整活教材 巧挖思想

钱晓瑜

[摘 要]新课标要求教师活用教材.研究整合教材的方法有实际意义.

[关键词]教材；整合；挖掘

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0022-03

数学思想在学习过程中的体现并非一朝一夕就能做到，而是循序渐进的过程.课本资源是有限而无尽的，作为一线的数学教师，要做个有心人，不断研究教材、研究学生，以课本提供的资源为线索，挖掘教材深度，拓宽教材宽度，对课本内容进行适当的整合，层层渗入数学思想方法，让学生熟悉、领会、内化然后运用它们，使学生的知识面得以拓宽，思维得以激活，进而培养学生良好的思维品质.

笔者对整合苏教版数学七年级上册《2.4 绝对值与相反数》第1课时和第3课时的内容，谈谈自己的思考与做法.

一、巧用“实际问题”渗透学以致用思想

对刚升入初一的学生来说，“绝对值”是一个全新的概念，难以理解和接受，其原因主要有以下两个方面.

第一，绝对值的概念是从形的角度阐述的.即数轴上表示一个数的点与原点的距离叫作这个数的绝对值.它是学生初步感受数形结合的载体.

第二，负数的比较大小、有理数的运算等都是以绝对值的知识为基础.

笔者在日常教学中发现，不仅初一学生，不易领会和掌握，就是许多初三学生也没有很好理解.其原因就在于，不理解绝对值的本质是距离，是从现实生活中一些不考虑正、负性而只考虑具体数值的问题中提炼出来的.为帮助学生体验数学来源于日常生活，首先创设两个问题情境.

问题一：甲、乙两辆卡车从同一处[O]出发，分别向南、北方向行驶10千米，到达A、B两处.

（1）你能用有理数表示甲、乙两辆卡车的行驶情况吗？

（2）这两个有理数之间有什么关系？

（3）你能在数轴上表示出这两个有理数吗？

（4）若每辆卡车行驶一千米耗油0.13升，则甲、乙两辆车分别耗油多少升？

问题二：国际上比赛用的足球重量420～445克.6个足球质量检测结果（超过规定质量的克数记做正数，不足的克数记做负数）如下：

[-4]，[+5]，[+7]，[-3]，[+5]，[-2].

你能指出哪一个足球质量好一些？为什么？

【评析】问题一主要是复习数轴、正负数的知识，学生可独立完成，其中第（4）问引导学生思考计算每辆汽车的耗油量与什么有关，与什么无关.问题二启发学生认识如何衡量质量的好坏.主要是看与标准质量的差距，差距越小，质量就越好，而与超过标准还是不足标准没有关系.

学生通过笔者创设的两个问题，意识到我们日常生活中有些问题只关注具体数值，而不考虑其正负性.因此在数学中就需要有一个新的名称，你能否尝试给出新的名称呢？（引出课题）

借助创设的两个问题引入绝对值，一方面利于学生体验绝对值知识产生的背景，它是生活问题的数学化；另一方面向学生渗透学以致用的思想，引导学生用所学的知识解决生活中的问题，展现数学的价值.同时还借助问题，唤起学生的思考欲望，引发学生的求知欲，使学生对“距离”产生深刻印象，头脑中初步感悟“绝对值就等同于距离”，为绝对值概念的提出埋下伏笔.

二、巧用“图形”渗透分类思想

绝对值概念的本质是“距离”，既体现几何意义，又隐含着绝对值的非负性.“距离”是学生认知结构中已有的概念，由于学生抽象思维能力还不强，在解决有关绝对值问题时经常遗漏另一种情形.为突破对值教学的难点，教学时借助数轴，让学生从数轴上直观地观察到“到原点的距离有原点两侧的两种情形”，挖掘分类思想.为帮助学生从“形”的角度认识绝对值的几何意义.设计如下.

在问题一中，甲、乙两车行驶的距离都是10千米，在数轴上的[A]、[B]兩点到原点的距离都是[10].即规定[+10]的绝对值是[10]，[-10]的绝对值是[10].如图.

由于[+10]和[-10]的绝对值相等，引导学生借助数轴给出什么是一个数的绝对值.通过思考、讨论、归纳出绝对值的概念：“数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值.”接着出示问题三.

问题三：

（1）数轴上表示[-1]，[1]，[3]，[-3]，[-7]，[7]，[0]到原点的距离各是多少？

（2）在数轴上画出与原点距离是[2]和[4.5]的点，这些点表示的数有什么特点？

（3）对上述（1）（2）如何借助绝对值的概念求距离？

（4）绝对值的本质是什么？是谁与谁的距离？这样的距离是一个什么数？一个数的绝对值是一个什么数？

通过问题串，引导学生分析、归纳数轴上任意一点都与原点之间存在距离.不管这个数为正数、零或负数，距离总是大于或等于零的，也就是一个数的绝对值是一个非负数.第（2）题通过画数轴上的点来观察点的位置，顺利地把抽象的分类讨论通过简单的作图来完成，突破难点，从而让学生深刻理解“已知一个数的绝对值求这个数，则这个数存在正、负两种情形，在没有说明是正数还是负数的情况下，需分类讨论”，这也是对绝对值的逆向思维.第（3）题求距离问题实质就是求绝对值问题，加深对绝对值的概念理解.为巩固概念，安排练习l.

练习1：

（1）[-3.2]的绝对值是 ； [74]的绝对值是 ；

[0]的绝对值是 ； [5]的绝对值是 ；[-5]的绝对值是 .

（2）绝对值等于[9]的正数是 ；绝对值等于[1.5]的数是 ；绝对值等于[3]的负数是 .

（3）数轴上到[-1]的距离等于[3]的数有 个，分别表示的数是 .

（4）判断：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等.（ ）

【评析】如此对绝对值几何意义的教学设计，形象地将“绝对值”与“距离”紧密联系，直观地揭示绝对值的本质就是距离，从而使学生更透彻地理解绝对值概念，领悟在“形”中的分类思想.

三、巧用“数学语言”渗透转化思想

绝对值符号的掌握，也是教学的重点，首先引导学生讨论你会用什么符号来表示绝对值？对学生的见解及时给予肯定；接着介绍教材上绝对值的符号表示方法“[ ]”，即数[a]的绝对值用[a]表示，渗透符号表述思想方法；然后再借助如图所示的数轴，进一步揭示[a≥0]，随后出示问题四.

问题四：

（1）[-3]、[+2]、[-7]是什么意思？能用语言叙述吗？并求出结果.

（2）[-61]、[23]的绝对值是什么意思？怎样用符号表示？

（3）计算：① [-3++2] ② [-7--3] ③ [2-π]

（4）已知[x=6]，求[x]值.

（5）已知[a+3+b-2=0]，则[a=] ，[b=] .

【评析】问题⑴、（2）是绝对值的文字语言与符号语言之间的互化，强化学生对绝对值概念及符号的掌握.（3）中①②是含绝对值的计算问题，需先求绝对值再计算；③是求绝对值，需把[2-π]看成一个整体，它的绝对值是[-2-π]；（4）是将“已知一个数的绝对值，求这个数”这一问题通过符号语言表达出来，这样的数有两个.若有困难，借助数轴完成；（5）是对“绝对值的非负性”的应用，即如果两个非负数的和等于零，那么这两个数都等于零.

数学符号语言是数学思维的外在表显形式，它反映了数学思维的特征，简化了数学思维的过程，是数学思维的载体.通过符号语言展开联想，有利于形象思维的发展；正确运用符号语言，有利于抽象思维的发展；熟练运用符号语言推理，有利于创新思维的发展.

问题五：

（1）字母[a]表示一个数，[-a]表示什么？[-a]一定是负数吗？

（2）如果[a=a]，那么[a]可能是正数、零、负数？

（3）如果[a=-a]，那么[a]可能是正数、零、负数？

（4）[a] = （填“正数”、“负数”、“非负数”、“非正数”或者“[0]”）

【评析】学生经历从特殊到一般，总结出[a=a，（a>0）0，（a=0）-a，（a<0）]，把绝对值的代数意义转化为符号语言.去掉绝对值符号需根据绝对值的意义.即当[a]的范围确定时，直接化简绝对值；当[a]的范围不确定时，在不同情况下进行“分类讨论”.

练习2：

（1）若[m=m]，则[m] [0]；若[m=-m]，则[m] [0].

（2）若[x>4]，化简[4-x]= ；若[x<4]，化简[4-x] = .

（3）已知[m-3+4-n=0]，求[m+n]的值.

四、巧用“互相转化过程”渗透数形结合思想

解决数学问题时，把问题中的数量关系与空间形式结合起来，或者把数量关系问题转化为图形的性质问题，或者把图形的性质问题转化为数量关系问题，通过数形转化处理问题，这种思想方法就是数形结合思想方法.

问题六：

有理数[a]、[b]在数轴上的对应点如图所示，化简[b-a-a-b].

解析：已知条件通过图形形式给出，教学时启发学生根据点在数轴上的位置确定数[a]、[b]的符号，再根据绝对值表示点到原点的距离，然后根据去绝对值法则解决.

因为[a<0]，所以[a=-a]；

因为[b>0]，所以[b=b]；

因为[a-b<0]，所以[a-b=-a-b]；

所以 [b-a-a-b]

[=b--a--a-b=b+a+a-b=2a.]

【评析】很多含绝对值的类似问题，利用数形结合思想就很容易解决，无论是绝对值的几何意义，还是绝对值的代数意义，都揭示了绝对值的非负性.几何意义上的绝对值有助于学生更好地理解概念；代数意义上的绝对值有助于学生掌握性质、计算.在绝对值的几何意义与代数式的互相转化过程中，渗透数形结合思想，能培养学生运用转化思想指导思维活动的能力，提升解决数学问题的能力.

【教学反思】

1.教學时刻要遵循由浅到深、由易到难、从已知到未知的认知规律.要让学习能顺利进行，就要缩小新、旧知识之间的跨度.否则，当新知识和学生的原有认知结构脱节时就必然造成学习困难.因此笔者考虑从学生熟悉的生活问题出发，让学生知道日常生活中有些问题只关注具体数值，而与正负性无关，所以在数学中就需要有一个新的名称，借此引出课题.

2.教师在教学中要注意知识点的纵向和横向联系，要合理恰当地整合教材.在教学设计中，更要注意策略选择.提出问题时更要设计好相关的小问题，这样才能让学生展开深入的思考，并注意随时生成新的问题.教师要灵活地调控课堂，引导学生积极思考，使问题从无序变得有序，进而提升学生的思维能力.教师在课堂教学活动中要注意调动学生学习的积极性，引发学生的积极思考，鼓励学生进行创造性思维，让师生之间、学生之间通过互动和沟通学会表达数学、交流数学、理解数学、掌握数学和应用数学.

3.教学要回归生本课堂.学生不再被动地接受知识，而是主动地获取知识.教师及时而有效地引导是关键.当教师的引导有智慧，课题教学将张弛有度、意趣盎然.学生通过自己的努力去发现解决问题的新方法，体验解决问题之后的成功喜悦，就会增强求知欲和好奇心，提高学习数学的自信心和积极性.

4.教师要以学生的身份积极参与学生的讨论交流活动.通过教师与学生互动、学生与学生交流，让学生能对最基本的数学知识与方法进行灵活运用.通过合作交流，使每个学生有自我表现的机会，调动学生的学习积极性，促进学生积极参与.通过讨论，能够活跃课堂气氛，激发学生灵感，使学生逐步学会学习.只有让学生充分地参与到教学全过程中，才能更好地满足他们的知识需求，让他们体验成功的喜悦.经历这样的过程，不仅使学生的思维开放，更使学生的思维品质得到提升.

5.数学思想方法不同于数学知识.它不能用符号、图形、式子来表示，是一种抽象的工具，也不能在有限的时间内学会，掌握它是一个循序渐进的过程，需要我们在每一节课的教学过程中一个有目的、一步步地开展渗透工作，让学生在掌握基础知识的同时，又能领悟到深度知识，从而使学生实现质的飞跃，增强学生综合能力，提升学生数学素养.

（责任编辑 黄桂坚）