基于新课程理念下的独立重复试验的教学设计

郑建平 王文彬

摘 要：数学教学在本质上是数学思维活动过程的教学，数学教学不仅是要传授知识，更重要的是要通过数学教学让学生掌握科学的学习方式、学会学习、学会创造，而这只有按照数学知识产生的思维过程组织起探究性的课堂教学才有可能实现。

关键词：独立重复试验；知识的联系；思维过程

一、 教材分析

（一） 从知识的联系看教材的地位和作用

独立重复试验是指在相同条件下重复地、彼此独立地进行的一种试验。在这种试验中，每次试验的结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且在任何一次试验中该事件发生的概率都是相同的。在推导n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式時需要用到概率加、乘运算及组合知识。另外，在n次独立重复试验中某事件发生k（k=0，1，2，…，n）次的概率，组成了离散型随机变量的一种重要概率分布——二项分布。可见，独立重复试验是古典概率知识的复习与综合，与二项式定理之间也有着密切的联系。

（二） 从数学方法论的角度看知识产生的思维过程

从数学方法论的角度看知识产生的思维过程，一是要看知识是为解决什么问题而提出来的，即看知识产生的必要性；二是要看知识是怎样被提出、被猜测、被证明出来的，即看知识产生的合理性。

1. 必要性

由于现实生活中存在着许多独立重复试验问题，因而有必要对这些问题进行分析，抓住它们共同的本质特征，抽象概括出一个具有一般性的命题，如果能够证明这个命题正确，那么我们就可获得对这一类问题的一般解法。所以引进独立重复试验概率模型，从数学方法论角度说是一种追求简单性美的表现。

2. 合理性

通过试验，从特殊到一般，我们可以猜测n次独立重复试验某事件发生k次的概率为Pn（k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），并证明它的正确性。

之所以要发掘出知识产生的思维过程，这是因为数学教学在本质上是数学思维活动过程的教学，数学教学不仅是要传授知识，更重要的是要通过数学教学让学生掌握科学的学习方式、学会学习、学会创造，而这只有按照数学知识产生的思维过程组织起探究性的课堂教学才有可能实现。

（三） 目标分析

根据以上我们对教材的分析和探究性学习的特点，本节课的教学目标可作如下的定位：

1. 知识目标

识记公式Pn（k），了解公式的发现过程。

2. 能力目标

（1）了解数学知识产生的方法论背景，提高发现问题、提出问题和解决问题的能力；（2）通过由特殊到一般、由具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象与概括等逻辑思维能力；（3）发展学生的创新意识和创新能力。

3. 情感目标

（1）以公式Pn（k）的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情，培养严谨的科学态度和敢于实践、勇于探索的精神；（2）体验公式的简洁美及公式与二项式定理之间的和谐性美，培养学生学习数学的兴趣。

（四） 重点与难点分析

重点是组织学生积极地、主动地、有效地参与独立重复试验这个概率模型的建构过程。

难点是按数学研究的方式方法思考问题以及公式Pn（k）的证明。

二、 教学设计

整个教学设计思路是：围绕公式Pn（k）产生的思维过程，即公式产生的必要性和合理性设计问题或讨论题，激发学生探究的欲望，让学生以主人翁的姿态和研究者、探索者的身份参与公式的提出，公式的猜测、证明和应用的全过程。具体分下面几个环节：

（一） 提出研究课题或研究方向

首先让学生独立完成下面一道题：

某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他射击4次恰好击中3次的概率是多少？

经反馈调整为：设“这名射手第i次射击，击中目标”为事件Ai（i=1，2，3，4），该射手射击4次击中3次共有下面4种情况：A1A2A3A4，A1A2A3A4，A1A2A3A4，A1A2A3A4

由于各次射击是否击中相互之间没有影响，故P（A1A2A3A4）=0.93（1-0.9），其他三个事件发生的概率与之相等，而这四个事件是彼此互斥的，故他射击4次恰好击中3次的概率为P=4×0.93（1-0.9）≈0.29.

接着讨论以下四个问题：

问题1 这名射手射击4次，4次都击中目标有可能吗？请你算一算这个事件发生的概率有多大；这名射手射击4次，1次都未击中目标有可能吗？这个事件发生的概率有多大？

问题2 这名射手射击4次，击中目标的次数有多少种可能？

【说明】从多方面弄清这样一个特殊问题很关键，它是下面进一步探索的基础。

（二） 解决问题

问题 在特殊命题的基础上你能提出一个一般性的命题吗？

通过个别提问进行反馈，并将结果调整为

命题：设某一事件A在1次试验中发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）。

【设计意图】培养学生抽象概括的能力和构造数学命题的能力。这是一种数学研究能力，也是一种数学创造能力。

（三） 知识剖析

问题1 独立重复试验的含义是什么？

问题2 公式有什么作用？

问题3 研究一下这张逻辑表，看你能得出什么结论？

通过讨论，第一，认识到它可方便利用对立事件求解；第二，由pn（0）+pn（1）+pn（2）+…+pn（n）=1可发现它与二项式定理之间的一种和谐性的美：[（1-p）+p]n=1。

【说明】知识剖析是教学的一个重要环节，它对于进一步弄清知识的本质，促使程序性知识向策略性知识转化有着重要意义。

（四） 课堂小结

让学生谈感想。

（五） 作业布置

课本P135习题10.7 8，9，10

探索题：某人向某个目标射击，直到击中目标为止，每次射击击中目标的概率都为13，求证这样无限地继续下去，目标迟早会被击中。

由本题你能概括出什么结论？

三、 教学实施中需注意的几点

（一） 要注意让学生充分参与，教师要转变角色

对于所设计的教学过程，能否取得预期的、理想的效果，关键在于学生能否充分参与教学过程。为此，首先必须充分调动学生参与的积极性，鼓励学生在参与的实践中，敢于面对困难，通过不断探索解决问题的新途径去克服困难；其次，在探究过程中，教师要把自己当成一名初学者，退到和学生在同一起点上来思考问题、分析问题，共同体验科学探究的过程。这样才有可能在教师的教与学生的学，数学思想方法与数学知识之间的相互作用，以及学生与知识之间的情感交流形成一个立体化的、纵横交错的信息流通网络，进而产生一种整体效应，使学生在知、情、意等各个方面得到全面和谐的发展。

（二） 要注意学法的指导

学法指导是素质教育的一个重要要求，要教会学生科学的学习方式、方法，既授人以鱼，又教人以渔，在解决问题的过程中关键是要为学生提供思维策略和思维方法的指导。

作者简介：

郑建平，王文彬，江西省抚州市，江西抚州一中。