浅谈立体几何中的作图

杜小许

立体几何是高中数学中一个重要的组成部分，在高考试卷中的分值也很高，整体难度不会太大，但是对于空间思维相对较弱的学生来说，这就是一个无法逾越的难题，怎么提高学生的空间思维---——学会作图，一般的作图学生能听懂，但是他们只是知其然而不知其所以然，他们不知道作图的理论依据是什么，下面就从几个案例中来探索立体几何中的一些作图的依据，希望在增加对立体几何概念的理解、提高空间思维能力方面起抛砖引玉的作用。

类型一 利用公理和定理作截面图

例1.如图，正方体中，分别在上，作过三点的截面

分析：设过三点的截面为根据公理2可知，

两平面相交成一交线，而且确定一条直线只需两个点，，连接使得

所以是平面与平面的公共点，连接同理是平面与平面的公共点，连接连接所以截面为五边形

类型二 利用直线与平面平行的性质定理作平行线

例2.如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点，求证：AP∥平面BEF；

分析：要证明AP∥平面BEF，只需证明AP平行平面BEF上的一条直线，证明之前要作出这条直线，怎么作出的直线就一定平行呢？根据直线与平面平行的性质定理（一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行）可知，只需过AP作一平面与平面BEF相交，则AP就一定会平行这条交线，所以只需连接AC交BE于点O，连接OF即可.

类型三 利用平面与平面垂直作平面的垂线

例3.已知三棱锥A-BCD中，AB=BC=BC=BD=CD=2，AD=1，则D与平面ABC的距离为。

分析：要用传统方法来解决这个问题，就必须准确地作出点D到平面ABC的垂线，当垂足在平面内部时，怎么作呢？可以根据平面与平面垂直的性质定理（如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面），首先過点D作一平面垂直于平面ABC，然后过点D作交线的垂线，则垂线的长即是我们要找的点D到平面ABC的距离。

解：作BC的中点E，连接AE，DE，过点D作AE的垂线，垂足是点O。

通过上述案例我们可以发现，如果能快速、准确地作出需要的辅助线，那么就可以很简便的利用传统方法解决立体几何问题，而且计算量很小，同时也无形中增强了空间思维能力，切实提高解决立体几何问题的能力。