级数，有一些复变函数的定理要用到高等数学中的结论，比如，复变函数可导的充要条件和复数项级数收敛的充要条件都要利用实变函数的结论给出来，大一第二学期刚学完高等数学，在大二第一学期接着学复变函数，学生在学习新知识时，复习了旧知识，能起到温故而知新的效果；（2）积分变换是通信与自动化专业基础课信号与系统的基础，信号与系统课中要用到傅里叶变换和拉普拉斯变换的很多知识.信号与系统安排在大二第二学期，因此，复变函数与积分变换应该安排在大二第一学期.

2.建议后续课程教师和复变函数与积分变换的教师在一起做教学研讨，讨论积分变换部分应该怎么讲.原因有二：（1）数学教师在讲积分变换课程时不知道后续的课程到底要用到哪些内容，哪些知识在后续课程里有重要应用，以及怎么用的问题；（2）数学教师在讲傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用时只讲了在微（积）分方程中的应用，不了解实际应用，希望专业课教师能在这方面给予一些简单的应用实例.

3.建议减少学生重修次数.目前我们学校的学生可以反复重修同一门课，导致一部分学生不重视重修的机会.很多重修的学生不去上课，不交作业，大约有三分之一的人甚至不去参加考试，这样导致了教学资源的极大浪费.建议减少学生重修次数，每门课程只给两到三次重修机会.

4.建议取消教室的WIFI.教室的WIFI对学生学习起到的正面作用有限，而副作用极大.有了WIFI，学生更方便上课看手机.很多学生上课时间用手机看视频、玩游戏，不学习现象更加严重.为此，教师对学生要反复强调不要看手机，甚至要班长把一个班学生的手机收集到一起.

【参考文献】

[1]李景和.复变函数与积分变换课程的教学改革与实践[J].教学研究，2013（4）：92-95.

[2]董巧丽.CDIO模式下复变函数与积分变换课程教学改革的探讨[J].数学学习与研究，2015（7）：13-14.

[3]肖亚峰，侯强，杨明.复变函数与积分变换课堂教学方法改革研究[J].中北大学学报（社会科学版），2007（23）：160-162.

[4]裴定东，郭玉琴.关于复变函数与积分变换课堂教学的思考[J].高等数学研究，2009（4）：93-95.