杆网系统基于高斯原理的动力学建模*

刘延柱

(上海交通大学 工程力学系, 上海 200240)

引言

利用可展网架式空间结构的大型航天器已成为航天技术中的前沿课题[1].由多个弹性细杆组成的杆网系统是带有多个回路的非树多体系统.其动力学模型可利用多柔体系统动力学的各种方法建立,其中利用高斯最小拘束原理的建模方法具有独特优点[2-5].国内的动力学教材对高斯原理建模方法有较详细叙述[6,7].高斯原理的特点在于,无需建立和求解动力学微分方程,而是通过寻求函数极值方法确定系统的运动规律.即在任意时刻,对系统的位形和速度相同但加速度不同的各种可能运动进行比较,以拘束函数取极小值作为真实运动的判断依据.高斯原理建模方法的形式统一,能适应多体系统的拓扑结构或约束条件的改变.对于带控制的多体系统,动力学分析与系统的优化可结合进行.高斯原理在上世纪70年代已被用于机器人的动力学分析[8,9].近期也用于多柔体系统[10,11]及弹性细杆的建模[12-15].本文讨论空间中任意数量弹性细杆组成任意拓扑结构的网架系统,叙述其基于高斯原理的动力学建模方法.利用结构图表示杆网的联结状况.采用Kirchhoff的弹性杆模型,将杆件的变形转化为刚性截面沿中心线的姿态变化,其大变形的幅度不受限制.以沿杆中心线的弧坐标为自变量,表示截面姿态的参数为未知变量,列写每个杆件的拘束函数.如忽略细长杆件的扭矩和扭率的相应项,则杆件的拘束函数由杆中心线的形状完全确定.将各杆件的拘束函数叠加为系统的总拘束函数.根据高斯原理,以拘束函数的最小值条件从各种可能运动中确定系统的真实运动.在网架结构的结点处,联结铰对杆件的约束条件可在给定各杆件的可能运动时预先给予满足.如杆件充分柔软,允许忽略其抗弯和抗扭刚度但考虑拉伸变形,则转化为由柔索组成的索网系统.文中以5杆系统为例说明具体的建模过程.

1 杆网系统的结构和运动学分析

图1 五杆系统的结构图Fig.1 Structure graph of 5-rods system

j1234α(j)1145∕α(j)22∕∕∕α(j)33∕∕∕β(j)1∕123β(j)2∕∕∕4β(j)3∕∕∕5

为简化表达,省略上述符号中用下标表示的杆件标号i,将(O0-ξηζ)的原点移至P点,设(P-ξηζ)绕ξ轴转过ψ角为(P-x0y0z0),绕y0轴转过ϑ角为截面的主轴坐标系(P-xyz),z轴为截面的法线轴.忽略截面的剪切变形,设(P-xyz)绕z轴转过φ角后与截面固定,记作(P-xsyszs).ψ,ϑ,φ为确定截面姿态的卡尔丹角(图3) 对于圆截面情形,(P-xyz)与(P-xsyszs)均为截面的主轴坐标系.截面坐标系(P-xsyszs)的角位移对弧坐标s或时间t的变化率分别为杆的弯扭度和相对B0的角速度,记作ωS和ΩS.(P-xyz)的角位移对s或t的变化率记作ω和Ω.文中分别以撇号和点号表示对s或t的偏导数,以下标k=1,2,3表示各矢量在(P-xyz)中的投影,得到：

(1)

图2 第i杆的位置坐标Fig.2 Position coordinates of i-th rod

图3 表示截面姿态的卡尔丹角Fig.3 Cardan′s angles of the attitude of cross section

其中ωS1,ωS2为杆在P点处的曲率,ωS3为扭率.准坐标φ定义为：

(2)

设r(s,t)为P点相对O0点的矢径,沿P点处的中心线取弧长为Δs的微元段PQ,对应的矢径增量为Δr=Δsez.ez为z轴的基矢量,等于矢径r对弧坐标s的偏导数：

r′=ez

(3)

杆中心线几何形状由P点在(O0-ξηζ)中的笛卡尔坐标ξ(s,t),η(s,t),ζ(s,t)确定.矢径r(s,t)表示为：

r(s,t)=ξ(s,t)eξ+η(s,t)eη+ζ(s,t)eζ

(4)

根据式(3),r′在(O0-ξηζ)中的投影ξ′,η′,ζ′分别等于基矢量ez相对ξ,η,ζ各轴的方向余弦

ξ′=sinϑ,η′=-sinψcosϑ,ζ′=cosψcosϑ

(5)

杆中心线几何形状给定以后,上式可用于确定杆截面的姿态角ϑ(s,t)和ψ(s,t)：

ϑ=arcsinξ′,ψ=arctan(-η′/ζ′)

(6)

(7)

2 杆网系统的拘束

应用高斯原理讨论弹性杆动力学问题时,以时间t为自变量,弧坐标si为计算Ri杆拘束函数的积分变量.省略Ri杆的下标i,设ρ,S,J分别为杆的密度、截面积及单位长度的惯量张量.J在(P-xyz)中的坐标阵为J=diag(J1J1J3),其中J1=ρI,J3=ρI0,I,I0为截面的惯量矩和极惯量矩.设f为杆的单位长度分布力,忽略分布力矩,F和M为P点处截面作用力的主矢和主矩.在Kirchhoff条件限制下,中心线无拉伸变形,主矢F被视为独立变量.主矩遵循线性本构关系M=D·ωs,由杆的弯扭度ωS确定.刚度D在(P-xyz)中的坐标阵为D=diag(AAC),其中A=EI,C=GI0分别为抗弯刚度和抗扭刚度,E,G为杆的杨氏模量和剪切模量.M在(P-xyz)中的投影为：

M1=AωS1,M2=AωS2,M3=CωS3

(8)

(9)

其中ΔF,ΔM为微元段PQ上作用的内力和力矩增量(图4).

图4 弹性杆微元段的受力状态Fig.4 Forces on the infinitesimal segment of rod

(10)

f=ρS(g+g0)=-2δρSg0eζ

(11)

恢复各符号与Ri杆相关的下标i,将Ri杆微元段的拘束写作ΔZi=ΓiΔsi.将式(10),(11)代入式(9),利用式(3)令Δri=eizΔsi,导出函数Γi：

(12)

(13)

将所有杆件的拘束求和,得到杆网系统的总拘束：

(14)

此拘束函数是形式上与杆网约束状态无关的独立变量.根据杆件可能运动计算拘束函数寻求最小值时,结点的约束条件可在供选择的可能运动中预先给予满足.

3 索网系统的拘束

如系统中的杆件充分柔软,忽略其抗弯和抗扭刚度即简化为柔索.杆网系统简化为由柔索组成的索网系统.如需考虑柔索的拉伸变形,则Kirchhoff杆的中心线无拉伸条件不再成立.在柔索中心线的任意点P处,取长度为Δs的柔索微元段PQ(图5).令式(9)中的惯量张量J为零,略去弯矩和扭矩,其拘束函数ΔZ简化为：

(15)

图5 柔索微元段的受力状态Fig.5 Forces on the infinitesimal segment of flexible cable

其中速度v由式(7)确定.截面作用力的主矢F即沿柔索中心线切线的张力T(图4).基于胡克定律,T与柔索的拉伸应变ε成正比：

F=T=Tez,T=ESε

(16)

变形后的矢径增量为Δr=(1+ε)ezΔs.令Δs→0,化作：

r′=(1+ε)ez

(17)

令上式各项与ez点积,将式(5)代入,导出：

ε=ξ′sinϑ-η′sinψcosϑ+ζ′cosψcosϑ-1

(18)

恢复下标i,将柔索Ri的微元段拘束写作ΔZi=ΓiΔsi导出：

(19)

4 约束条件

r0j=rαk(j)(0,t)=rβk(j)(lβk(j),t)

(20)

如为圆柱铰约束,除式(20)以外,约束条件还应作些补充.即结点联结的所有杆在结点处的中心线切线均应与圆柱铰的转轴正交.切线基矢量在(O0-ξηζ)中的投影可利用式(3),(4)导出.如为固定端约束,还应再增加中心线切线的夹角保持常值不变的约束条件.

以图1表示的杆网系统为例,如所有铰均为球铰,其约束条件为：

O1：r1(0,t)=r2(0,t)=r3(0,t)

O2：r4(0,t)=r1(l1,t)

O3：r5(0,t)=r2(l2,t)

O4：r3(l3,t)=r4(l4,t)=r5(l5,t)

如所有铰均为圆柱铰,须增加以下约束条件:

O1：

O2,O3：无附加条件.

O4：

如所有铰均为固定端,再增加以下约束条件:

O1：

O4：

其中γ12,γ23,γ31分别为O1铰处R1杆与R2杆、R2杆与R3杆、R3杆与R1杆之间夹角的正弦,γ41为O2铰处R4杆与R1杆之间夹角的正弦,γ52为O3铰处R5杆与R2杆之间夹角的正弦,γ34,γ45,γ53分别为O4铰处R3杆与R4杆、R4杆与R5杆、R5杆与R3杆之间夹角的正弦.

5 结论

(1)高斯最小拘束原理可用于对多个弹性细杆组成的杆网系统建立动力学模型.其特点是应用变分方法直接得出运动规律,而无需建立和求解微分方程.其形式统一,不随杆网系统拓扑结构和约束条件的变化而改变.对于带控制的多体系统,有利于结合系统的优化进行.

(2)文中对任意数量弹性细杆以任意方式联结的杆网系统建立基于高斯原理的数学模型.列写杆网的拘束函数时,如忽略充分细长杆件的扭矩和扭率的相应项,则拘束函数由杆中心线的运动完全确定.

(3)杆件端部必须满足联结铰的约束条件,此约束条件可在各杆件供选择的可能运动中预先给予满足.无需在寻求最小拘束过程中再予考虑.

(4)忽略杆件的抗弯和抗扭刚度,但考虑拉伸变形,则转化为由柔索组成的索网系统的数学模型.

(5)对于杆件或柔索超大变形情形,可采用欧拉参数代替角度坐标建立系统的拘束函数.